2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、满足1z i z+=（i 的虚数单位）的复数z= A 、1122i + B 、1122i - C 、1122i -+ D 、1122i -- 2、对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为1p 、2p 、3p ，则 A 、123p p p =< B 、123p p p >= C 、132p p p =< D 、132p p p == 3、已知f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f （x ）-g （x ）= 321x x ++，则(1)(1)f g+=A 、3-B 、1-C 、1D 、34、51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是A 、-20B 、-5C 、5D 、20 5、已知命题p ：若x>y ，则-x<-y ：命题q ：若x>y ，在命题①p q Λ ②p q ∨ ③()p q ∧⌝ ④()p q ⌝∨ 中，真命题是A 、①③B 、①④C 、②③D 、②④ 6、执行如图1所示的程序框图，如果输入的[2,2]t ∈-，则输出的S 属于A 、[-6,-2]B 、[-5,-1]C 、[-4，5]D 、[-3,6]7、一块石材表示的几何体的三视图如图2所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于A 、1B 、2C 、3D 、48、某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年的生产总值的年平均增长率为 A 、2p q + B 、(1)(1)12p q ++- CD19、已知函数发()sin(x )f x ϕ=-，且230()0xf x dx =⎰，则函数()f x 的图象的一条对称轴是A 、5x=6π B 、x=712π C 、x=3π D 、x=6π 10、已知函数21()-(0)2xf x x e x =+<与2()ln()g x x x a =++的图象在存在关于y 轴对称点，则a的取值范围是A、-∞（ B、-∞（ C、（ D、（ 二、填空题，本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分（一）选做题(请考生在第11，12，13三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）11．在平面直角坐标系中，倾斜角为4π的直线 l 与曲线 2cos :1sin x a C y a =+⎧⎨=+⎩（a 为参数）交于A ，B两点，且 2AB =.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线l 的极坐标方程是_________。

12. 如图3，已知AB ，BC 是O 的两条弦，AO BC ⊥,AB =BC =O 的半径等于________。

13．若关于x 的不等式 23ax -<的解集为 51|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则 a=________. (二)必做题(14-16题)14. 若变量x,y 满足约束条件 ,4,,y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩且 2z x y =+的最小值为-6，则k =_______。

15. 如图4正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a,b(a<b), 原点O为AD 的中点，抛物线 2y 2(0)px p =>经过C 、F 两点，则ba=_________。

16．在平面直角坐标系中，O 为原点 A(1,0),-C(3 0)动点D 满足 1CD =，则OA OB OD ++的最大值是__________。

三、解答题：本大题共6小题．共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 .(本小题满分l2分)某企事业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 23和35，现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B ，设甲、乙两组的研发相互独立。

(Ⅰ)求至少有一种新产品研发成功的概率；(Ⅱ)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望18．（本小题满分l2分）如图5，在平面四边形ABCD 中，1,2,7A D C D C==（Ⅰ）求cos CAD ∠的值（Ⅱ）若cos 146BAD CBA ∠=-∠=，求BC 的长19. （本小题满分l2分）如图6，四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等，11111,AC BD O A C B D O ⋂=⋂=，四边形11ACC A 和四边形11BDD B 均为矩形。

（Ⅰ）证明：1O O ⊥底面ABCD ；（Ⅱ）若60CBA ∠=，求二面角11C OB D --的余弦值。

20. （本小题满分13分）已知数列{}n a 满足111,,.nn n a a a p n N *+=-=∈（Ⅰ）若{}n a 是递增数列，且123a ,2a ,3a 成等差数列，求p 的值；（Ⅱ）若12p =，且{}12n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，求数列{}n a 的通项公式。

21、如图7，O 为坐标原点，椭圆1C :2222x y +=1a b（a>b>0）的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为1e ：双曲线2C ：2222x y -=1a b的左、右焦点分别为3F ，4F ，离心率为2e 。

已知12e e ，且24F F 。

（Ⅰ）求1C 、2C 的的方程；（Ⅱ）过1F 做1C 的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点，当直线OM 与2C 交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值22、已知常数a>0，函数2()ln(1)2xf x ax x =+-+。

（Ⅰ）讨论f （x ）在区间0+∞（，）上的单调性； （Ⅱ）若f （x ）存在两个极值点1x 、2x ，且f （1x ）+f （2x ）>0，求a 的取值范围参考答案1-5 BDCAC 6-10 DBDAB11.sin 42πρθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 12.3213.-3 14.-2116. 17. 解：（1）设至少有一组研发成功的事件为事件A 且事件B 为事件A 的对立事件,则事件B 为一种新产品都没有成功，因为甲、乙成功的概率分别为23,35，则23122()11353515P B ⎛⎫⎛⎫=-⨯-=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据对立事件概率之间的公式可得13()1()15P A P B =-=，所以至少一种产品研发成功的概率为1315（2）由题可得，设该企业可获得利润为ξ，则ξ的取值有0，120+0，100+0，120+100，即ξ=0，120，100，220由独立试验的概率计算公式可得：232(0)113515P ξ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭234(120)13515P ξ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭231(100)1355P ξ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭232(220)355P ξ==⨯=所以ξ的分布列如下：则数学期望24120120100220151555E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯322088130=++=. 18.解：（1）在ADC中，由余弦定理可得222cos2AC AD CDCADAC AD+-∠===⋅（2）设BACα∠=，则BAD CADα=∠-∠因为cos CAD∠=，cos BAD∠=所以sin7CAD∠===sin14BAD∠===于是sin sin()BAD CADα=∠-∠sin cos cos sinBAD CAD BAD CAD=∠∠-∠∠147147⎛⎫=--⨯⎪⎪⎝⎭=在ABC中，由正弦定理，得sin sinBC ACCBAα=∠故sin3sinACBCCBAα⋅===∠19.（1）证明：因为四边形11ACC A为矩形，所以1CC AC⊥又因为点O是AC的中点，点1O是11A C的中点，所以11//OO CC，所以1OO AC⊥同理，在矩形11BDD B中，可得1OO BD⊥BD和AC是平面ABCD的两条相交的直线，故可得，1O O⊥底面ABCD（2）方法一：如图（a），过1O做11O H OB⊥于H，连接1HC由（1）知，1O O⊥底面ABCD，所以1O O⊥底面1111A B C D，于是111O O AC⊥又因为四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等，所以四边形1111A B C D 是菱形， 因此1111B D A C ⊥，从而11A C ⊥平面11BDD B ，所以，111AC OB ⊥，于是1OB ⊥平面11O HC 进而11OB C H ⊥，故11C HO ∠是二面角11C OB D --的平面角。

不妨设2AB =，因为60CBA ∠=，所以11,OB OC OB ==在11Rt OO B中，易知11111OO O B O H OB ⋅== 而111O C =，于是得1C H ===故1111cos 19O HC HO C H∠===即二面角11C OB D --方法二：因为四棱柱1111ABCD A B C D -的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 是菱形，因此AC BD ⊥，又1O O ⊥底面ABCD ，从而1,,OB OC OO 两两垂直。

如图（b ），以O 为坐标原点，1,,OB OC OO 坐在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -。

设2AB =，因为60CBA ∠=，所以1OB OC ==，于是相关各点的坐标为11(0,0,0),(0,1,2)O B C ， 易知1(0,1,0)n =是平面11BDD B 的一个法向量 设2(,,)n x y z =是平面11OB C的一个法向量，则2020z y z +=+=⎪⎩取z =2,x y ==，所以2n =， 设二面角11C OB D 的大小为θ，易知θ是锐角，于是1212cos ||||19n n n n θ⋅===⋅ 故二面角11C OB D --的余弦值为1920.解：（1）因为数列{}n a 是递增数列，所以11||nn n n n a a a a p ++-=-=而11a =，令1,2n =，得到2231,1a p a p p =+=++又因为123,2,3a a a 是等差数列，所以21343a a a =+ 因而230p p -= 解得0p =或13p =当0p =时，1n n a a +=，这与{}n a 是递增数列矛盾，故舍去， 所以13p =（2）由于21{}n a -是递增数列，因而21210n n a a +-->，于是212221()()0n n n n a a a a +--+->① 因为2211122n n -<，所以212221||||n n n n a a a a +--<-②由①②知，2210n n a a -->因此212221211(1)22n n n n n a a ----⎛⎫-== ⎪⎝⎭③因为2{}n a 是递减数列，同理可得，2120n n a a +-<故22121221(1)22nn n n n a a ++-⎛⎫-=-=⎪⎝⎭④由③④可知，11(1)2n n n na a ++--= 于是 121321()()...()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-2111(1)1 (222)nn --=+-++1111211212n -⎛⎫-- ⎪⎝⎭=+⋅+141(1)332n n --=+⋅ 故数列{}n a 的通项公式是141(1)332nn n a --=+⋅21.解：（1）因为122e e =，所以2a a =，即44434a b a -= 因此222a b =从而24(,0),,0)F b F24||1b F F -== 所以21,2b a ==故12,C C 的方程分别为222212:1,:122x x C y C y +=-= （2）因为AB 不垂直于y 轴，且过点1(1,0)F -，故可设直线AB 的方程为1x my =-，由22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)210m y my +--=易知此方程的判别式大于0，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12,y y 是上述方程的两个实根 所以12122221,22m y y y y m m -+==++ 因此121224()22x x m y y m -+=+-=+，于是AB 的中点为222,22m m m -⎛⎫⎪++⎝⎭， 故直线PQ 的斜率为2m -，PQ 的方程为2my x =-，即20mx y += 由22212m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得22(2)4m x -= 所以220m ->，且222224,22m x y m m ==--从而||PQ ==设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d =因为点,A B 在直线20mx y +=的异侧，所以1122(2)(2)0mx y mx y +++< 于是11221122|2||2||22|mx y mx y mx y mx y +++=+--，从而22d =又因为122||2y y m -==+所以2d =故四边形APBQ的面积1||22S PQ d =⋅==而2022m <-≤故当0m =时，S 取最小值2综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2 22.解：（1）对函数()f x 求导，可得2222(2)24(1)()1(2)(1)(2)a x x ax a f x ax x ax x +-+-'=-=++++（*） 因为2(1)(2)0ax x ++>，所以当1a ≥时，()0f x '≥，此时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；当01a <<时，由()0f x '=得12x x ==- 当1(0,)x x ∈时，()0f x '<；当1(,)x x ∈+∞时，()0f x '>故()f x在区间(0,上单调递减，在)+∞上单调递增。