【法1】等轴双曲线方程的通解与费尔玛大定理的证明滕锡和(河南鲁山 江河中学 邮编：467337)摘 要: 由等轴双曲线方程与费尔玛方程的内在联系，寻找到一种费尔玛方程是否有正整数解的充要条件，再由对此条件的否定，证明了费尔玛大定理，并且把费尔玛大定理与勾股定理有机地统一起来。
关键词: 完全+Q 解；可导出+Q 解；连环解中图法分类号： 文献标识码：A 文章编号：1 R +通解本文所用数集：N ---自然数集，Q ---有理数集，R ---实数集。
本文讨论不超出+R 的范围。
本文中方程nnnz y x =+及同类方程中的指数n ∈N ，以后不再说明。
引理1 方程nnnz y x =+ （n ≥2） (1)有N 解的充要条件是它有+Q 解。
引理2 方程（1）nnnz y x =+（n ≥2）有N 解的充要条件是它有既约N 解。
这样，在以后的讨论中只需讨论+Q 解及既约N 解的情形，可使过程简化。
引理3 方程（1）n nnz y x =+（n ≥2）有N 解的充要条件是方程-1n nX Y = （n ≥2） （2）有+Q 解。
证明 充分性 如果方程（2）-1n n X Y =（n ≥2）有+Q 解，设（vuv w ，）()u v w N ∈两两互素，，为其+Q 解，则（v w ）n -（vu ）n ＝1，nn n w v u =+ 。
于是方程（1）n n n z y x =+（n ≥2）有N 解()w v u ，，。
必要性 如果方程（1）nnnz y x =+（n ≥2）有N 解，设()w v u ，，()u v w N ∈两两互素，，为其N 解，则n n n w v u =+，（v w ）n -（vu ）n ＝1。
于是方程（2）-1n n X Y =（n ≥2）有+Q 解（vuv w ，）。
证毕 引理4 如果方程（1）nnnz y x =+（n ≥2）有+Q 解，那么，只有两类：i ）完全+Q 解()w v u ，，()+∈Qw v u ，，；ii ）可导出+Q 解()w v u λλλ，，()Q u v w Q λ++∈∈，，，。
证明 第i ）类属显然。
第ii ）类，把()w v u λλλ，，代入方程（1），得()()()nnnu v w λλλ+=， ∴ n n n w v u =+于是导出方程（1）的+Q 解()w v u ，，。
除此以外，由其它任何形式的带无理因子的解，都不能导出+Q 解。
事实上，设()123u v w λλλ，，（123λλλ，，中至少有一个∈+Q 且三个数中含有不可通约的无理因子，w v u ，， ∈+Q ）为方程（1）的解，则由321λλλ，，的定义知，它们的无理因子是不能从上式中完全提到括号外面去的，即由它不能导出方程（1）的+Q 解。
证毕从引理4及其证明过程可以得到以下三条结论： （1）若将第i ）类+Q 解的三个数同乘以一个数ξ（ξ∈+Q ），得到ξ()w v u ，，，则此解仍是方程（1）的第i ）类+Q 解；若将三个数同乘以一个数λ（λ∈+Q ），得到λ()w v u ，，，则此解变为方程（1）的第ii ）类+Q 解。
（2）若将第ii ）类+Q 解的三个数同乘以一个数()1Q λλ+∈，得到()w v u ，，，则此解变为方程（1）的第i ）类+Q 解;若将三个数同乘以一个数δ（δ∈R Q δλ++∉且），得到δλ()w v u ，，，则此解仍是方程（1）的第ii ）类+Q 解。
（3）方程（1）的第i ）、ii ）类+Q 解与非第i ）、ii ）类+Q 解之间是封闭的。
即无论对数组的三个数同乘以一个什么正实数，它们之间都不可能互化。
定理1 方程（1）nn n z y x =+（n ≥2）的 +R 解公式是111A d R d λλ+=∈> （、，）， 或 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n n r r r B 2222222121）（，，）（λ （21r R r λ+∈>、，）。
证明 当+∈R z y x ，，时，由nn n z y x =+得1=-n n xy x z ）（）（。
根据引理3，这两个方程在是否存在+Q 解方面是等价的。
从而得到12222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+nn n n x y x z x y x z ）（）（）（）（ 于是设221n nz y d d x x+=>（）（）（），则d x y x z nn 122=-）（）（。
由此解得dd x y d d x z nn 21212222-=+=），（）（ 。
恢复x z ：和x y ：的比例系数后得）（）（），（）（）（+∈⋅⋅-=⋅⋅+=R d d x y d d x z nn 0002200222121λλλλλ，拆开后即得01A x y z R d λ+==∈>（，，） （，）111R d λλ+==> （，）。
又，由n n n z y x =+得，）（）（12222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n y x y z 12222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+nn n n y x y z y x y z ）（）（）（）（。
设221n nz x r r y y +=>（）（）（），则ry x y z nn 122=-）（）（。
仿上法又得到22221B x y z r R r λλ+⎫==∈>⎪⎪⎭（，，） （、，）。
若设a pd r a b p q R b q+==∈、（、、、，),q p b a >>， 则B A 、之间的变换关系是.p p a b d r p q a b++==--，将B A 、两式分别代入方程（1），等式成立。
因此，B A 、两式都是方程（1）的+R 解公式。
证毕定理1说明 i ）方程（1）的任何一个+R 解都可以由B A 、两式同时表出; B A 、两式表出的任何一个+R 数组，都是方程（1）的+R 解。
ii ）如果方程（1）有N （或+Q ）解，则必能用B A 、两式同时表出；如果B A 、两式同时表出N （或+Q ）数组，则方程（1）有N (或+Q )解。
反之，如果B A 、两式不能同时表出N （或+Q ）数组，则方程（1）没有N （或+Q ）解。
2 有N 解的充要条件引理5 方程（1）n n n z y x =+（n ≥2）有+Q 解的充要条件是01A d => （）或 2201)B r ⎫=>⎪⎪⎭ （ 能同时表出或导出+Q 数组。
证明 根据引理4的结论（3），可将B A 、两式的系数21λλ，略去，因为这样，一者可使讨论简化，二者既不会使第i ）、ii ）类+Q 解增生，也不会使之消失，三者必要时再同乘以一个公共因子。
先证0A 。
必要性 根据定理1，如果方程（1）有+Q 解，必能用0A 式表出或导出。
根据引理4，其+Q 解只有两类：i ）如果是第i ）类+Q 解，即存在0d ，当0d d =时，其解2001A d '=> （）是+Q 解，则0A 能表出+Q 数组'0A ；ii ）如果是第ii ）类+Q 解，根据引理4，由这个第ii ）类+Q 解必能导出第i ）类+Q 解，从而0A 能导出+Q 数组。
充要性 如果0A 式能表出或导出+Q 数组，显然是方程（1）的+Q 解，即方程（1）有+Q 解。
对于0B 式与0A 式同理可证。
证毕根据引理1、2、5，不难找到思路：方程（1）有N 解的充要条件是00B A 、两式能同时表出或导出既约N 数组。
定理2 方程n n n z y x 222=+ （）1≥n （3） 有N 解的充要条件是以下两式：2n A =（）[]1000000201n n n a b a N b a b ->>∈=※（，，奇，（，））,或2n B =（） 000001p q p q >>=（，二奇，（，））能同时表出既约N 数组。
[※]也可以是10020nn n a b ->>，0a 奇，0b ∈N ，（0a ，0b ） ＝1。
有且仅有这两种情形，因为自然数只有奇偶两类。
此类情形与上同理，故未写出。
无妨，下同。
证明 必要性 如果方程（3）有既约N 解，根据引理1、2、5，必可由0A 、0B 两式同时表出或导出。
此时两式分别为01A d => （）,01B r => （）. i ）证）（n A 2。
根据引理4的三条结论，先让n d 2∈Q 。
为此必须设1ad b=>， 0>>b a ,一奇一偶，1),(=b a ，则必须再设n nn b b a a 0012==-，，02001>>-nn n b a ，0a ∈N ，0b 奇，1)(00=b a ，，则0(2)201n A A b ==ii ）再证）（n B 2。
根据引理4的三条结论，先让Q r n∈。
为此必须设1pr q=>， 0>>q p ，二奇，1),(=q p ，则0B =。
必须再设np p 0= ，nq q 0=，000>>q p ，二奇，1),(00=q p，则02201n B B q ==（） 。
0A =同时易证）（n A 2 、）（n B 2中的底数分别两两互素。
到此，）（n A 2 、）（n B 2两式仍必能表出方程（3）的既约N 解。
于是）（n A 2 、）（n B 2必能同时表出既约N 数组。
充分性 如果）（n A 2、）（n B 2都能表出既约N 数组，同时易验知，）（n A 2、）（n B 2能使方程（3）成立，那么，此时这两个既约N 数组就是方程（3）的既约N 解。
即方程（3）有N 解。
证毕 推论1 方程n n nz y x222=+（）1≥n 有N 解的充要条件是一下两式：(222n)A '=（ （0>>b a ，一奇一偶，1),(=b a ）或2n B ⎛'= ⎝（） （0>>q p ，二奇，1),(=q p ）能同时表出既约N 数组。
不难看出，）（n A 2、）（n B 2两式内容详细，）（n A 2'、）（n B 2'两式简明扼要。
它们各有所长，作用相同。
定理2' 方程121212+++=+n n n z y x （）1≥n （4） 有N 解的充要条件是一下两式;2222n 1)A +⎛= ⎝（021201202>>++n n n b a （，N a ∈0，奇0b ，)1),(00=b a或2221n B +⎛ = ⎝（） （000>>q p ，二奇，)1),(00=q p能同时表出既约N 数组。
证明 必要性 如果方程（4）有既约N 解，根据引理1、2、5，必可由0A 、0B 两式同时表出或导出。