考点10 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例一、选择题1．（2011·安徽高考文科·Ｔ10）函数()()21n f x ax x =-在区间[]0,1上的图象如图所示，则n 可能是（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【思路点拨】 代入验证，并求导得极值，结合图象确定答案. 【精讲精析】选A. 代入验证,当n=1时，)2()1()(232x x x a x ax x f +-=-=，则)143()(2+-='x x a x f ，由)143()(2+-='x x a x f =0可知，1,3121==x x ，结合图象可知函数应在（0，31）递增，在）（1,31递减，即在31=x 处取得最大值，由,21)311(31)31(2=-⨯⨯=a f 知a 存在. 2.（2011·辽宁高考理科·Ｔ11）函数f （x ）的定义域为R ，f （-1）=2，对任意x ∈R ，2)(>'x f ，则f （x ）＞2x+4的解集为（A ）（-1，1） （B ）（-1，+∞） （C ）（-∞，-1） （D ）（-∞，+∞）【思路点拨】先构造函数)42()()(+-=x x f x g ，求其导数，将问题转化为求)(x g 单调性问题即可求解．【精讲精析】选B.构造函数)42()()(+-=x x f x g ，则=-)1(g 022)42()1(=-=+---f ，又因为2)(>'x f ，所以02)()(>-'='x f x g ，可知)(x g 在R 上是增函数，所以)42()(+>x x f 可化为0)(>x g ，即)1()(->g x g ，利用单调性可知，1->x ．选B.3．（2011·安徽高考理科·Ｔ10）函数()()1nm f x ax x =-在区间[]0,1上的图象如图所示，则,m n 的值可能是（A ）1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n == 【思路点拨】本题考查函数与导数的综合应用，先求出)(x f 的导数，然后根据函数图像确定极值点的位置，从而判断m,n 的取值. 【精讲精析】选B.函数()()1nm f x ax x =-的导数11()()(1)(),m n m f x m n ax x x m n--'=-+--+则)(x f '在),0(n m m +上大于0，在)1,(nm m +上小于0，由图象可知极大值点为31，结合选项可得m=1,n=2.二、填空题4.（2011·广东高考理科·Ｔ12）函数32()31f x x x =-+在x = 处取得极小值.【思路点拨】先求导函数的零点，然后通过导数的正负分析函数的增减情况，从而得出取得极值的时刻. 【精讲精析】答案：2由063)(2=-='x x x f 解得0=x 或2=x ，列表如下：∴当2=x 时，y 取得极小值.5．（2011·辽宁高考文科·Ｔ16）已知函数a x e x f x +-=2)(有零点，则a 的取值范围是【思路点拨】先求)(x f '，判断)(x f 的单调性．结合图象找条件．本题只要使)(x f 的最小值不大于零即可．【精讲精析】选A ，)(x f '=2-x e ．由)(x f '0>得2-x e 0>， ∴2ln >x ．由)(x f '0<得，2ln <x ． ∴)(x f 在2ln =x 处取得最小值． 只要0)(m in ≤x f 即可．∴02ln 22ln ≤+-a e ， ∴22ln 2-≤a ．∴a 的取值范围是]22ln 2,(--∞6.（2011·江苏高考·Ｔ12）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是_________【思路点拨】本题考查的是直线的切线方程以及函数的单调性问题，解题的关键是表示出中点的纵坐标t 的表达式，然后考虑单调性求解最值。

【精讲精析】答案：11()2e e+设00(,),x P x e 则000:(),(0,(1))x x x l y e e x x M x e -=-∴-，过点P 作l 的垂线000000(),(0,)x x x x y e e x x N e x e ---=--+，00000000011[(1)]()22x x x x x x t x e e x e e x e e --=-++=+- 00'01()(1)2x x t e e x -=+-，所以，t 在(0,1)上单调增，在(1,)+∞单调减，max 11()2t e e=+。

三、解答题7．（2011·安徽高考理科·Ｔ16）设2()1xe f x ax=+，其中a 为正实数 （Ⅰ）当a 43=时，求()f x 的极值点；（Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围.【思路点拨】（Ⅰ）直接利用导数公式求导，求极值. （Ⅱ）求导之后转化为恒成立问题.【精讲精析】对)(x f 求导得，.)1(21)(222ax axax e x f x+-+=' （Ⅰ）当时，34=a 令0)(='x f ，则03842=+-x x .解得21,2321==x x ， 列表得所以，21=x 是极小值点，22=x 是极大值点.（Ⅱ）若)(x f 为R 上的单调函数，则)(x f '在R 上不变号，结合222)1(21)(ax ax ax e x f x+-+='与条件a>0,知0122≥+-ax ax 在R 上恒成立，因此.0)1(4442≤-=-=∆a a a a 由此并结合a>0,知10≤<a .8.（2011·福建卷理科·Ｔ18）(本小题满分13分)某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3ay x x =+--，其中3<x<6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. （I ）求a 的值。

（II ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.【思路点拨】(1)根据“销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克”可知销售函数过点（5,11）,将其代入可求得a 的值; （2）利润为y=(每件产品的售价-每件产品的成本) ⨯销量,表示出函数解析式后，可借助导数求最值. 【精讲精析】（I ）因为5x =时，11y =，所以1011,2a +=所以2a =. （II ）由（1）可知，该商品每日的销售量2210(6),3y x x =+-- 所以商场每日销售该商品所获得的利润222()(3)[10(6)]210(3)(6),3 6.3f x x x x x x x =-+-=+--<<-从而2()10[(6)+2(3)(6)]30(4)(6).f x x x x x x '=---=-- 于是，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表，由上表可得，4x =是函数()f x 在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点. 所以，当4x =时，函数()f x 取得最大值，且最大值等于42.当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 9.（2011·福建卷文科·Ｔ22）已知a ，b 为常数，且a≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f(e)=2（e=2.71828…是自然对数的底数）. （I ）求实数b 的值；（II ）求函数f （x ）的单调区间；（III ）当a=1时，是否同时存在实数m 和M （m<M ），使得对每一个t∈[m，M]，直线y=t 与曲线y=f （x ）（x∈[1e，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由. 【思路点拨】(1) ()2f e b =⇒的值;(2)对函数()f x 求导得导函数()f x '，由导函数()f x '得单调区间，必要时分类讨论；（3）列表判断()y f x =1(,)x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的单调性和极值、最值情况，再结合()y f x =的草图即可探究出是否存在满足题意的m M 和. 【精讲精析】(1)由()2,f e =得 2.b =（2）由（1）可得()2ln ,f x ax ax x =-++从而()ln ,f x a x '= 因为0,a ≠故：① 当0a >时，由()f x '0>得1x >；由()0f x '<得01x <<； ② 当0a <时，由()0f x '>得01x <<；由()0f x '<得1x >.综上，当0a <时，函数()f x 的递增区间为（0,1），单调递减区间为()1,+∞. 当a ＞0时，函数f （x ）的递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0,1）. (3)当1a =时，()2ln ,()ln .f x x x x f x x '=-++=由（2）可得，当x 在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：又222e -<，所以函数()f x 1(,)x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域为[]1,2. 据此可得，若12m M =⎧⎨=⎩则对每一个[],,t m M ∈直线y t =与曲线()y f x =1,x e e ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭都有公共点；并且对每一个(),t m ∈-∞[),M +∞ ，直线y t =与曲线()y f x =1,x e e ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭都没有公共点.综上，当1a =时，存在最小的实数1m =，最大的实数2M =，使得对每一个[],t m M ∈，直线y t =与曲线()y f x = 1(,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)都有公共点. 10．（2011·江苏高考·Ｔ17）请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A,B,C,D 四个点重合与图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒。