函数的单调性与奇偶性综合
【课时目标】
1、能准确判断函数的单调性与奇偶性
2、会灵活利用函数的单调性与奇偶性求参数或参数的取值范围
3、能够解决抽象函数的单调性与奇偶性的问题
【基础训练】
1、单调性：
（1）函数||2x x y +-=，单调递减区间为
（2）函数b x k y ++=)12(在实数集上是增函数，则k 的取值范围是
（3）已知函数2()(3)2f x ax a x =+++在区间[1,)+∞上为增函数，则实数a 的取值范围是 ___
（4）已知()f x 为R 上的减函数，则满足)1()1(f x f >的实数x 的取值范围是____________ —
2、奇偶性：
（1）下列函数具有奇偶性的有 ①x
x y 13+= ②x x y 2112-+-= ③x x y +=4 ④⎪⎩
⎪⎨⎧<--=>+=)0(2)0(0)0(222x x x x x y
（2）函数1()f x x x
=-的图像关于__________对称 （3）若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a =__________
（4）已知()f x 在R 上是奇函数，且2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则_______
【例题精讲】
例1、已知()f x 是偶函数，而且在0(,)+∞上是减函数．判断()f x 在0(,)-∞上是增函数还是减函数，并加以证明
例2、()f x 是定义在R 的奇函数，且()f x 在0(,)+∞上是增函数，10()f =，则不等式0()()f x f x x
--<的解集为_________________ }
练习：已知()f x 是定义在(3,3)-上的偶函数，当0
x ≤< ()f x 的图象如右图，则不等式(1)()0x f x -⋅≤ 变：()f x 是定义在22[,]-的奇函数，且()f x 在02[,]上单调递减，若1()()f m f m -<，则实数m 的取值范围是________________
…
例3、已知函数()1).f x a =≠ （1）若0a >，则()f x 的定义域是
(2) 若()f x 在区间(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是______________
例4：（1）函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，若当1x ≤时，2()1f x x =+，求()f x
·
（2）函数()y f x =的图象关于点(1,1)对称，若当1x ≤时，2()1f x x =+，求()f x
例5、已知定义在区间0(,)+∞上的函数()f x 满足：对于任意的120,(,)x x ∈+∞，都有1122
()()()x f f x f x x =-，且当1x >时，()0f x < （1）求(1)f 的值； （2）判断()f x 的单调性； （3）若(3)1f =-，解不等式()2f x <-
—
练习、若函数()f x 是定义在0(,)+∞上的增函数，且对一切0x >，0y >满足()()()f xy f x f y =+，则不等式(6)()2(4)f x f x f ++<的解集为 【当堂检测】
1．若2(3)21f x x =-，则()f x 的解析式为 。

2．求函数定义域(1)5()x f x -=
(2)11y x x =-- 3.已知2211()1f x x x x -=+
+，则函数()f x 的解析式 4.函数822+--=x x y 的单调增区间为
5.已知函数2()(2)(1)3f x m x m x =-+-+是偶函数，则实数m 的值
6．已知函数53()8f x x ax bx =++-若(2)10f -=，则(2)f 的值
7、若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，则该函数的解析式()f x =
8、若()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上是减函数，且(3)0f -=，则使得[()()]0x f x f x +-<的x 的取值范围是
9、已知函数)1(2)1()(2-≠+++=a x a x x f ，若)()()(x h x g x f +=，其中)(x g 为奇
函数，)(x h 为偶函数。

若函数)(x g ，)(x f 在区间]1,(-∞上均是减函数，则实数a 的取值范围是_____________
…
10.已知定义在R 上的偶函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调增函数，若(1)2)f f <，
求x 的取值范围.
11.已知()y f x =在定义域(1,1)-上是增函数且为奇函数，(1)(21)0f t f t -+-<，求实数t 的取值范围.
<
12．函数)(x f 在R 上为偶函数，且0()1,x f x ≥=
时，，求()f x 的表达式。

/
13．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()31f x x x =+-,
求()f x 的解析式.
14. 函数2()1ax b f x x
+=+是定义在(1,1)-上的奇函数，且12()25f =. (1)确定函数()f x 的解析式；
$
(2)用定义证明()f x 在(1,1)-上是增函数；
(3)解不等式(1)()0f t f t -+<。