大学文科高等数学
反之,则称f (x)在X上是无界的.
例: y cos x, x ,
y 1 , 在(0,1]上, 无界; x
有界函数的界不是唯一的.
有界.
在[1,+)上, 有界.
有界函数的图形介于直线y=-M与y=M之间. 25
(2) 单调性
y
设函数y f (x)在区间I上有定义.
对于任意给定的x1, x2 I,且x1 x2,
开区间 ( a , b ) x a x b
闭区间 [ a , b ] x a x b
半开半闭区间
有限区间 (数轴上的线段)
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无限区间
注意: 这里的 , 及只是一种符号,既不能把之视为实数,
也不能对它们进行运算.
设a R, R,且 0.
a
(
a
a
)
点a的 邻域
空心 邻域
开设新营业点的研究表明, 每开设一个新营业点会使 每个营业点的平均营业额减少 200 元,
试求该公司所有营业点的每日总收入R(单位: 元) 和新开设营业点数目x(单位: 个)之间的函数关系.
并问: 当新开设营业点数目x为几个时所有营业点的 每日总收入最高? (答: 5个, R最大为405 000 元)
记作 A B 或 B A. 若 A B且 B A , 则称 A 与 B 相等, 记作 A B .
显然有:
A ;
(包含关系具有传递性)
例1. 设A 2,3,5,试写出集合A 的所有子集.
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定义 3 . 给定两个集合 A, B, 定义下列运算:
并集 A B x 交集 A B x
例4. 要造一个底面为正方形、容积为500m³的长方体 无盖蓄水池,设水池四壁与底面每平方米造价均为a元, 试将蓄水池的造价y(单位:元)表示为底边长x(单位:m)的 函数.
并求出当x为多少m时总造价最低.
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例5. 某快餐联营公司在某地开设了40个营业点. 每个 营业点每天的平均营业额是10 000 元. 对该地区是否
O x1 x2 x
若 f (x1) f (x2 ), 称 f (x) 为 I 上的 递增函数 ; 若 f (x1) f (x2 ), 称 f (x) 为 I 上的 递减函数 . 若 f (x1) f (x2), 称 f) f (x2), 称 f (x) 为 I 上的 不增(非增)函数 .
数理语言学:使用概率论与数理统计、数理逻辑、集合论、图论、 信息论方法、数学模型方法、模糊数学方法等数学理论和方法来 研究语言现象,并加以定量化和形式化的描述。 统计语言学与信息处理语言学.
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➢ 数学也是一种十分重要的思维方式和文化精神。
•数学追求一种完全确定的、完全可靠的知识。 •数学对象必须有明确无误的概念,数学推理必须由明确无误的命题开始, 并服从确定无疑的推理准则,借以达到正确的结论。 •贯穿其中的是一种无与伦比的理性精神。
( X [a,b])
函数图形: C (x , y) y f (x) , x X
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xX f
y f (X ) y y f (x), x X
(定义域) (对应规则) (值域)
• 定义域 使表达式或实际问题有意义的自变量集合. 对实际问题, 书写函数时须写出定义域;
例: 球的体积V是半径r的函数,即
这是一种特殊的无限集合。
例: 整数集Z. 偶数整数集A a | a 2n,nZ.
称有限个与可列个统称为至多可列个(或至多可数个)。
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集合之间的关系及运算
定义2 . 设有集合 A, B , 若 x A 必有 x B , 则称
A是 B 的子集合 (简称子集), 或称 A包含于 B,或 B包含A
整数集 Z x x N 或 x N
有理数集
Q
p q
p Z, q N , p与q互质
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单元集合: 只含有一个元素的集合. 记作a.
空集: 不含有任何元素的集合. 记作. 全集: 由所研究对象的全体构成的集合. 通常记作.
注意: 空集与单元集合0不同.
可列集:若集合中的元素可以与自然数集建立一 一对应的关系,则称之为可列集。
若f (x) 0 (x I ),则函数f (x)在I上递减.
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(3) 奇偶性
设函数y f (x)的定义域X是一个 对称数集,即当x X时,有 x X.
x X , 若
若
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引言
对于现在和未来的社会科学工作者来说,数学既是 一种强有力的研究工具,也是一种不可或缺的思维方式。
➢ 数学在现代文化中扮演着中心角色。
当代文化发展的重要特征之一就是数学化: 数学的方法、思想与精神渗透到社会科学的各个领域。
或 且
A B
B A
差集 A \ B x
且 xB
A\B AB
显然 : (1) A A B, B A B;
(2)A B A, A B B.
例2. 设A 1, 2,3, 4,5, B 2, 4,6,8,10,
求A与B的并集、交集与差集.
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二、 实数集
万物皆数.
——毕达哥拉斯(Pythagoras)
函数概念的直观描述:
设在变化过程中有两个变量x和y, 变量y依赖于x. 若对于x的每一个确定的值,按照某种对应关系, y都有 唯一的值与之对应,则称y为x的函数,x为自变量. x的取值范围叫做函数的定义域. y的值叫函数值, 其集合为函数的值域.
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定义4. 设 X , Y 是两个非空集合, 若存在一个对应规 则 f , 使得 对每个x X , 有唯一确定的y Y 与之对应, 则称
f 为从 X 到 Y 的映射, 记作 f : X Y.
X
f
Y
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的像, 记作 y f (x).
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的原像 . 集合 X 称为映射 f 的定义域 ;
Y 的子集 f ( X ) f (x) x X 称为 f 的 值域 .
注意: 1) 映射的三要素— 定义域 , 对应规则, 值域. 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一.
(便于计算与分析) (直观清晰) (便于求值)
例如, 绝对值函数
定义域 X R
值 域 f (X ) [0 , )
性质:| x y || x | | y |; | x y || x | | y | .
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有些函数,对于其定义域内自变量不同的值, 不能用一个统一的解析式表示,而要用两个或 两个以上的式子表示,这类函数称为分段函数.
例: (1) 学校里在校生的全体为一集合; (2)方程x2 5x 4 0的根的全体为一集合;
(3) 所有正整数为一集合; (4)直线y x上的所有点为一集合.
有限集: 集合中元素只有有限个,反之称为无限集.
元素a属于集合A,记作 a A.
元素a不属于集合A,记作 a A 或 a A. .
最终成绩= 平时成绩*40% + 期末成绩*60% 平时成绩包括每周的作业(7-8次, 每星期一交)、期中考 试(或小测验)等;
作业分单双号交, 单号同学与双号同学依次交替交作业, 交的时候两周的作业一起交。 第一次是单号同学交。
答疑时间: 周一晚上9-10节, 教二 308. 助教: 程志雯(18810556615), 张小玥 (18810656689)
又如:符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
x sgn x x
y
1
o
x
-1
注意: 分段函数是一个函数,而不是两个或几个函数.
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2. 建立函数关系
为解决实际问题, 需要先确定问题中的自变量和因变量 及相互间的依赖关系(即函数关系), 并将这种关系表示 出来, 在利用适当的数学方法加以分析解决.
在数轴上除了有理点之外的空隙处的点称之为无理点.
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有理数与无理数统称为实数.
实数集R x | x是有理数或无理数.
实数集R的性质: 在其中可以定义四则运算,有序性,处处稠密性, 此外, 还具有连续性(即实数点充满了整个数轴).
实数与数轴上的点一一对应, 故实数与点不加区分.
各种各样的区间(作为R的子集): 设a R,b R, a b,
与其他学科相比,数学最突出的特点是它使用了逻辑的方法,即公理方法。 这也为人类文化的其他部门的建立和发展提供了典范。
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第一部分 初等微积分
初等数学— 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学— 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
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第一章 集合与函数
一、 集合初步
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 组成集合的事物称为元素.
有理数集
Q
p q
p Z, q N , p与q互质
在数轴上,每一个有理数都可以用一个点来表示, 称这样的点为有理点。
有理数集Q除了可在其中定义四则运算外,还具有 有序性(即有理点在数轴上是从左向右按大小次序排列的) 和稠密性(即任意两个有理点之间有无穷多个有理点).
有理点并没有充满整个实轴. 如 2不是有理数.
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定义5. 设数集 X R , 则称映射
X 上的函数 , 记为
定义域
y f (x), x X.
因变量
自变量
为定义在
f (X ) y y f (x), x X
y
称为函数f的值域
y
在我们讨论的范围里,函数f 与函数值f (x) (即y)
没有区分的必要,因此通常也叫y为x的函数. O a x b x
V 4 r3, r [0, ).