目录摘要 (I)Abstract (II)第一章绪论 (1)1.1 引言 (1)第二章行列式与线性方程组求解 (1)2.1 标准形式的二元线性方程组 (1)2.2 标准形式的三元线性方程组 (2)2.3 克莱姆法则 (3)2.3.1逆序数 (3)2.3.2 克莱姆法则 (4)第三章线性方程组的理论求解 (6)3.1 高斯消元法 (6)3.2 线性方程组解的情况 (7)3.3 将非齐次方程组化为齐次方程组求解方法 (8)第四章求解线性方程组的新方法 (9)第五章线性方程组的应用 (11)5.1 投入产出数学模型 (11)5.2 齐次线性方程组在代数中的应用 (14)第六章结论 (16)参考文献 (17)致谢 (18)浅析线性方程组的解法及应用学生：陈晓莉指导教师：余跃玉摘要：线性方程组的求解方法在代数学中有着极其重要的作用.本文介绍了有关线性方程组的一些基本求解方法，由二元到三元的线性方程组，再到n姐线性方程组，其中详细介绍了克莱姆法则。

然后是对于齐次方程组和非齐次线性方程组，介绍了线性方程组的理论解法，里面介绍了消元法、解的情况、将非线性化成线性方程组来求解。

并且给出了相关的例题，可以加深对线性方程组求解的方法的认识。

对于线性方程组还有什么解法，本文也将有探讨。

介绍了这么多解线性方程组的求解，相信在今后解线性方程组会更加方便。

最后还有关于线性方程组的应用，主要介绍了关于投入产出的数学模型，在经济分析与管理中会经常用到。

关键词:线性方程组; 高斯消元法；行列式SOLUTION OF LINEAR EQUATIONS ANDAPPLICATIONStudent: Chen Xiaoli Supervisor: Yu Y ueyuAbstract: Method for solving linear equations plays a very important role in algebra. This paper introduces some basic methods for solving linear equations, from two yuan to three yuan of linear equations, and then to sister n linear equations, which introduces the Clem rule. Then the homogeneous equations and nonhomogeneous linear equations, introduces the theoretical solution of linear equations, which describes the elimination method, solution of the situation, the nonlinear into linear equations. And gives the relevant examples, we can get a deeper understanding method for solving linear equations. For what the solution of linear equations, this paper will also discuss. Introduced so many solution of linear equations, believe that in the future will be more convenient for the solution of linear equations. Finally, on the application of linear equations, mainly introduces the mathematical model of input and output, is frequently used in the economic analysis and management.Keywords: linear equations; Gauss elimination method; determinant第一章 绪论1.1 引言线性代数的核心内容是解线性方程组。

在寻求线性方程组解的存在定理和求解方法的过程中而产生的。

行列式理论和矩阵理论构成了线性代数的基本理论。

这本来是一个纯代数问题,如果把这个纯代数问题与几何结合起来,在求解线性方程组的过程中从整体上考虑系数与常数项的关系,就产生了求解线性方程组的行列式理论和矩阵理论。

通过说明把几何概念引入解线性方程组的过程以及认真细致的分析、基本的归纳、简明的例子,为初学者正确认识行列式理论、准确应用行列式理论提供帮助。

目前, 新的教材已初步渗透了高等数学的一些知识理论, 而利用这些知识理论来解决初等数学问题显得既简洁又优美. 本文针对中学数学中由几个结构相似且具有共同字母或数字的等式联系在一起的若干变量之间的相互关系问题,结合高等代数中有关线性方程组的理论, 从而有助于问题迅速的得以解决.同时将线性方程组理论应用于解析几何, 沟通了代数与几何的内在联系, 并可透视代数与几何的相互渗透, 也可使许多几何问题得到更为简明的刻画。

第二章 行列式与线性方程组求解2.1 标准形式的二元线性方程组定义1：如果线性方程组的未知个数与方程组的个数等于2，则称这个线性方程组为标准形式的二元线性方程组。

如：⎩⎨⎧-=+-=+)22()12(22221211212111b x a x a b x a x a若021122211≠-a a a a ，则（2-1）乘以21a 与（2-2）乘以11a 之差，消去1x ，得到2x 的解，代入方程，求出解的通式：211222111212112211222111222211,a a a ab a b a x a a a a a b a b x --=--=根据几何意义，我们把行列式引入线性方程组中，取出方程组中的系数，按如下的顺序排列，2112221122211211a a a a a a a a D -==（2-3）由系数矩阵排列的2阶矩阵D ，称为系数矩阵。

在（2-3）式中把第一列依次换成21,b b 则得到：,1222212221211a b a b a b a b D -==（2-4）在（2-3）式中把第二列依次换成21,b b 则得到：,2111122211112a b a b b a b a D -==（2-5）所以，二元线性方程组的解还可以表示为：DD x DD x 2211,==（2-6）例1：求解⎩⎨⎧-=+=+822y x y x 的解。

解：由（2-3）、（2-4）、（2-5）公式，代入系数， 求得：10,12,121-===D D D ,所以：10,12-==y x2.2 标准形式的三元线性方程组由定义1可以推知，如果线性方程组的未知个数与方程组的个数等于3，则称这个线性方程组为标准形式的三元线性方程组。

如：,333323213123232221211313212111⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （2-7） 根据标准形式的二元线性方程组的原理，排列成三阶行列式，得到：322311332112312213322113312312332211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D ---++== （2-8）再由（2-8）式每列系数换成321,,b b b ，则得到三个新的三阶行列式，,22133331223223123123132332213332323222121211a a b a a b a a b a a b a b a a b a a b a a b a a b D ---++== （2-9）)102(,2311331132332112113333112312313333123221131112----++==a a b a a b a a b a a b a a b a a b a b a a b a a b a D )112(,2112332112312212211331122322113323122221112113----++==a a b a a b a a b a a b a a b a a b b a a b a a b a a D当0≠D 时，则线性方程组的解为：DD x DD x DD x 332211,,===（2-12） 例2：求平面12,632,42-=-+=+-=-+z y x z y x z y x 的交点坐标。

解：由公式可以求出：411,49,49===z y x ； 所以坐标为（411,49,49）。

2.3 克莱姆法则 2.3.1逆序数在n 个数字中，进行全排列（n i i i ,,,21 ），如果一个小一点的数排在大的数前面，则称出现了一个逆序，一个全排列的所有逆序称为这个全排列的逆序数，记为),,,(21n i i i σ。

例如：由4个数字组成3个全排列的逆序数为：0)1234(=σ，1)1243(=σ，3)1432(=σ.分析二阶行列式（2-3）式2112221122211211a a a a a a a a D -==由此，可以看出2阶行列式一共有2！=2，每项两个因子分别来自不同的行和列，再看角标，第一项是2211a a ，根据逆序数0)22,11(=σ是偶数，因此符号带正号，第二项是2112a a ，逆序数是1)21,12(=σ是奇数，因此为负号；又如三阶行列式，一共有3！=6，一共有两项，有三项为正，三项为负，第一项是332211a a a ，逆序数为0，是偶数，因此为正号，第四项是312213a a a ，逆序数为1，为奇数，所以是负号。

依次类推，我们给出行列式的定义：我们把n n ⨯的由ij a 构成的矩阵，有表达式：)132()1(212121)(212222111211--==∑nn ni i i i i i nnn n n na a a a a a a a a a a a D σ其中ij a 为D 矩阵的第i 行，第j 列的元素，共有n ！个元素),,,(21n i i i 为自然数码∑！项求和是对这n 。

2.3.2 克莱姆法则定理1如果线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222222111212111 （2-14） 令nn n n n n a a a a a a a a a D 212222111211=， （2-15）nnn nn n a a b a a b a a b D 2222211211=， （2-16） …………nn n n b a a b a a b a a D 212222111211=。