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3-1_线性方程组的消元解法
(3) 唯一科数学
例2
解线性方程组
解:方程组的增广矩阵
文科数学
有何特点?
文科数学
有何特点?
则同解方程组为
,即
令 x3 = k,则原方程组的解为 显然方程组有无穷多解,称上述含任意常数的解为 方程组的通解。
文科数学
例3
解线性方程组
解:方程组的增广矩阵
文科数学
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随着研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入, 矩阵在18~19世纪期间应运而生,为处理线性问题提 供了有力的工具,从而推动了线性代数的发展。
线性代数的含义随数学的发展而不断扩大。线性代 数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支,比如 “以直代曲”是人们处理很多数学问题时一个很自然 的想法。此外,很多实际问题的处理,最后往往归结 为线性问题,它比较容易处理;同时它也是研究理论 物理和理论化学等不可缺少的代数基础知识。
文科数学
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有何特点? 同解方程组最后一个方程 0 =-2 是矛盾方程! 所以方程组无解, 此时称该方程组是不相容的或 矛盾的。
文科数学
由以上3例思考 不一定! 1. 线性方程组都有解吗?若有解,解一定唯一吗? 2. 如何判断解的各种情况?
唯 一 解
无 穷 多 解
无解
文科数学
线性方程组解的判定方法
例1
求解线性方程组
解:首先,用(2)消去(1)(3)中的未知量 x1, 由 (-2)×(2)+(1),(-4)×(2)+(3) 得
该方程组比原方程组少一个未知量。
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其次,用(4)消去(5)中的未知量 x2,由(5)-(4) 得 这比原方程组又少了一个未知量。 由(-1/2)×(6) 得 最后,将(7)代回(4)中,即消去(4)中的 x3, 由2×(7)+(4) 得
(1)
其中有 n 个未知量 x1 , x2 , , xn,m 个方程,aij R (i 1, , m; j 1, , n) 是未知量的系数, b1 , , bm R 是常数项。 若右端常数项 b1 , b2 ,
, bm 均为零, 则称方程组为
齐次线性方程组; 否则称为非齐次线性方程组。
我们在中学已经学过它的解法,但是实际问题中会 遇到未知量个数和方程个数都很多的一次方程组, 且未知量个数和方程个数未必相同。 由于二元一次方程表示平面上的一条直线,所以 将一次方程称为线性方程,将一次方程组称为线性 方程组。
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线性方程组的一般形式 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
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2、数表
a11 a21 A a m1
a12 a22 am 2
a1n a2 n amn
的线性运算(重要的工具)。
文科数学
§1 线性方程组的消元解法
对二元一次方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2
为了便于将此方法应用到任意形式的方程组的求
解,仍以例1为例,完整规范的写出它的解题步骤。
文科数学
例1
求解线性方程组
解:第一步,为了便于运算,互换(1)与(2)的位置 1
第二步,消去第一个方程下面的各个方程中的 x1, (1)-2×(2),(3)-4×(2) 得
文科数学
(1)-2×(2),(3)-4×(2) 得
齐次线性方程组解的情况
例4
求解齐次线性方程组
解:对系数矩阵施行行初等变换化为行最简阶梯形
文科数学
齐次线性方程组解的情况
有何特点?
文科数学
齐次线性方程组解的情况
有何特点?
写出等价方程组并移项
文科数学
齐次线性方程组解的情况
写出等价方程组并移项 令 则方程组的通解为 事实上,齐次线性 方程组总有零解,称 其为平凡解。
(行阶梯形矩阵)
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(-1/2)×(3) 得
(1)-2×(3),(2)+2×(3) 得
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(1)-2×(3),(2)+2×(3) 得
(-1/3)×(2) 得
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(-1/3)×(2) 得
(1)-(2) 得
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(1)-(2) 得
(行最简阶梯形矩阵) 阶梯上第一个元素为1,同列的其它元素都为零。 从而原方程组的解为
文科数学
在我国古代数学经典著作《九章算术》(约公 元3世纪)第八章“方程”(线性方程组)中有如下一问: 今有上禾三秉(束),中禾二秉,下禾一秉,实(产量) 三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十 四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗, 问上、中、下禾一秉几何? 该书中列出了如下的方程组(中国古代的书写形式 是自上而下,从右到左):
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由此对方程组的消元过程就可写成对方程组的增 广矩阵的行初等变换。
例1
求解线性方程组
解:方程组的增广矩阵
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互换(1)与(2)的位置得
(2)-2×(1),(3)-4×(1) 得
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(2)-2×(1),(3)-4×(1) 得
(3)-(2) 得
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(3)-(2) 得
(阶梯形方程组) (-1/2)×(3) 得
第三章 线性代数初步
§1 线性方程组的 消元解法
§2 矩阵及其运算
文科数学
线性代数作为独立的学科分支直到20世纪才形
成,然而它的历史却非常久远。
最古老的线性代数问题是线性方程组的求解,
在中国古代的数学著作《九章算术· 方程》章中,
已经作了比较完整的叙述,其中所述方法实质上 相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等 变换,消去未知量的方法。
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将要研究的问题 1、线性方程组是否有解? 2、若有解,解是否唯一? 3、有解时,如何求出全部的解?
研究的思路和途径 1、在中学代数中的加减消元法的基础上,结合 具体的线性方程组,导出求解一般方程组的通用方 法:高斯消元法;
2、从实际例子出发,利用高斯消元法观察解存在 与否的判断方法。
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第五步,消去(2)(4)中的 x3,(2)-2×(7),(4)+2×(7)
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第五步,消去(2)(4)中的 x3,(2)-2×(7),(4)+2×(7)
第六步,使(9)中的 x2 的系数变为1,(-1/3)×(9) 得
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第六步,使(9)中的 x2 的系数变为1,(-1/3)×(9) 得
第三步,消去第二个方程下面的各个方程中的 x2, (5)-(4) 得
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第三步,消去第二个方程下面的各个方程中的 x2, (5)-(4) 得
此时方程组中下一个方程比上一个方程少一个未 知量,形状如阶梯,称此方程组为阶梯形方程组。
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第四步,使(6)中的 x3 的系数变为1,(-1/2)×(6) 得
讨论下面的线性方程组何时无解,何时有无 穷多解。
思考
d3≠0 时无解;
d3=0 时有无穷多解。
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小 结
本节主要围绕解一般线性方程组的问题,从运用
加减消元法去求解特殊的线性方程组入手,一步一 步的提出问题,分析问题,逐步探索出求解任意线 性方程组的一般方法:高斯消元法。 高斯消元法的基本思想:逐步将原方程组化简,
第七步,消去(8)中的x2,(8)-(10) 得
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第七步,消去(8)中的x2,(8)-(10) 得
由此得到了方程组的解。 思考:上述求解过程用到了哪些方法,从而逐步 对原方程组进行消元变简?
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用到了如下三种变换 1、交换两个方程的顺序; 2、用一个非零常数乘某个方程; 3、用一个数乘某个方程后加到另一个方程上; 称上述三种变换为线性方程组的初等变换。 初等变换的作用在于 将方程组的形式变的简单易求,且新方程组与原 方程组是同解方程组。 用消元法求解线性方程组的实质 对方程组施行一系列同解的初等变换,将它逐步 化简以求其解。
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上述解法的基本思路和步骤
反复利用矩阵的行初等变换,逐步将线性方程组
的增广矩阵化成行最简阶梯形矩阵,从而求出方程
组的解。 此种方法称为高斯消元法,它是解线性方程组的
最一般、最有效的方法。
将一个矩阵化为行最简阶梯形矩阵共分两步
化行阶梯形:从上到下,从左到右;
化行最简阶梯形:从下到上,从右到左。
将线性方程组的增广矩阵化为行阶梯形矩阵后:
1. 若出现 (0, …, 0, d) ≠0 的非零行,则无解; 2. 若不出现 (0, …, 0, d) ≠0 的非零行,则有解,且 ①. 非零行行数等于未知量个数,则有唯一解; ②. 非零行行数小于未知量个数,则有无穷多解。
唯 一 解
无解
无 穷 多 解
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(1)
此数表是按各数在方程组中的相对位置排成的。
加上常数项得数表
定义1
(2)
称上述矩形表为矩阵,横的排称为行, 竖的排称为列,其中的数称为矩阵的元素。 矩阵(1)称为方程组的系数矩阵,记为A,矩阵(2) 称为方程组的增广矩阵,记为 A.
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对于一般的线性方程组
a11 x1 a12 x2 a x a x 21 1 22 2 am1 x1 am 2 x2
文科数学
经初等变换求解线性方程组的这一思路,反映了 一般线性方程组的求解规律。 思考:方程组的解和未知量符号有没有关系?
那和什么有关呢?
没有
和未知量的系数以及右端的常数项有关!
问题:在用初等变换求解方程组时,本质上是 对什么在运算?什么在变化?