目录摘要 (I)Abstract. (II)第一章绪论 (I)1.1引言 (1)1.2线性方程组解的求解方法的研究现状 (1)1.3本文对线性方程组解法的研究结构 (1)第二章线性方程组理论基础 (2)2.1 线性方程组概念 (2)2.2 线性方程组的解的情况分析 (2)2.3 齐次线性方程组解的结构 (4)2.4非齐次线性方程组解的结构 (4)第三章线性方程组的数值解 (5)3.1 迭代法 (5)3.1.1 Jacobi方法 (6)3.2.2 高斯-赛德尔方法 (8)第四章全文总结和展望 (10)4.1 全文总结 (10)4.2 未来展望 (10)参考文献 (11)致谢.................................................................. 错误!未定义书签。

线性方程组的求解方法学生：指导教师：摘要：本文在对线性方程组解的结构的研究背景与意义分析的基础上，对线性方程组的求解方法的研究现状进行了介绍，之后针对线性方程组展开了研究，包括线性方程组的概念、线性方程组的求解方法以及线性方程组的作用等，在对线性方程组有了全面的认识后，基于线性方程组解的结构展开了研究，包括线性方程组解的基本定理，齐次和非齐次线性方程组解的结构形式，以及齐次和非齐次线性方程组解的结构，我们用迭代法中最常用的Jacobi方法中的相似上三角矩阵定理和迭代法中的收敛性讨论线性方程组的数值解法，并用高斯-赛德尔方法进行验证。

得到线性方程组的数值解的一般方法。

最后，对全文进行了总结和展望。

关键词：线性方程组;数值解；迭代法；Jacobi方法；高斯-赛德尔方法THE METHOD OF CALCULATING THE SYSTEM OF LINEAREQUATIONSStudent:Supervisor:Abstract：This article introduced the research status of the solving methods of linear equations solution based on the analysis of the research background and significance of the structure of linear equations solution and then started a study on linear equations,including the basic concept of linear equations solution, structure and structure forms of homogeneous and non-homogenous linear equation solutions.Similar triangles matrix theorem, the most commonly used method in Jacobi of iteration method, and convergence of iteration method were used to discuss the numerical solution of linear equations and then, gauss-seidel method were used to validate its outcome so that we got the common way to get the numerical solution of linear equations. the article got a conclusion and a prospect tonthe resaerch and relevant methods.Key word：Linear equations; numerical solution; iterative method; Jacobi method; Gauss - Seidel method第一章绪论1.1 引言随着科技和社会的不断进步，数学领域也得到了极大的发展，很多大量的科学技术，通过化简和处理，最后几乎都演变成线性方程组的求解，线性方程组的求解，就是一次方程组的求解，通过将复杂问题转换成线性方程组，大大简化了问题的难度，因此，大量的学者将目光投向对线性方程组进行研究，分析线性方程组解的结构形式，并对线性方程组的求解方法进行剖析和处理，目前，线性方程组已经应用于矩阵理论、欧氏理论、多项式理论、线性空间等多个领域，因此，对线性方程组的求解方法，不仅有助于数学和计算领域的发展，也为未来更复杂、更先进的计算提供了理论基础。

1.2 线性方程组解的求解方法的研究现状线性方程组从提出至今，已经拥有很悠久的历史，世界上对线性方程组研究最早的国家是我国，我国的《九章算术》早于公元一世纪就提出了用于求解三元线性方程组的“方程术”法，也是我国最早的数学方面的著作；于公元263年，我国的刘徽在《九章算术》的基础上，提出了《九章算术注》，拓展和更正了《九章算术》，并提出了求解线性方程组的“互乘消除法”和“配分比例法”，大大简化了线性方程组的解法，西方的线性方程组的研究，是由德国的莱布尼兹提出了线性方程组系数行列式开始，开创了西方国家的线性方程组研究历史，英国麦克劳林于18世纪就开始对线性方程组解结构展开了研究，之后，瑞士克莱姆在1750年提出了Cramer’s Rule，为齐次线性方程组的求解奠定了基础，1764年，法国贝祖通过对线性方程组解结构进行分析，采用消元法增加了高次方程组的求解，法国的范德蒙在1772年，提出了用二阶子式及余式来展开行列式，巴黎的柯西在行列式方面做出了卓越的贡献，包括柯西不等式、积分公式等，英国的凯莱和西尔维斯特于1860年，一起发明了代数型理论，采用矩阵来求解线性方程组，19世纪，德国的菲罗贝尼乌斯完善了方程组解及矩阵性质的研究，目前，线性方程组已经越来越成熟，并被应用于矩阵理论、欧氏理论、多项式理论、线性空间等多个领域，从而使复杂的问题简单化，方便问题的求解。

1.3本文对线性方程组解法的研究结构首先对线性方程组的概念进行阐述，理解其定义；然后对线性方程组解的情况进行分析，得出线性方程组解的结构。

将复杂问题转换成线性方程组，大大简化了问题的难度，对线性方程组解的结构研究，有助于数学和计算领域的发展，已经应用于矩阵理论、欧氏理论、多项式理论、线性空间等多个领域。

本文在对线性方程组的求解方法研究背景与意义分析的基础上，对线性方程组的求解方法研究现状进行了介绍，之后针对线性方程组展开了研究，包括线性方程组的概念、线性方程的求解方法以及线性方程组的作用等，在对线性方程组有了全面的认识后，基于线性方程组解的结构展开了研究，包括线性方程组解的基本定理，总结了齐次和非齐次线性方程组解的数值解法。

最后，对全文进行了总结和展望。

第二章 线性方程组理论基础2.1 线性方程组概念线性方程组指的是在一组含有未知分量的方程组中，所有的未知分量的次数都为1的方程组，如公式(1)所示。

AX B = (1)其中，A 等于()ij m n a ⨯，是一个m n ⨯的系数矩阵，B 等于12(b ,b ,b )T m ，是一个m 个数值组成的矩阵，如果在A 中增加一列由B 组成的常数项列，则A 变成增广矩阵，X 等于12(,,)T n x x x ，是由n 个未知分量组成的矩阵，但所有未知分量的次数均为1次。

如果B 等于0，该方程组被称为齐次方程组，如果B 不等于0，该方程组则被称为非齐次方程组。

若将11x c =，22x c =，…，n n x c =带入方程组中，各个方程组均成立，则称12(,,)n c c c 为方程组的一个解，一般非齐次线性方程组的解是唯一的，但是往往一个齐次方程组的解并不是唯一的，而是由若干或者无穷多个解构成了方程组的解的集合，在进行方程组的研究时，主要需要考虑的就是如何求解方程组，方程组何时有解，解的集合的构成，以及解的结构几个方面。

2.2 线性方程组的解的情况分析研究线性方程组的主要目的，就是为了求解线性方程组，矩阵理论、欧氏理论、多项式理论、线性空间、最优化问题求解、积分和微分等多个领域都涉及到线性方程组的求解问题，常用的求解线性方程组的方法有两种，一种是直接消元法，另一种是迭代法。

1. 消元法消元法就是通过对线性方程组中的未知分量，进行逐步的消除，进而减少线性方程组中未知分量的个数，从而将复杂的方程组化简成为简单的形式，进而求得相应的解。

比如像下面的线性方程组就可以利用直接消元法来进行线性方程组的求解，具体的求解步骤如下。

22132292336x y z x y z x y z -+=-⎧⎪++=⎨⎪--=⎩(2)(3)(4)(3)3(2)-⨯可以得到8412y z -=，将其化简之后可以得到23y z -= (5)(4)3(2)-⨯可以得到78y z -= (6)2(6)(5)⨯-可以得到1313z -= (7)从而解得1z =-,将z 的值带入到公式(6)中，可以得到1y =，在将z 和y 的值带入到公式(2)中，可以得到3x =,因此，解得该线性方程组的解为以上就是通过消元法求解的线性方程组的一个实例，这种消元法往往使用于方程组个数较少、相对格式较简单的形式，当线性方程组较为复杂、未知分量及方程组个数较多时，往往利用矩阵，将线性方程组的增广矩阵，通过使用行初等变换，来将其变换成行简化阶梯型矩阵，从而求得相应的方程组解，但是，当系数矩阵的阶数较大时，消元法需要较大的计算量，而且在使用计算机进行存储时，也浪费了大量的存储空间。

2. 迭代法迭代法也是常用的求解线性方程组的一种常用方法，由于具有程序简单，存储空小的优点，非常适用于未知分量及方程组个数较多时的求解，迭代法就是通过某种极限过程来一步步的逼近线性方程组的解，通过逐次的迭代运算，最终求得线性方程组的解，比如像线性方程组AX = b ，我们可以将其变换成x = Bx + f 的形式，之后，基于此，构造如公式(8)的迭代格式。

(k 1)(k)XBX f +=+ (8) 其中，k 等于0,1,2,n ，n 代表迭代次数，假设*x 是线性方程组Ax b =的唯一解，则有**x Bx b =+，假设(0)x )为随机选取的初始向量，则根据公式(8)可以构成相应的向量序列{}(k)x 。

这种求解的方法就是迭代法，但是只有在迭代法收敛的情况下，*x 才是线性方程组Ax b =的唯一解，迭代法收敛需要满足，只有在满足这个条件的前提下，迭代法才收敛，否则迭代法发散。