徐宝騄（1910-1970），浙江杭州人，中国著名的数理统计学家．1936年徐宝騄进入当时的数理统计研究中心伦敦大学学院学习数理统计，1940年回国任教．作为我国概率统计方面的学科带头人，在数理统计的许多领域，他都做出了杰出贡献，Springer 出版的专著介绍了对他的评价：“徐宝騄是20世纪中最渊博、富有创造性的统计学家之一．”14．不等式（组）的应用解读课标现实世界中不等关系是普遍存在的，许多现实问题是很难确定或不需确定具体的数值，但可以求出或确定某个量的变化范围或变化趋势，从而对所研究问题有一个较清晰的估算或认识，这就是不等分析的基本思想．不等式的应用主要表现在： （1）求代数式的取值范围； （2）作差或作商比较数的大小； （3）求代数式的最值；（4）列不等式（组）解决实际问题． 问题解决例1 若a 、b 满足2357a b +=，223s a b =-，则s 的取值范围是______________．试一试 用s 的代数式表示2a 、b ，由20a ≥、0b ≥建立关于s 的不等式组． 例2 1a 、2a ，…，2004a 都是正数，如果()()122003232004M a a a a a a =++++++，()()122004222003N a a a a a a =++++++，那么M 、N 的大小关系是（ ）．A ．M N >B ．M N =C ．M N <D ．不确定的试一试 作差比较M 、N 的大小，解题的关键是如何简化M 、N ，不妨换元．例3 为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一次小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通秩序．若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但又不少于4人，这个中学共选派值勤学生多少人？共在多少个交通路口安排值勤？试一试 设共在x 个交通路口安排值勤，则共派478x +名学生值勤，解题的关键是，若每个路口安排8人，则最后一个路口安排人数用怎样的不等式表示．例4 某工厂生产A 、B 两种产品共50件，其生产成本与利润如下表：若该厂计划投入资金不超过40万元，且希望获利超过16万元，问：工厂有哪几种生产方案？哪种生产方案获利最大？最大利润是多少？试一试 设生产A 种产品x 件，建立x 的不等式组，将问题转化为求x 的整数解并讨论． 例5 已知1a 、2a 、3a 、4a 、5a 、6a 、7a 是彼此互不相等的正整数，它们的和等于159，求其中最小数1a 的最大值．分析与解 不妨设1237a a a a <<<<，则1237159a a a a ++++=，解题的关键是怎样把多元等式转化为只含1a 的不等式，这里要用到整数的如下性质：设a 、b 为整数，若a b <，则1a b +≤．因1a ，2a ，…7a 为整数，故121a a +≤，132a a +≤，143a a +≤，151a a +≤，165a a +≤，176a a +≤，上面不等武相加，得1721159a +≤，15197a ≤，故1a 的最大值是19．放缩法放缩法，即将代数式的某些部分恰当地放大或缩小，从而得到相应的不等式，以达到解决问题的目的．放缩法的实质是构造不等式，通过缩小范围逼近求解，放缩法体现了化“相等”为不等．以“不等”求“相等”的策略和思想．例6 将若干由1开始的连续自然数写在纸上，然后删去其中一个数，则余下的数的平均数为4537，问删去的那个数是多少？分析 设所写的数为1，2，…，n ，删去其中的()1a a n ≤≤，则余下的数的平均数为1245317n a n +++-=-，由1a n ≤≤，建立n 的不等式组．解1a n ≤≤，()()1231231123111n nn n a n n n ++++-++++-++++-∴<<---，即()()()1112142253171n n n n n n -+-<<--，解得1110510777n ≤≤，106n =或107．当106n =时，46a =；当107n =时，a 为非正数，舍去．数学冲浪1．在关于1x ，2x ，3x 的方程组121232313x x a x x a x x a+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩中，已知123a a a >>，那么将1x ，2x ，3x 从大到小排起来应该是_________________．2．若方程组24563x y m x y m +=+⎧⎨+=+⎩的解x ，y 都是正数，则m 的取值范围是___________．3．一辆公共汽车上有()54a -名乘客，到某一车站有()92a -名乘客下车，则车上原有_______名乘客．4．小芳和爸爸、妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为150千克，爸爸坐在跷跷板的一端，体重只有妈妈一半的小芳和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时，爸爸的那一端仍然着地，请你猜一猜小芳的体重应小于（ ）．A ．49千克B ．50千克C ．24千克D ．25千克5．几位同学拍一张合影作留念，已知冲一张底片需要0.80元，洗一张相片需要0.35元，在每位同学得到一张相片，共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足0.5元，那么参加合影的同学人数（ ）．A ．至多6人B ．至少6人C ．至多5人D ．至少5人6．某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3千米都需付7元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x 千米，那么x 的最大值是（ ）．A ．11B ．8C ．7D ．57．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友未分到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．8．“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式，某家电商场计划用11.8万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台，三种家电的进价和售价如下表所示：视机的数量的3倍，请问商场有哪几种进货方案？（2）在“2012年消费促进月”促销活动期间，商家针对这三种节能型产品推出“现金每购满1000元送50元家电消费券一张、多买多送”的活动．在（1）的条件下，若三种电器在活动期间全部售出，商家预估最多送出消费券多少张？9．温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将n 件产品运往A ，B ，C 三地销售，要求运往C 地的件数是运往A 地件数的2倍，各地的运费如图所示．设安排x 件产品运往A 地．（1）当200n 时，①根据信息填表：（2）若总运费为5800元，求n 的最小值． 思维方法天地10．100名少年运动员胸前的号码分别是1，2，3，…，99，100．选出其中的k 名运动员，使得他们的号码数之和等于2008，那么k 的最大值是______________．11．按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否487>”为一次操作，如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围是____________．12．a 、b 、c 、d 是正整数，且20a b +=，24a c +=，22a d +=，设a b c d +++的最大值为M ，最小值为N ，则M N -=____________．13．为了保护环境，某企业决定购买10台污水处理设备．现有A 、B 两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水及年消耗费如下表．经计算，该企业购买设备的资金不高于105万元，请你设计，该企业购买方案有______________种．14．要使方程组3232x y ⎧⎨+=⎩的解是一对异号的数，则a 的取值范围是（ ）．A ．433a << B ．43a < C ．3a > D ．43a <或3a > 15．已知a ，b ，c ，d 都是整数，且2a b <，3b c <，4c d <，50d <，那么a 的最大值是（ ）． A ．1157 B ．1167 C ．1191 D ．119916．甲从一个鱼摊上买了三条鱼，平均每条a 元，又从另一个鱼摊上买了两条鱼，平均每条6元，后来他又以每条2a b+元的价格把鱼全部卖给了乙，结果发现赔了钱，原因是（ ）． A ．a b > B ．a b < C ．a b = D ．与a 和b 的太小关系无关 17．若2a b +=-，且2a b ≥，则（ ）． A ．b a 有最小值12 B ．b a 有最大值1 C ．a b 有最大值2 D ．a b 有最小值89-18．有五个数，每两个数的和分别为2，3，4，5，6，7，8，6，5，4（未按顺序排列），求五个数中最大数的值．19．问题提出我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用方法之一．所谓“作差法”就是通过作差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式M 、N 的大小，只要作出它们的差M N -，若0M N ->，则M N >；若0M N -=，则M N =；若0M N -<，则M N <．问题解决如图①，把边长为()a b a b +≠的大正方形分割成两个边长分别是a 、b 的小正方形及两个矩形，试比较两个小正方形的面积之和M 与两个矩形面积之和N 的大小．图①a解：由图可知，22M a b =+，2N ab =， ()2222M N a b ab a b ∴-=+-=-．a b ∴≠，()20a b ∴-> 0M N ∴->，M N ∴>．类比应用（1）已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为2a b +元/千克、2aba b+元/千克（a ，b 是正数，且a b ≠），试比较小丽和小颖所购商品的平均价格的高低．（2）试比较图②、图③两个矩形的周长1M 、1N 的大小()b c >．图②b +ca +b图③a-cb +3c联系拓展小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，箱子的尺寸如图④所示()0b a c >>>，售货员分别可按图⑤、图⑥、图⑦三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由．图④c ba 图⑤图⑥图⑦应用探究乐园20．已知n ，k 皆为自然数，且1k n <<，若102131n kn =-++++-，及n k a +=，求a 的值．21．某楼盘一楼是车库（暂不销售），二楼至二十三楼均为商品房（对外销售）．商品房售价方案如下：第八层售价为3000元/平方米，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元．已知商品房每套面积均为2120m ，开发商为购买者制定了两种购房方案．方案一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的30%），再办理分期付款（即贷款）．方案二：若购买者一次付清所有房款，则享受8%的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管理费为a 元）．（1）请写出每平方米售价y （元/平方米）与楼层x （223x ≤≤，x 是正整数）之间的关系式． （2）小张已筹到120000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？（3）有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9%的优惠划算．你认为老王的说法一定正确吗？请用具体的数据阐明你的看法．14．不等式（组）的应用答案问题解决 例1 211453s -≤≤ 2215019s a +=≥ 143019s b -=≥ 例2 A 设122003a a a a +++=，232003a a a b +++=，则()()()2004220040040M a a b a a b N a b a -=+-+=->．例3 由题意得()4784818x x +--<≤，19．520.5x <≤，20x =，共有值勤学生78420158+⨯=（人），共在20个交通路口值勤． 例4 x 正整数解为17，18，19，即共有三种生产方案，具体方案略；最大利润为16.6万元． 数学冲浪 1．213x x x >> 2．572m << 3．6人或11人或16人 提示：540a -≥且920a -≥、5492a a --≥． 4．D 5．B 6．B7．37个或42个，5人或6人 8．（1）共有三种进货方案； （2）最多送出消费券130张（130600130100≈）． 9．（1）①略 ②有三种运输方案； （2）n 的最小值为221．10．选号码越小的，可以使选出的人数越多，因此考虑选由1～n 的连续n 个自然数之和不超过2008的n 组，因()112320082n n n +++++=≤，得()14016n n +≤，626339064016⨯=<，636440324016⨯=>，于是取62n =．即最多能选出62人．11．719x <≤ 前四次操作的结果分别为32x -，()332298x x --=-，()39822726x x --=-，()3272628180x x --=-．由已知，得27264878180487,x x -⎧⎨->⎩≤，解得719x <≤．容易验证，当719x <≤时，32487x -≤，98487x -≤． 故x 的取值范围是719x <≤．12．36 20b a =-，24c a =-，22d a =-，由a ，b ，c ，d 为正整数得119a ≤≤，原式662a =-． 13．3 设购买x 台A 种型号的设备，y 台B 种型号的设备，则101210105.x y x y +=⎧⎨+⎩≤ 14．D 345a x -=，625ay -=，()()34620a a --<． 15．B 21a b -≤，31b c -≤，41c d -≤，50149d -=≤． 16．A()()532022a b b aa b +--+=<，得a b >． 17．C 0a >，0b <或0a <，0b <，从而12b a ≤或12b a ≥，2ab≤．18．设a b c d e ≤≤≤≤，将和数从小到大重新排列为2，3，4，4，5，5，6，6，7，8． 则2378,a b a c c e d e +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩又()1234455667812.54a b c d e ++++=+++++++++=，从而 4.5e =．19．（1）()()22022a b a b ab a b a b -+-=>++，22a b ab a b+∴>+，即小丽所购商品的平均价格比小颖的高． （2）图②矩形的周长大于图③矩形的周长． 联系拓展图⑦的捆绑方法用绳最长，图⑥的最短． 20．1k n << ()()()1231231231111n nn kn n n n ++++-++++-++++-∴<<---．即()()()11121221011n n n n n n -+-<<--，21022n n +<<，202n n <<+，19n = 于是()1231910191k++++-=-，119201802k ⨯⨯-=，10k =故191029a n k =+=+=．21．（1）()()20284028,402680823,x x x y x x x ⎧+⎪=⎨+<⎪⎩为正整数为正整数≤≤≤ （2）当28x ≤≤时，小张首付款为：()()20284012030%36202840362082840108(0)00x x +⨯⨯=+⨯+=≤（元）120000<（元）．所以2～8层可任选．当923x ≤≤时，小张首付款为：()()40268012030%36402680x x +⨯⨯=+（元），由()36402680120000ax +≤，解得4911633x =≤． 因x 为正整数，所以916x ≤≤．综上可知：小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层．（3）若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为：()14016268012092%60y a =⨯+⨯⨯-（元）． 若按老王的想法则要交房款为：()24016268012091%y =⨯+⨯⨯（元）． 由12398460y y a -=-．可知当12y y >，即12y y -时，解得066.4a <<，此时老王想法正确；当12y y ≤，即120y y -≤，解得66.4a ≥，此时老王想法不正确．。