由于W V，规则1）、2）、5）、6）、7）、8） 是显然成立的．下证3）、4）成立．
∵ W ，∴ W . 且对 W，由数乘运算 封闭，有 (1) W，即W中元素的负元素就是
它在V中的负元素，4）成立．
由加法封闭，有 0 ( )W ,即W中的零元
就是V中的零元， 3）成立．
§6.5 线性子空间
它的一组基生成.
类似地，还有
P[ x]n L(1, x, x2,L , xn1)
a0 a1 x L an1xn1 a0 ,a1,L ,an1 P
§6.5 线性子空间
有关结论
1、设W为n维线性空间V的任一子空间，1,2 ,L ,r 是W的一组基，则有 W L(1,2 ,L ,r ) 2、（定理3）
其次， , W3 ,k P, 设 ( x1, x2 ,L , xn1,0), ( y1, y2 ,L , yn1,0)
则有 ( x1 y1, x2 y2 ,L , xn1 yn1,0) W3
k (kx1, kx2 ,L , kxn1,0) W3
故，W3为V的一个子空间，且维W3 ＝n－1 ，
1）1,2 ,L ,r；1, 2 ,L , s 为线性空间V中的
例1 设V为数域P上的线性空间，只含零向量的
子集合 W {0} 是V的一个线性子空间，称之为V的
零子空间．线性空间V本身也是V的一个子空间. 这两个子空间有时称为平凡子空间，而其它的
子空间称为非平凡子空间．
例2 设V为所有实函数所成集合构成的线性空间, 则R[x]为V的一个子空间．
例3 P[x]n是P[x]的的线性子空间．
空间，称W为方程组(＊)的解空间．
注 ① (＊)的解空间W的维数＝n－秩(A)，A (aij )sn ；
② (＊)的一个基础解系就是解空间W的一组基.
§6.5 线性子空间
例5 判断Pn的下列子集合哪些是子空间： W1 {( x1, x2 ,L , xn ) x1 x2 L xn 0, xi P} W2 {( x1, x2 ,L , xn ) x1 x2 L xn 1, xi P}
§6.5 线性子空间
1 (1,1,0,L ,0), 2 (1,0, 1,0,L ,0), L L ,
n1 (1,0,L ,0, 1) 就是W1 的一组基.
而在 W2中任取两个向量 , ，设 ( x1, x2 ,L , xn ), ( y1, y2 ,L , yn ) 则 ( x1 y1, x2 y2 ,L , xn yn )
但是 ( x1 y1 ) ( x2 y2 ) L ( xn yn ) ( x1 x2 L xn ) ( y1 y2 L yn ) 1 1 2
W2 , 故W2不是Pn的子空间.
§6.5 线性子空间
下证W3是Pn的子空间. 首先 0 (0,0,L ,0) W3, W3
设V是数域P上的线性空间，集合 W V (W ) 若W对于V中的两种运算也构成数域P上的线性空间, 则称W为V的一个线性子空间，简称为子空间． 注：① 线性子空间也是数域P上一线性空间，它也
有基与维数的概念. ② 任一线性子空间的维数不能超过整个空间的
维数.
§6.5 线性子空间
2、线性子空间的判定 定理：设V为数域P上的线性空间，集合 W V
i
(0,L
, 0,1, 0L i
, 0),
i 1,2,L , n 1
就是W3的一组基.
§6.5 线性子空间
例6 设V为数域P上的线性空间，1,2 ,L ,r V
令W {k11 k22 L krr ki P,i 1,2,L ,r}
则W关于V的运算作成V的一个子空间．
即1,2 ,L ,r 的一切线性
(W )，若W对于V中两种运算封闭，即
, W , 有 W ; W ,k P, 有 k W
则W是V的一个子空间．
推论：V为数域P上的线性空间,W V (W ), 则 W是V的子空间 , W ,a,b P,a b W .
§6.5 线性子空间
证明：要证明W也为数域P上的线性空间， 即证W中的向量满足线性空间定义中的八条规则．
§6.5 线性子空间
例7 在Pn 中，
i
(0,L
, 0,1, 0L i
, 0),
i 1,2,L ,n
为Pn的一组基， (a1,a2,L ,an ) Pn
有 a11 a2 2 L an n
故有 Pn L(1,2,L ,n )
事实上，任一有限 维线性空间都可由
即 Pn 由它的一组基生成.
§6.5 线性子空间
例4 n元齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 L a1n xn 0
a21 x1 LL
as1 x1
a22 x2 L LLLL as2 x2 L
a2n
(＊)
的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数
量乘法构成的线性空间是 n维向量空间Pn的一个子
第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
§6.5 线性子空间
一、线性子空间 二、生成子空间
§6.5 线性子空间
一、线性子空间
1、线性子空间的定义
W3 {( x1, x2,L , xn1,0) xi P, i 1,2,L , n 1}
若为Pn的子空间，求出其维数与一组基.
解：W1 、W3是Pn的子空间， W2不是Pn的子空间.
事实上，W1 是n元齐次线性方程组
x1 x2 L xn 0
①
的解空间. 所以，维W1 ＝n－1，①的一个基础解系
组合所成集合.
§6.5 线性子空间
二、一类重要的子空间 ——生成子空间
定义：V为数域P上的线性空间，1,2,L ,r V，
则子空间
W {k11 k22 L krr ki P,i 1,2,L ,r}
称为V的由 1,2 ,L ,r 生成的子空间， 记作 L(1,2 ,L ,r ) ． 称 1,2 ,L ,r 为 L(1,2 ,L ,r )的一组 生成元.