σ : V → Pn,
α (a1 , a2 , , an )
α ∈ V
基下的坐标, 这里(a1 , a2 , , an )为 α 在 ε 1 , ε 2 , , ε n 基下的坐标, 就是一个V到 的同构映射, 就是一个 到Pn的同构映射,所以 V P n .
§6.8 线性空间的同构
二,同构的有关结论
σ : V → P n , α (a1 , a2 , , an )
α = ε 1a1 + ε 2a2 + + ε nan 是V中唯一确定的元素, 中唯一确定的元素, 中唯一确定的元素 并且 σ (α ) = ( a1 , a2 , , an ), 即 σ 也是满射. 也是满射
因此, 因此,σ 是V到 Pn 的一一对应 到 的一一对应.
4)设 dimV = n, ε 1 , ε 2 , , ε n 为V 中任意一组基 ) 中任意一组基.
σ 的一组基. 由2)3)知, (ε 1 ),σ (ε 2 ), ,σ (ε n )为 σ 的一组基 ) )
所以 dimV ′ = n = dimV .
§6.8 线性空间的同构
5)首先 σ 1 :V ′ → V 是1-1对应,并且 ) 对应, - 对应
IV
§6.8 线性空间的同构
4,数域P上的两个有限维线性空间 V1 ,V2同构 ,数域 上的两个有限维线性空间
dimV1 = dimV2 .
证: " " 若 V1 V2 ,由性质 之4)即得 由性质2之 )
dimV1 = dimV2 .
" " (法一)若 dimV1 = dimV2 , 法一)
1,数域P上任一 维线性空间都与 n同构 ,数域 上任一 维线性空间都与P 同构. 上任一n维线性空间都与 2,设 V ,V ′ 是数域 上的线性空间, 是V 到V ′ 的 , 是数域P上的线性空间 σ 上的线性空间, 同构映射, 同构映射,则有 1) σ ( 0 ) = 0, σ ( α ) = σ ( α ) . ) 2) σ ( k1α1 + k2α 2 + + krα r ) )
由性质1 由性质 ,有 V1 P n , V2 P n
∴V1 V2 .
§6.8 线性空间的同构
" "(法二:构造同构映射) 法二:构造同构映射)
分别为V 的一组基. 设 ε 1 , ε 2 ,ε n ; e1 , e2 , en分别为 1, V2的一组基 定义 σ : V1 → V2 , 使
的一个同构映射, 所以 σ 是V1到V2的一个同构映射,故 V1 V2 .
σ 是单射,有 σ 1 (α ′ + β ′) = σ 1 (α ′ ) + σ 1 ( β ′ ) 再由 是单射,
′ ) = kσ 1 (α ′ ), 同理, 同理,有 σ ( kα
1
α ′ ∈ V ′ , k ∈ P
所以, 的同构映射. 所以, 1为 V ′到V 的同构映射 σ
§6.8 线性空间的同构
kα ′ = kσ (α ) = σ ( kα ) , k ∈ P
由于W为子空间, 由于 为子空间,所以 α + β ∈ W , kα ∈ W . 为子空间 从而有 α ′ + β ′ ∈ σ (W ) , kα ′ ∈ σ (W ) .
§6.8 线性空间的同构
子空间. 所以 σ (W ) 是的 V ′ 子空间 显然, 也为W到 的同构映射, 显然,σ 也为 到 σ (W ) 的同构映射,即
α , β ∈ V
k ∈ P , α ∈ V
的一个同构映射 同构映射, 则称 σ 是V 到V ′ 的一个同构映射,并称线性空间
V 与V ′ 同构,记作 V V ′. 同构,
§6.8 线性空间的同构
为数域P上的 维线性空间, 例1,V为数域 上的 维线性空间,ε 1 , ε 2 , , ε n , 为数域 上的n维线性空间 的一组基, 为V的一组基,则前面 到Pn的一一对应 的一组基 则前面V到
引 入
我们知道,在数域 上的 维线性空间V中取定一组基后 上的n维线性空间 中取定一组基后, 我们知道,在数域P上的 维线性空间 中取定一组基后,
V中每一个向量α 有唯一确定的坐标 ( a1 , a2 , , an ), 向量的 中每一个向量 坐标是P上的 元数组 因此属于P 坐标是 上的n元数组,因此属于 n. 上的 元数组, 这样一来,取定了V的一组基 ε 1 , ε 2 , , ε n , 对于V中每一个 这样一来,取定了 的一组基 对于 中每一个 对应, 向量 α ,令α 在这组基下的坐标 ( a1 , a2 , , an ) 与 α 对应,就 得到V到 得到V到Pn的一个单射
= (a1 , a2 , an ) + (b1 , b2 , , bn ) = σ (α ) + σ ( β )
σ ( kα ) = ( ka1 , ka2 , kan )
k ∈ P
= k (a1 , a2 , an ) = kσ (α ), 这就是说,向量用坐标表示后, 这就是说,向量用坐标表示后,它们的运算可以
n
n
若 σ (α ) = σ ( β ), 即
i = 1,2, , n,
从而, 是单射. 从而,α = β . 所以 σ 是单射
∑ ai ei = ∑ bi ei , i =1 i =1
则 ai = bi ,
§6.8 线性空间的同构
任取 α ′ ∈ V2 , 设 α ′ = ∑ ai ei , 则有 α = ∑ ai ε i ∈ V1 , 使 σ (α ) = α ′.
§6.8 线性空间的同构
是一一对应, 而 σ 是一一对应,只有 σ (0) = 0. 所以可得 k1α1 + k2α 2 + + krα r = 0.
α 因此, 线性相关(线性无关) 因此, 1 ,α 2 , ,α r 线性相关(线性无关)
σ (α1 ),σ (α 2 ), ,σ (α r ) 线性相关(线性无关). 线性相关(线性无关)
所以, 的同构映射. 所以,乘积 τ σ 是 V 到V ′′ 的同构映射
§6.8 线性空间的同构
注
同构关系具有: 同构关系具有: 反身性: 反身性: V V 对称性: V V ′ V ′ V 对称性: 传递性: 传递性:V V ′, V ′ V ′′ V V ′′
σ τ τ σ
σ σ 1
σ (W ) = {σ (α ) α ∈ W }
子空间, 是的 V ′子空间,且 dimW = dim σ (W ).
§6.8 线性空间的同构
证: 1)在同构映射定义的条件 )在同构映射定义的条件iii) σ ( kα ) = kσ ( α ) 中分别取 k = 0与k = 1, 即得
σ ( 0 ) = 0, σ ( α ) = σ (α )
= k1σ (α1 ) + k2σ (α 2 ) + + krσ (α r ),
α i ∈ V , ki ∈ P ,
§6.8 线性空间的同构
i = 1,2, , r .
3)V中向量组 α1 ,α 2 , ,α r 线性相关(线性无关) ) 中向量组 线性相关(线性无关) 的充要条件是它们的象 σ (α1 ),σ (α 2 ), ,σ (α r ) 线性相关(线性无关) 线性相关(线性无关). 4) dimV = dimV ′. ) 5)σ:V → V ′ 的逆映射 σ 1 为 V ′到V 的同构映射 ) 的同构映射. 6) 若W是V的子空间,则W在 σ 下的象集 ) 的子空间, 是 的子空间 在
σ σ
1
= IV ′ ,
σ
1
任取 α ′, β ′ ∈ V ′,
σ
为恒等变换. 为恒等变换σ 1 (α ′ + β ′ )) = σ σ 1 (α ′ + β ′ ) = α ′ + β ′
= σ σ 1 (α ′ ) + σ σ 1 ( β ′ ) = σ (σ 1 (α ′ )) + σ (σ 1 ( β ′ )) = σ (σ 1 (α ′ ) + σ 1 ( β ′ ))
第六章 线性空间
§1 集合映射 集合 §2 线性空间的定义 与简单性质 §3 维数基与坐标 维数 §4 基变换与坐标变换 §5 线性子空间 §6 子空间的交与和 §7 子空间的直和 §8 线性空间的同构 小结与习题
§6.8 线性空间的同构
一,同构映射的定义 二,同构的有关结论
§6.8 线性空间的同构
W σ (W )
故 dim W = dim σ (W ).
注
可知, 由2可知,同构映射保持零元,负元,线性组合 可知 同构映射保持零元,负元,
及线性相关性,并且同构映射把子空间映成子空间 及线性相关性,并且同构映射把子空间映成子空间.
§6.8 线性空间的同构
3,两个同构映射的乘积还是同构映射. ,两个同构映射的乘积还是同构映射 证:设 σ:V → V ′, τ : V ′ → V ′′ 为线性空间的同构 映射, 对应. 映射,则乘积 τ σ 是 V 到V ′′ 的1-1对应 - 对应 任取 α,β ∈ V , k ∈ P , 有
6)首先, σ (W ) σ (V ) = V ′ )首先,
且 ∵ 0= σ ( 0 ) ∈ σ (W ) , ∴ σ (W ) ≠
其次, 其次,对 α ′, β ′ ∈ σ (W ) , 有W中的向量 α , β 中的向量 使 σ ( α ) = α ′,σ ( β ) = β ′. 于是有 α ′ + β ′ = σ ( α ) + σ ( β ) = σ (α + β )
归结为它们的坐标的运算. 归结为它们的坐标的运算