.. .. . . . . 第四章 根轨迹分析法习题

4-2 单位回馈控制系统的开环传递函数1)(sKsGr，试用解析法绘出rK从零变化到无穷时的死循环根轨迹图，并判断-2, j1, (-3+j2)是否在根轨迹上。 解：1-s01s0r时，K

2-s02s1r时，K 3-s03s2r时，K ……

-2 在根轨迹上，（-3+j2），j1不在根轨迹上。 4-3 回馈控制系统的开环传递函数如下，0rK，试画出各系统的根轨迹图。 (2) )4)(1()5.1()(ssssKsGr (3) 2)1()(ssKsGr， 解：（2） 1）开环零、极点：p1=0，p2=-1,p3=-4,z=-1.0，n=3，m=1 2）实轴上根轨迹段：（0，-1），（-1.5，-4） 3）根轨迹的渐近线：

902)12(,75.12)5.1(410)2( mnkaa夹角交点条渐近线

4）分离点和会合点 6.05.1141111ddddd试探法求得 （3） 1）开环零、极点：p1=0，p2,3=-1，n=3 2）实轴上根轨迹段：（0，-1），（-1，-∞） 3）根轨迹的渐近线： .. .. . . . . 180,603)12(,323110)3( mnkaa夹角交点条渐近线

4）分离点和会合点 310121

ddd

5）与虚轴交点：02r23Ksss

4-5 系统的开环传递函数为)1()2()(sssKsGr， (1) 画出系统的根轨迹，标出分离点和会合点； (2) 当增益rK为何值时，复数特征根的实部为-2？求出此根。

解： （1） 1）开环零、极点：p1=0，p2=-1 z=-2，n=2，m=1 2）实轴上根轨迹段：（0，-1），（-2，-∞） 3）分离点和会合点

414.3,586.02111121ddddd

可以证明该根轨迹是一个半径为1.414，原点在-2处的标准圆 （2）系统特征方程为02)1(rr2KsKs 2j2322122,1rrsKKab，，得：由

0123ssss

r2Kr 21 1K

rKj,202rrsKK.. ..

. . . . 4-6 单位回馈系统的前向信道函数为)3)(1()(sssKsGr，为使死循环主导极点具有阻尼比5.0，试确定rK的值。 解： 系统的根轨迹如图: d=-0.45 在根轨迹图上作射线: β=±60º 与根轨迹相交点为s1和s2 设相应两个复数死循环极点分别为：

nnjs866.05.01

nnjs866.05.02 则死循环特征方程式可表示为 0)()())()((2332233321nnnnssssssssssss

034r23Ksss系统特征方程为

比较系数，得： r2332334Ksssnnnn828.125.375.0r3Ksn

4-7 控制系统的开环传递函数为)4)(2()(sssKsGr (1) 绘出该回馈系统的根轨迹图； (2) 求系统具有阻尼振荡响应的rK取值围； (3) 系统稳定的rK最大为多少？并求等幅震荡的频率； (4) 求使主导极点具有阻尼比5.0时的rK值，并求对应该值时， 零极点形式的死循环传递函数。

解：（1） 1）开环零、极点：p1=0，p2=-2，p3=-4，n=3 2）实轴上根轨迹段：（0，-2），（-4，-∞） .. .. . . . . 3）根轨迹的渐近线：

180,603)12(,23420)3( mnkaa夹角交点条渐近线

4）分离点和会合点 )(732.4,845.004121121舍ddddd

分离点对应的08.3155.3155.1845.0rK 5）与虚轴交点：086r23Ksss

（2）系统具有阻尼振荡响应的rK取值围是：4808.3rK （3）系统稳定的48rK，等幅振荡频率为22 （4）同上题方法可求得： 阻尼比5.0时j1.1567.0,67.4,3.82,13ssKr

)15.1j67.0)(15.1j67.0)(67.4(3.8)(ssss

4-8单位负反馈系统的开环传递函数为)15.0)(1()(sssKsGr，用根轨迹分析系统的稳定性。 解：1）开环零、极点：p1=0，p2=-1，p3=-2，n=3 2）实轴上根轨迹段：（0，-1），（-2，-∞） 3）根轨迹的渐近线：

0123ssss

r84Kr 68 1K

rK2j2,48084rrsK

K.. ..

. . . . 180,603)12(,13210)3( mnkaa夹角交点条渐近线

4）分离点和会合点 )(644.1,356.002111121舍ddddd

5）与虚轴交点：0223r23Ksss

所以，系统稳定的rK取值围是：30rK

4-9 单位负反馈系统的开环传递函数为)02.01)(01.01()(sssKsGr (1) 画出系统的根轨迹图； (2) 确定系统临界稳定时的开环增益； (3) 确定与临界阻尼比相应的开环增益。

解：（1）)50)(100(5000)(sssKsGr

① 实轴上的根轨迹：[0, -50],[-100,-]

0123ssss

r26Kr2 32 1K

r2Kj,30262,1rrsKK.. ..

. . . . ② 分离点：0100d150d1d1

求解得87.78d13.21d21， ③ 渐近线：ooaa1806050，， 根轨迹如图所示。 (2) 系统临界稳定时 150750000*rKK，

(3) 系统临界阻尼比时 62.95.48112*rKK，

4-10 系统的开环传递函数为32)2()(2sssKsGr，试绘制系统在rK0时的根轨迹，并确定系统临界阻尼时的rK值。 解：

1）开环零、极点：2,2j12,1zp，n=2，m=1

2）实轴上根轨迹段：（-2，-∞） 3）分离点和会合点

1)( ,22)(2)( ,32)(2sBssAssBsssA .. .. . . . . )()()()(sAsBsBsA

)22)(2(322ssss s1=-3.732，s2=-0.268（舍）

此时系统即为临界阻尼情况， 对应的46.5732.1732.22732.2222rK

4）出射角7.1447.5490180 4-12 系统结构如图所示，试画出回馈系数k为变数的根轨迹。

解：)110(10)(KsssG 0)110(101)(1KsssG由 01010s2sKs 则，系统等效开环传递函数1010)(2sskssG

1）分离点和会合点 1)( ,12)()( ,10)(2sBssAssBsssA

)()()()(sAsBsBsA )12(102ssss s1=-3.16，s2=3.16（舍）

2）与虚轴无交点：010)110(2sks

3）1.9)1.99(90180

4-14 系统结构如图所示，闭环根轨迹通过(-0.65+j1.07)点，试绘制rK从0变化时系统的根轨迹。

-k110ss

1-)(sR

)(sC .. ..

. . . . 解：)2)(1()1(10)(1ssssTKsG

系统特征方程为：0)1(10)2)(1(1sTKsss 将s=-0.65+j1.07代入上式，可得：667.0,266.01TK

)2)(1()5.1(67.6)(ssssKsG)2)(1()5.1(sss

sK

r

1）根轨迹的渐近线：

902)12(,75.025.1210)2( mnkaa夹角交点条渐近线

2）分离点和会合点 54.05.1121111ddddd试探法求得： 5）与虚轴交点：0.5123rr23KsKss）（

所以，与虚轴无交点。 4-16 单位回馈系统的闭环特征方程为04)1(223rrKsKss。试绘制系统的根轨迹，并求闭环出现重根时的rK值和对应的闭环根。 解： 由系统特征方程可得系统等效开环传递函数2)1()4()(sssKsGr

0123ssss

r.516Krr1.5 32 1K

K

r2K