余角和补角的教学设计 （韩有） 指导思想与理论依据： 本节课以新课程理念为根本指导思想，本着“人人学习有用的数学”的观点，重视培养学生探索、发现知识和应用、解决问题的能力。课堂模式由单一的知识型向复合的应用、实践型转变，采用“引导——发现”的教学模式。这种模式的基本程序是“问题——猜想——验证——应用”。让学生体会到数学是来源于实际、应用于实际的工具。这种应用既体现在生活中又体现在整个知识网络中。教学手段由教师讲授的单一渠道拓展为多途径多手段的复合渠道，让学生的各个感知器官积极、协调的运转，达到事倍功半的效果。该操作的理论依据是布鲁纳的“发现学习”理论和杜威的“活动学习”理论。布鲁纳认为发现不仅限于寻求尚未知晓的事物，它包括用自己的头脑亲自获得知识的一切形式。学生在数学学习的过程中只有通过亲身的体验，才能掌握方法；他们在学习过程中应该是积极的探索者，教师要精心设置一个个问题链，以活动贯穿，创造一个适合学生探索的环境，通过不同的途径引导其自主探索。
教学背景分析： 余角和补角这节课知识点少，内容简单，往往被大多数教师视为没什么可讲的、枯燥的章节。所以在处理上大都是交待完概念，反复熟练便达到目的。但我们如果细心观察、注意联系总结会发现，互余和互补在生活中并不少见，而且这部分知识在今后解决综合性问题时也经常充当纽带和桥梁。所以在设计时充分考虑了实践性和操作性，重视知识纵深铺垫。所教学生数学基础比较扎实，但发散性思维、解决问题的灵活性和语言表述能力上有待于进一步训练。这与以往的数学课重在知识的“灌输”，重在知识系统的完整性和系统性，而忽视了学生创造性、探索精神的培养，造成了学生高分低能的现象不无关系。从这个角度上讲“人人学习有用的数学”的观点更适合培养创造性人才的需要。所以本节课把基础的落实设计得精准、有代表性，而在其它活动的设置上尽量采取开放型的提问方式，引导学生在多角度、灵活解决问题的同时，善于总结应用。为了多给学生交流的机会锻炼语言表述能力，和培养合作学习的意识和能力，有些环节设置成以四人小组为单位的学习单元，共同活动、讨论解决；对于学生们的分析结论鼓励其大胆陈述，好的成果利用视频展示给大家分享；对于抽象难懂的部分适当的运用多媒体手段使之表象化，生动化。
教学任务分析
教学目标预定
知识技能 1、理解互为余角、互为补角的概念; 2、在探索中理解余角、补角的性质，并能够 运用其解决特定的数学问题.
过程方法 1、尝试从实际情境中处理信息，在观察、猜想、说明过 程中体会数学思考过程的层次性和表述的严谨性; 2、通过两角度数的特殊值确定两角的关系; 3、几何中数与形的特殊对应关系. 尝试从实际情境中处理信息、形成数学思 情感态度 在共同活动中培养数学兴趣和合作学习能力，在探索过程中形成实事求是的态度和勇于探索的精神.
重 点 余角、补角的概念和性质的应用. 难点估计 特殊图形中的识别与性质应用.
课前准备 教 具 学 具 所需预备知识 课件、三角板 一副三角板、 角度的计算、等式的性质等.
教学流程大致安排 师生互动流程图 活动内容和目的 【活动1】 理解互余、互补的由来 欣赏录像——意大利风景，引出研究课题，抽象出互为余角、互为补角的概念.
【活动2】 练习 加深对互余和互补是两个角的数量关系的理解，能识别、计算和简单应用. 【活动3】 研究余角、补角的性质 通过作图、猜想、论证等数学活动探索、掌握余角、补角的性质. 【活动4】利用所学知识解决特定数学任务 互余、 互补及其性质在特殊位置关系图形中的应用
【活动5】三角板拼接 用三角板构造角的数量关系图形，体会数形的辩证关系. 【活动6】 小结 简要回顾所学知识.
具体教学过程设计： 问题情境与师生活动 设计意图 DCBAO 【活动1】 欣赏录像——意大利风景、建筑，针对比萨斜塔设置问题情境 . 某位游客设计的测量斜塔倾角的方案： 将斜塔看成一条线段OA，在正午太阳直射地面时标记塔顶的影子B，画出直线OB，想办法测出了 ∠AOB=85° （1） 斜塔OA倾斜了多少度？ （2） 斜塔OA与OB所成的另外 一个角是多少度？ 总结互余和互补的概念
2006年的冬季奥运会将在都灵举行，意大利备受关注。比萨斜塔又是学生熟悉的建筑，而且有许多科学渊源，容易激发学生的学习兴趣；
问题情境与师生活动 设计意图 【活动2】 1、下列各角哪些互为余角，哪些互为补角？
2、30°20′的余角和补角分别是多少？ 30°20′的余角=90°-30°20′=59°40′. 30°20′的补角=180°-30°20′=149°40′.
若一个角为x度，则它的余角为 （90-x）度，它的补角为（180-x）度 3、一个角的补角比它的2倍多30°，这个角是多少度？ 4、一个角的补角是它的余角的3倍，求这个角. 解：设这个角为x度，则它的余角为 （90-x）度，它的补角为（180-x）度 列方程：3（90-x）=180-x x=45°
答：这个角为 45°.
此组题就概念进行简单训练. 会识别互余与互补关系.强调互余和互补是一对角的数量关系，与位置无关.
会求一个角的余角和补角.
应用方程思想解决角及其关系角之间的问题.
170150120100
80603010 【活动3】 问题一： 已知锐角∠AOB，试着画出∠AOB的余角 分析：我们可用的作图工 具有圆规、直尺、三角 板、半圆仪，试着选取适当的工具，设计方案. 方案一：可以先度量∠AOB，通过计算得到其余角的度数，再画满足条件的角. 发现：这样画出的余角有无数个，但他们 的度数相同. 方案二：启发学生寻求便捷的途径： 让三角板的直角顶点与角的 顶点重合，一条直角边与角 的一边重合，画出想求做的 角 .（在数量上满足两角互 余的前提下有一条公共边） 这是一个开放性的问题，培养发散性思维和解决问题的灵活性、便捷性；可以帮助学生理解互余的概念，在解决问题的过程中提升创造能力， 并从中发现互余、互补的性质.
BO
A
1BO
A问题情境与师生活动 设计意图 问题二： ∠1=∠2，∠3与∠1互余，∠4与∠2互 余，猜一猜∠3与∠4 是什么关系？ 根据概念∠3=90°-∠1 ∠4=90°-∠2 而∠1=∠2，则由等式的性质有 90°-∠1 = 90°-∠2，即∠3=∠4 结论：同角（等角）的余角相等. 同样：同角（等角）的补角相等.
【活动4】 在下列图形中找特殊的数量关系： 练习互余、 互补及其性质在特殊位置关系图形中的应用
4321
O
D
CB
A
321O
CD
BA 【活动5】 上一个图形是由如下 的三角板模型抽象而 来的. 一副三角板本身就蕴含着相等和互余，用一副三角板还能构造出其它一些图形，其中蕴含着相等、互余或者是互补的角，请大家动手尝试，构造设计一些这样的图形. 例如： 图中∠1=∠2，甚至进 而研究∠3与∠COB 什么关系？引导学生讨 论尝试多种解决方案： 三角板问题是今后学习中,几何情境设置的常用素材.此活动能锻炼学生灵活解决问题的能力。引导学生利用三角板构造满足互余情况的特殊位置关系的图形，了解特殊位置关系与特殊数量关系的对应.
A O C
B 2 3 .3180909032133213390239031互补与所以）（）（）（所以，，因为COBCOB问题情境与师生活动 设计意图 如直观说明：反向延长OB，找到∠3的等角，它与∠COB构成平角，因此∠3与∠COB互补. 再如理论推导： 引导学生在隐藏的图形中寻求度数的特殊值,从而确定关系.进而能够利用现有的工具构造这样的图形.这些图形是后继内容的基本形.
【活动6】 师生小结本结要点： 互余、互补的概念；余角、补角的性质；几个探索出的规律；关注学生的感受. 体会互余、互补是特殊的数量关系，它在特殊位置关系的图形中有着广泛的应用
教学效果评价设计： 为了综合考察学生的基本技能和能力水平，让不同层次的学生都有展示的机会，设计了一道多步骤评价方案： （1）一个角的补角是它的余角4倍，求这个角 （2）画出这个角∠AOB （3）想办法画一个角，使它等于∠AOB（也是教学环节的延伸） 结果预想：因为学生基础比较扎实，所以前两个问题属于最基本问题。第 一问经过课堂教学的几个练习，每个学生 都应该知道解决的方法，即便掌握的不牢固，也可通过复习重新理解、解决；第二问在第一问基础上用半圆仪和直尺就能画出；而第三问虽然不难，但做法上有灵活性，而且能体现出学生对本节知识的理解应用水平。大致学生的思路应该有度量法、尺规作图、同角的余角相等、同角的补角相等。而后两种思路的具体操作由于构造形式不唯一、作图工具不唯一又具有多样性。仅举几例的示意图： 结果分析：第一题采用方程的思想来解决，在学生设未知数，表示余角和补角的过程中就能测评出学生对概念的理解，解题过程体现出对方程思想的领会运用程度；想到借助于同一个角的余角和补角的关系就更可贵；根据情况可分为了解、会用、灵活运用几等。而后两个问题通过学生作图方法的多少就能考察出学生是否有学以致用的意识，和应用的熟练灵活程度；根据情况可分为能画出、能多种方法画出和能把握实质灵活画出几等。通过学生的反馈我们就可以分析出课堂环节设置的是否合理，每一环节是否落实，哪里值得借鉴，哪里需要完善。