只能由实验来决定。经典力学和牛顿定律适用于宏观粒子，薛
定锷方程适用于微观粒子。
25.4 一 维 势 阱
一. 一维势阱
在一维空间运动的粒子的势能在某区域内为零,在此区域外 为无限大。
U(x) U=
U=0
U=
0
a
x
二. 由定态薛定锷方程求波函数
1. 根据具体问题写出势能函数 势能函数
1927年德国物理学家海森伯（W.Heisenberg）根据量子力学 推出微观粒子在位置与动量两者不确定量间的关系 在某一方向(如x方向)粒子的位置不确定量 x和该方向上的动量的不确定量px有
xpx / 2 h 1.05 10 34 J s 2
二. 简单推导
电子的单缝衍射 x
3. 30年代以后，实验发现，中子、质子、中性原子都具有衍射现象。
4. 自然界中的一切微观粒子，都具有波粒二象性。
▲应用
电子等实物粒子的波长比光波波长小的多

利用高速电子束代替光束制成显微镜
电子显微镜
25.2 不确定关系
一. 不确定关系
经典力学
微观粒子
质点
确定的位置和动量
具有波动性即不具有确定的位置和动量
i ( Et px )
2. 概率密度
在空间一很小区域(以体积元dV=dxdydz表征)出现粒子的 概率为：
Ψ dV ΨΨ dV
*
2

2
——概率密度
表示在某一时刻在某点处单位体积内粒子出现的概率。
3. 波函数的归一化条件 粒子在任意时刻在整个空间出现的概率等于1

2dV 1——波函数归一化条件 4. 波函数的标准条件
3. 由边界条件及归一化条件求出A,B,k的值
因粒子只能在势阱内
(0) (a) 0 A (0) 0, B sin ka (a) 0 B 0, k 0
n k , n 1,2,3, a
n ( x) B sin x,0 x a a
0,0 x a U ( x) , x 0, x a
势阱内 U=0
2. 根据条件写出定态薛定锷方程
定态薛定锷方程
d 2 2m 2 E 0,0 x a 2 dx
k2
d 2 2 k 0 2 dx
通解
( x) A cos kx B sin kx
t 稳定状态 能量确定
25.3 波函数与薛定锷方程
一. 概率波
物质波是一种概率波, 反映粒子在空间分布的几率
28个电子通过双缝
电 子 的 双 缝 衍 射
10000个电子通过双缝
1000个电子通过双缝
数百万个电子通过双缝
二. 波函数
描述物质波的数学表达式 1. 波函数 一束沿x轴传播的单色平面波
二. 波函数
能量E(E<U0)的粒子从左边射入 定态薛定锷方程
d 2 2m 2 E 0, x 0 2 dx d 2 2m 2 ( E U 0 ) 0, x 0 2 dx
1. 不确定关系表明微观粒子位置的准确度与相应的动量准确 度值成反比；
px 0 px确定
粒子位置完全不确定 ——平面波
2. 不确定关系可以用来判别对于实物粒子其行为究竟应该用经 典力学来描写还是用量子力学来描写;
3. 另一个不确定关系
Et 2
E : 能量的不确定量
t : 某能量状态的持续时间
第二十五章 量子力学基础
25.1 德布罗意假设 实物粒子的波粒二象性
德布罗意波在光的波粒二象性的启发下， 提出了实物粒子（如电子、质子等）也具有波 粒二象性的假设。
E mc h h p mv
2
——德布罗意公式
德布罗意
与实物粒子相联系的波 —— 德布罗意波(物质波)
▲实验验证
1. 电子通过金多晶薄膜的衍射实验。 （汤姆逊1927） 2. 电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验。 （约恩逊1961)
2
n =4
n =3
n =2 a n =1
0
0
a
2. 粒子能量
2mEn k 2
2
n k a

2 En n 2ma 2
2 2
能量量子化
不同能级,粒子的波函数不同
25.5 势垒与隧道效应
一. 势垒
U U=U0
U=0 0 x
势能函数
0, x 0 U ( x)
U0 , x 0
2. 定态薛定锷方程
势能与时间无关时的波函数
(r , t ) (r )e
空间坐标 函数
i Et
时间函数
(r)满足
2m 2 ( E U ) 0
2
求解某些特殊情况的波函数
★注意:
薛定锷方程是量子力学的基本方程，好似牛顿定律是经典 力学的基本方程一样。它不是从理论推导出来的，它的正确性
y( x, t ) A cos 2(vt x / )
指数形式
y( x, t ) Ae
i 2 ( vt x / )
沿x轴运动的单能粒子束
( x, t ) 0 e
i 2 ( vt x / )

h E h, p
自由粒子的波函数
( x, t ) 0 e
单值, 有限, 连续, 归一化
三. 薛定锷方程
波函数与粒子所处条件的关系式 1. 薛定锷方程
一维非相对论形式
i U 2 t 2m x
2 2
薛定锷
三维
2 2 i U t 2m
2 2 2 2 2 2 2 x y z
sin x
px
电子束v
p
py
p x p sin
-
x

p / x
x坐标的不 确定量
由于衍射,电子的速度 方向改变,电子可能出
h p
现在-到+的范围内
xpx h
考虑次极大
经严格证明此式应改写为：
x p x 2
xpx h
★讨论:
由归一化条件



1 2 ( x) dx aB 1 2
2
B
4. 写出波函数
2 a 2 n sin x,0 x a a a
( x)
★讨论:
1. 概率密度
2 2 n ( x) sin x,0 x a a a
2
概率密度随x变化,与n有关
Ψ ( x)
Ψ ( x)