常微分方程试题
一、填空题(每小题3分，共39分)
1.常微分方程中的自变量个数是________.
2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________.
3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变
量分离方程.
4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式
为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________.
5.方程=(x+1)3的通解为________.
6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满
足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解.
7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________.
8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0
中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________.
9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________.
10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组
x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式.
11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之
等价的一阶方程组________.
12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基
解矩阵exp A t=________.
13.方程组
的奇点类型是________.
二、计算题(共45分)
1.(6分)解方程
= .
2.(6分)解方程
x″(t)+ =0.
3.(6分)解方程
(y-1-xy)dx+xdy=0.
4.(6分)解方程
5.(7分)求方程：
S″(t)-S(t)=t+1
满足S(0)=1, (0)=2的解.
6.(7分)求方程组
的基解矩阵Φ(t).
7.(7分)验证方程：
有奇点x1=1, x2=0,并讨论相应驻定方程的解的稳定性.
三、证明题(每小题8分，共16分)
1.设f(x,y)及连续，试证方程
dy-f(x,y)dx=0
为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子.
2.函数f(x)定义于-∞<x<+∞，且满足条件|f(x1)-f(x2)|≤N|x1-x2|,其中0<N<1,证明
方程
x=f(x)
存在唯一的一个解.
常微分方程试题参考答案
一、填空题(每小题3分，共39分)
1.1
2. 2+c1t+c2
3.u=
4. c为任意常数
5.y= (x+1)4+c(x+1)2
6.y=y0+
7. (x)=
8.对任意t
9.x(t)=c1e t+c2te t+c3e-t+c4te-t
10.x(t)=c1x1(t)+c2x2(t) +c n x n(t)
11. x1(1)=1,x2(1)=2, x3(1)=3
12.expAt=e-2t[E+t(A+2E)+ ]
13.焦点
二、计算题（共45分）
1.解：将方程分离变量为
改写为
等式两边积分得
y-ln|1+y|=ln|x|-
即y=ln 或e y=
2.解：令则得
=0
当0时
-
arc cosy=t+c1
y=cos(t+c1) 即
则x=sin(t+c1)+c2
当=0时
y= 即
x
3.解：这里M=y-1-xy, N=x
令u=xye-x
u关于x求偏导数得
与Me-x=ye-x-e-x-xye-x 相比有
则
因此
u=xye-x+e-x
方程的解为xye-x+e-x=c
4.解：方程改写为
这是伯努利方程，令
z=y1-2=y-1 代入方程
得
解方程z=
=
于是有
或
5.特征方程为
特征根为
对应齐线性方程的通解为s(t)=c1e t+c2e-t
f(t)=t+1, 不是特征方程的根
从而方程有特解=（At+B）,代入方程得
-(At+B)=t+1
两边比较同次幂系数得
A=B=-1
故通解为S(t)=c1e t+c2e-t-(t+1)
据初始条件得
c1=
因此所求解为：S(t)=
6.解：系数矩阵A=
则，而det
特征方程det( )=0, 有特征根
对
对
对
因此基解矩阵
7.解：因故x1=1，x2=0是方程组奇点
令X1=x1-1, X2=x2, 即x1=X1+1,x2=X2代入原方程，得化简得*
这里R(X)= , 显然（当时）
方程组*中，线性部分矩阵
det(A- )=
由det(A- )=0 得
可见相应驻定解渐近稳定
三、证明题（每小题8分，共16分）
1.证明：若dy-f(x,y)dx=0为线性方程则f(x,y)=
因此仅有依赖于x的积分因子
反之，若仅有依赖于x的积分因子。

这里Ｍ＝－f(x,y),N=1
由-
方程为这是线性方程.
2.证明：由条件|f(x
1)-f(x
2
)| N|x
1
-x
2
|,易知，f(x)为连续函数，
任取x
作逐步点列
x
n+1=f(x
n
) n=0,1,
考虑级数x
+ 因
由归纳法知对任意k,|x
k -x
k-1
|
故级数x
+ 收敛
即序列{x
n
}收敛，设
对x
n+1=f(x
n
),两边求极限，注意f(x)连续，故x*=f(x*)
即x*是方程x=f(x)的解
又设是方程x=f(x)的任一解，则因N<1,必有x*=
因此解是唯一的。