应 用 题（每题10分）1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零，又()f x '存在并对任意,x y 恒有()()()f x y f x f y +=，求()f x 。

2、设()()()F x f x g x =，其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+=（1）求()F x 所满足的一阶微分方程； （2）求出()F x 的表达式。

3、已知连续函数()f x 满足条件320()3x xt f x f dt e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，求()f x 。

4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导，()0,lim ()1x f x f x →+∞>=，且满足110()lim ()h x h f x hx e f x →⎛⎫+ ⎪= ⎪⎪⎝⎭，求()f x 。

5、设函数()f x 在(0,)+∞内连续，5(1)2f =，且对所有,(0,)x t ∈+∞，满足条件111()()()xt x tf u du t f u du x f u du =+⎰⎰⎰，求()f x 。

6、求连续函数()f x ，使它满足10()()sin f tx dt f x x x =+⋅⎰。

7、已知可微函数()f t 满足31()()1()xf t dt f x t f t t =-+⎰，试求()f x 。

8、设有微分方程 '2()y y x ϕ-=， 其中21()01x x x ϕ<⎧=⎨>⎩。

试求在(,)-∞∞内的连续函数()y y x =使之在(,1)-∞和()1,+∞内部满足所给方程，且满足条件(0)0y =。

9、设位于第一象限的曲线()y f x =过点122⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分。

（1）求曲线()y f x =的方程；（2）已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ，试用l 表示曲线()y f x =的弧长s 。

10、求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =，使得由曲线()y y x =与直线1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。

11、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内，L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交，交点记为A ，已知||||MA OA =，且L 过点33,22⎛⎫⎪⎝⎭，求L 的方程。

12、设曲线L 的极坐标方程为(),(,)r r M r θθ=为L 上任一点，0(2,0)M 为L 上一定点，若极径0,OM OM 与曲线L 所围成的曲边扇形面积值等于L 上0,M M 两点间弧长值的一半，求曲线L 的方程。

13、设1y x =和2ln y x x =是二阶齐次线性方程 "()'()0y p x y q x y ++= 的两个解，求(),()p x q x 以及该方程的通解。

14、设对任意0x >，曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y 轴上的截距等于01()xf t dt x⎰，求()f x 的一般表达式。

15、设函数(),()f x g x 满足'()(),'()2()xf xg x g x e f x ==-，且(0)0,(0)2f g ==，求20()()1(1)g x f x dx x x π⎡⎤-⎢⎥++⎣⎦⎰。

16、设函数()y y x =在(,)-∞+∞内具有二阶导数，且'0y ≠，()x x y = 是()y y x =的反函数。

（1）试将()x x y =满足的微分方程 322(sin )0d xdx y x dy dy ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，变换为()y y x =所满足的微分方程；（2）求变换后的微分方程满足初始条件3(0)0,'(0)2y y ==的解。

17、已知连续函数f x ()满足f tx dt x f x x f t dt x()()()01201⎰⎰=+-，求f x ().解：设u=tx ，则原式化为1102x f u du x f x x f t dt x x ()()()=+-⎰⎰即203f t dt x xf x x()()⎰=+ 由f (x)连续知上式右端可导 即f (x)可导对上式两端关于x 求导，得一阶线性方程f x xf x x '()()-=-13 所求函数为f x exedx c cx x dxx dx()()=⎰-⎰+=-⎰1133x 2 c 为任意常数18、.对于任意简单闭曲线L ，恒有20224xyf x dx f x x dy L()[()]+-=⎰其中 f (x)在（）-∞+∞,有连续的导数，且f (0)=2.求f x ().19、设f (x)满足)(x f '=f (1-x),求f x ()20、设ϕϕ()()()x e x u u du xx=--⎰,其中ϕ(x)为连续函数,求ϕ(x )21、人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比。

（1）如果4小时的细菌数为原细菌数的2倍，那么经过12小时应有多少？（2）如在3小时的时候，有细菌数410个，在5小时的时候有4410⨯个，那么在开始时有多少个细菌？应 用 题 答 案1、解： 首先从导数定义出发，证明()f x 处处可微，并求出()f x 与()f x '满足的关系，最后定出()f x 。

由于()f x 不恒为零，设0(0)0f x +≠，因而 000()(0)()(0)f x f x f x f =+=得到(0)1f =又由'(0)f 存在，对任意x 有00()()()()()'()lim limx x f x x f x f x f x f x f x x x∆→∆→+∆-∆-==∆∆ 0()[()1]lim ()(0)x f x f x f x f x∆→∆-'==⋅∆ 由此可见()f x 处处可微且满足 '()()'(0)f x f x f = 即 (0)dff dx f'= 解得'(0)()f x f x ce =又由 (0)1f = 所以 '(0)()f xf x e =。

2、解：（1）22()()()()()()()F x f x g x f x g x g x f x '''=+=+222[()()]2()()(2)2()f x g x f x g x e F x =+-=-于是()F x 满足一阶线性微分方程 224xy y e '+=（2）按一阶线性微分方程的通解公式，{}{}2222422()44dxdxx xxx x F x e e edx C e edx C e Ce ---⎰⎰=⋅+=+=+⎰⎰由 (0)(0)(0)0F f g == 得 1C =-， 于是 22()xx F x e e -=-.3、解：方程两端同时对x 求导，得到 2()3()2xf x f x e '=+ 由题设知道 0(0)01f e =+=。

故令 ()f x y = 即得 20321xx y y ey ='⎧-=⎪⎨=⎪⎩332332222dx dx xx x x x y e C e e dx e C e dx Ce e --⎡⎤⎰⎰⎡⎤=+⋅=+=-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 由 01x y == 得到 3C =于是 32()32xx f x e e =-.4、解：设1()()hf x hx y f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭， 则 1()ln ln ()f x hx y h f x +=. 因为 0001()[ln ()ln ()]limln lim lnlim [ln ()]()h h h f x hx x f x hx f x y x f x h f x hx→→→++-'===， 故1[ln ()]0()lim ()hx f x h f x hx e f x '→⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 由已知条件得 1[ln ()]x f x xe e'=，因此 1[ln ()]x f x x '=，即 21[ln ()]f x x'=. 解之得 1()xf x Ce-= 。

由lim ()1x f x →+∞=，得 1C =。

故 1()xf x e -=。

5、解：由题意可知，等式的每一项都是x 的可导函数，于是等式两边对x 求导，得1()()()ttf xt tf x f u du =+⎰ （1）在（1）式中令1x =，由5(1)2f =，得 15()()2t tf t t f u du =+⎰， （2）则()f t 是(0,)+∞内的可导函数，（2）式两边对t 求导，得 5()'()()2f t tf t f t +=+，即 5'()2f t t=。

上式两边求积分，得 5()ln 2f t t C =+由5(1)2f =，得52C =。

于是 5()(ln 1)2f t t =+。

6、解：令,u tx du xdt ==，原方程变为 01()()sin xf u du f x x x x=+⎰ 即20()()sin x f u du xf x x x =+⎰.两边求导数，得到 2()()()2sin cos f x f x xf x x x x x '=+++'()2sin cos f x x x x =--积分得 ()2cos sin 2cos sin cos f x x xd x x x x x C =-=-++⎰cos sin x x x C =-+.7、解：首先从题设可求得 (1)1f =， 方程两边求导得 3()'()()f x f x x f x x=+.记 ()y f x = ，得 3'yy x y x=+ 考虑 ()x x y =，方程可化为伯努利方程31dx x x dy y-= 且 11x y == 令 232u xdu x dx --==-22du u dy y+=- 22322122233dy dy y y C u e C edy C y y y y -⎡⎤⎰⎰⎡⎤=+-⋅=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰ 变量还原得 22123C y x y =- 或者23()2()3f x f x C x +=. 又因为(1)1f =，代入上式可得C =53。

即 23()25().33f x f x x +=8、解：当1x <时， 22y y '-=22222111221dxdx x x x y e C e dx e C e dx C e --⎡⎤⎰⎰⎡⎤=+=+=-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 1x < 由 (0)0y = 代入得 11C = 所以 21(1)xy e x =-< 当 1x > 时 20y y '-=通解为 2222(1)dxxy C e C e x ⎰==>由 1x = 处()y x 是连续的 2222221010lim lim (1)1xx x x C eC e e e →+→-==-=-.所以 2221C e e =- 221C e =-.于是若补充函数值 211x y e ==- ，则得到(,)-∞∞上连续函数是所求的函数22211()(1)1x xe x y x e e x -⎧-≤=⎨->⎩是所求的函数。