热量传输微分方程
对于不可压缩流体（或固体） du = c v dt , c v = c p
Dt ρc p = ∇ (λ ∇t ) + q v + φ Dτ
……(1)
简化1：Ф对于流体高速流动或粘性很大的流体才重要，对于一般工程问 题可忽略，则(1)式变为：
ρc p
Dt = ∇ (λ ∇t ) + q v Dτ
Q3 = q v dxdydz
Q 4 = φdxdydz
Q5 = ρ ∂u dxdydz ∂τ
代入上式，整理得：
ρ
∂u ∂u ∂u ∂u ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t + ρ (v x + vy + v z ) = [ (λ ) + (λ ) + (λ )] + q v + φ ∂τ ∂x ∂y ∂z ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
热量传输微分方程
常用的直角坐标系、柱坐标系、球坐标系下的热量传输微分方程：
∂t ∂t ∂t ∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t ∂t + vy + vz = a( 2 + 2 + 2 ) 直角坐标系： + v x ∂z ∂τ ∂x ∂y ∂x ∂y ∂z
2 2 柱坐标系： ∂t + v ∂t + vφ ∂t + v ∂t = a[ 1 ∂ (r ∂t ) + 1 + ∂ t + ∂ t ] r z ∂τ ∂r r ∂φ ∂z r ∂r ∂r r 2 ∂φ 2 ∂z 2 式中： φ − −方位角；
−λ
∂t ∂n
= α (t w − t f )
w
例题
例1、一厚度为s的无限大平板，其导热系数λ为常数，平板内具有均匀 的内热源qv(W/m3)。平板x=0的一侧是绝热的，x=s的一侧与温度为tf的流 体直接接触，已知平板和流体间的对流换热系数为α。试写出这一稳态 导热过程的微分方程和边界条件。 分析：
（1）第一类边界条件是已知任何时刻边界上的温度分布：
t w = tw
−λ ∂t ∂n = qw
w
特殊情况下： t
w
= t w = 常数
（2）第二类边界条件是已知任何时刻边界上的热通量：
∂t 特殊情况是某个边界面完全绝热，则： ∂n
=0
w
（3）第三类边界条件也称为对流边界条件，它是已知物体周围介质的温 度tf和边界与周围介质的对流换热系数α（若同时存在对流给热和辐射换 热， α 用总换热系数α ∑代替）：
热量传输微分方程
z热量传输微分方程的推导 z各种坐标系下的热量传输微分方程 z初始条件和边界条件 z例题
热量传输微分方程
工程问题 温度场 计算导热速率
热量传输微分方程 （物体内部各点温度和空间与时间内在联系的数学表达式） 方法：微元体分析法 根据能量守恒定律建立
热量传输微分方程
z dQz+dz dQy
∇ 2t = 0
……(7)
称为拉普拉斯方程
热量传输微分方程
导热微分方程：
qv ∂t ∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t = a[ 2 + 2 + 2 ] + ρc p ∂τ ∂x ∂y ∂z
各项的意义： ¾左边表示温度场随时间的变化，即温度场的不稳定程度。 ¾右边的两次导数为温度梯度在各坐标方向的变化率，亦即表 示热流在各坐标方向的变化。正是由于这些变化使物体内部 的温度随时间发生变化。
v r、vφ 、v z − −流体速度在柱坐标系（ r、φ、z）方向上的分量
vφ ∂t ∂t ∂t vθ ∂t 1 ∂ 2 ∂t 1 ∂ ∂t 1 ∂ 2t + = a[ 2 (r )+ 2 (sin θ )+ 2 ] 球坐标系： + vr + ∂τ ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ ∂r ∂θ r ∂r r sin θ ∂θ r sin 2 θ ∂φ 2
t τ = 0 = f ( x, y , z )
最简单的初始条件是开始时刻物体内各点具有相同的温度，即：
t τ =0 = t 0 = 常数
对于稳态导热，温度分布与时间无关，不存在初始条件。
导热过程的单值性条件
¾边界条件包括温度边界条件和速度边界条件，对固体导热问题来说，不需 要速度边界条件。温度边界条件是指物体边界上的温度特征和换热情况。 常见的边界条件可分为三类：
从流动流体中取出一个微元体， 其体积为dV=dxdydz，假定流体为 不可压缩流体。根据能量守恒定 律，对于这一微元体有： 〔单位时间内系统内能的增量〕 ＝ 〔单位时间内系统获得的热 能〕 ＋ 〔单位时间内系统对外 界作的功〕
y
dQx
dz
dQx+dx
dx
dQy+dy
dy
x dQz
热量传输微分方程
分析： ¾总能量＝内能＋动能＋位能 只考虑与外界的热能联系，故动能和位能可忽略。 ¾系统对外界做功包括：克服重力、压力和粘性力做功。 克服压力和粘性力做功可转化为热能，由于流体为不可压缩流体，故只 剩下粘性力做功产生的摩擦热。 ¾系统获得的热能包括：通过导热和对流方式从外界得到的热能，和内 热源（化学反应、电热效应等） 经分析得：Q1
作业
一块大平板，厚度δ=5cm，有内热源qv(w/m3)，平板中的一维稳态温 度分布为t=b+cx2，式中b=200℃，c=-200K/m2。假定平板的导热 系数λ=50W/m·K，试确定： (1)平板中内热源之值； (2)x=0和x=δ边界处的热流密度。
对流
+
Q2
导热
+
Q3
内热源
+
Q4
=
Q5
内能增量
粘性力做功
热量传输微分方程
对于Q1： 对于Q2： 对于Q3： 对于Q4： 对于Q5：
Q1 = − ρ (v x ∂u ∂u ∂u + vy + v z )dxdydz ∂x ∂y ∂z
Q2 = [
∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t (λ ) + (பைடு நூலகம் ) + (λ )]dxdydz ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
……(2)
简化2：若λ为常数，流体无内热源，则(2)式变为： Dt = a∇ 2 t ……(3) Dτ 称为傅立叶－克希荷夫导热微分方程
热量传输微分方程
λ a= ρc p
a表示物体在被加热（或冷却）时内部温度均匀的快慢。a 值越大， 则在同样的加热（或冷却）条件下，材料中温度达到均匀就越迅 速。 其分子是物体的导热系数，λ越大，在相同的温度梯度下可以传导 更多的热量。 其分母ρCp是单位体积的物体温度升高1℃所需的热量， ρCp越 小，温度升高1℃所需吸收的热量就越小，可以剩下更多的热量向继 续向物体内部传递，表现在温度上就是使物体内各点的温度能更快 地随界面温度的变化而变化。
式中： φ − −方位角或称经角；
θ − −纬角；
v r、vφ 、vθ − −流体速度在球坐标系（ r、φ、θ）方向上的分量
单值性条件
热量传输微分方程是描述物体内温度随时间和空间变化的一般关系 式，为了使方程有确定的解，则需给出单值性条件：几何条件、物理 条件、初始条件和边界条件。 ¾几何条件：参与过程的物体的几何形状和大小。 ¾物理条件：物性参数λ、C、ρ等随温度的变化规律；指明是否有内 热源。 ¾初始条件是指导热过程开始时刻物体内的温度分布，可表示为：
例题
例2、一厚度为s、宽和长远大于s的平板，导热系数λ为常数，开始 时整个平板温度均匀为t0，突然有电流通过平板，板内均匀产生热量 qv(W/m3)。假定平板x=0的一侧仍保持t0，x=s的一侧与温度为tf的流 体相接触，流体和平板间的换热系数为α。试写出描述该问题的导 热微分方程和单值性条件。 分析：
热量传输微分方程
简化3：在固体中， v x , v y , v z = 0, φ = 0 则(1)式变为： ∂t ρc p = ∇ ( λ ∇t ) + q v ……(4) ∂τ 称为固体导热微分方程式 简化1：若λ为常数，则(4)式变为： q ∂t = a∇ 2 t＋ v ……(5) ρc p ∂τ 简化2：若无内热源，则(5)式变为： ∂t = a∇ 2 t ……(6) ∂τ 简化3：若为稳态，则(6)式变为：