at
sa
2
• 拉氏变换的基本性质 (1) 线性性质
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )]
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。 (2) 微分性质 L 若[ f (t )] F ( s ) ，则有 L[ f (t )] sF ( s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。 (3) 积分性质 则 若 L[ f (t )] F ( s )
该标准型为二阶线性常系数微分方程，系统中存在两个储能元件质 量和弹簧，故方程式左端最高阶次为二。
-
机械旋转系统
• [例2]：设有一个惯性负载和粘性摩擦阻尼器组成的机械 旋转系统，试列出以外力矩M(t)为输入信号，角位移 θ(t)为输出信号的数学模型。
M
J
θ
f
解：
1）确定输入量、输出量
M J θ f
F(t) m f
K x(t)
图 2 2 机 械 系 统
d 2x 3）由牛顿第二定律写原始方程： F F (t ) Fk (t ) F f (t ) m 2 dt dx Fk (t ) kx F f (t ) f 4）写中间变量与输出变量的关系式： dt 2 d x dx 5）将上式代入原始方程消中间变量得： m 2 kx f F (t ) dt dt m d 2 x f dx 1 x F (t ) 6）整理成标准型： 令 T2 m T f 2 k dt k dt k m f 2 k k dx 1 2 d x 则方程化为： Tm dt 2 T f dt x k F (t )
第二章 控制系统的数学模型
导 为什么要介绍本章? 分析、设计控制系统的第一步是建立系统的数学模 型。 读
1
预备知识
• 复变函数：Laplace变换（拉氏变换）, Z变换
• 常微分方程解法：Laplace变换和反变换 • 电路理论 • 基本的电子学和力学知识
2
第二章 自动控制系统的数学模型
2.1 系统的微分方程：时域模型，微分方程的建立及线性化。
进行拉氏变换，得到变量s的代数方程；
2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式； 3. 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出 量的时域表达式，即为所求微分方程的解。
拉氏(laplace)变换 • 定义：设函数f(t)当t>=0时有定义，而且积分
F ( s ) f (t )e dt
st 0
消去 中间 变 量
化处理
IV. 消去中间变量，得到描述元件输入和输出 关系的微分方程 V. 对微分方程进行标准化处理：与输出量相 关的各项置于等号左侧，而与输入量相关 的置于等号右边；等号左右各项均按降幂 排列；将各项系数归化为具有一定物理意
标准形式
整理
微分方程
图2-1 建立系统或元件微分方程 的 步骤
L 1H , C 1F , R 1 uc (0) 0.1v i ( 0 ) 0 .1 A u r 1v
原式化为： s 2U c ( s ) 0.1s 0.1 sU c ( s ) 0.1 U c ( s ) U r ( s ) ( s 2 s 1)U c ( s ) U r ( s ) 0.1s 0.2 U c (s) 1 0.1s 0.2 U r (s) 2 s2 s 1 s s 1 1 1 0.1s 0.2 2 2 s s 1 s s s 1
t 0 s
(6) 位移定理： a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延迟 ，则其 e s 象函数应乘以

L[ f (t )] e F (s)
s
b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，原函数应 e at 乘以 ，即
L[e at f (t )] F (s a)
2）对于机械转动系统，牛顿定律可以表示为：
J (t ) M (t )
3）化简 4) 标准化
J
d 2 (t ) dt 2
d (t ) M (t ) M f (t ) M (t ) f dt
d 2 (t ) d (t ) J f M (t ) 2 dt dt
电气系统的微分方程
例4：电阻-电感-电容串联系统，如图2-1所 示。列出以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的 网络微分方程式。
L R
ur
i
C
uc
图2-2RLC电路系统
ur
•解：按照列写微分方程式的一般步骤有： 1）确定输入量、输出量、中间变量i（t）； 2）忽略输出端负载效应； 3）由基尔霍夫定律写原始方程：
28

duc dt
t 0
i ( 0) 0 .1 C
' u c ( 0 ) 0 .1
3 2 3 ) ( s 0.5) 2 ( ) 2 2 2 1 1 3 2 0 . 5 0. 5 t 3 L1[ 2 ] 1 e 0.5t cos t e sin t s s 1 s 2 2 3 2 1 1.15e 0.5t sin(0.866 t ) 3 ( s 0.5) 2 ( 0.1( s 0.5) 0.15 3 3 ( s 0.5) 2 ( ) 2 ( s 0.5) 2 ( ) 2 2 2 0.1s 0.2 L1[ 2 ] 0.2e 0.5t sin(0.866 t ) s s 1 6 uc (t ) 1 1.15e 0.5t sin(0.866 t 0.1s 0.2 s2 s 1
27
例2.1：用拉氏变换解微分方程
L ur
i
R C uc
d 2uc du LC 2 RC c uc u r dt dt L[uc (t )] U c ( s ) duc (t ) ] sU c ( s ) U c (0) dt d 2uc (t ) ' L[ ] s 2U c ( s ) sU c (0) U c (0) dt 2 s 2U c ( s ) 0.1s 0.1 L[
输入u(t)
被控 对象
输出y(t)
微分方程及其解法的理论是整个控制 理论的基础。
2.1.1. 建立系统或元件微分方程的步骤
I. 确定元件输入量和输出量 程 III.在可能条件下，对各元件的原始方程进行 适当简化，略去一些次要因素或进行线性 II. 根据物理或化学定律，列出元件的原始方
确定输入 输出量 列写相应微 分方程
1 st 1 F ( s ) e dt e 0 s s 0
st
22
• 单位脉冲函数 t
(t )

0

1 0

0 t t 0或t
0
• 单位脉冲函数的拉氏变换为
F ( s ) t e dt 1
st
23
弹簧阻尼系统 机械系统 电系统 电压u 电感L 电阻R 电容的倒数 1/C 电荷q 电流I 力F 转矩T 质量m 转动惯量J 黏性摩擦系数 黏性摩擦系数 f f 弹簧系数k 扭转系数k 位移x 角位移 速度v 角速度
表2-1 相似系统中的相似变量
拉普拉斯变换
求解方法：经典法、拉氏变换法。
拉氏变换法求解步骤： 1. 考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别
例3: RC电路
R
(1) 确定输入量和输出量 微分方程中只能留下
输入、输出变量，及系统的 输入量： u r 一些常数。 u 输出量：
c
+
+ C
ur
-
i
uc
-
(2) 建立初始微分方程组 duc RC dt + uc= ur 根据基尔霍夫定律得：
ur= Ri + uc duc i = C dt (3) 消除中间变量，使式子标准化 RC电路是一阶常系数线性微分方程。

2)单位斜坡函数
t
0
t
0, f t t ,
t0 t0
L f t L[t ]


0
te
st
1 dt 2 s
几个重要的拉氏变换
f(t) F(s) f(t)
eat f t
df t dt
F(s)
F s a
sF s f 0
系的数学表达式。
建立数学模型的目的 • 是分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。
• 自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，
然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。通过数学模型 来研究自控系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研 究其内在的共性运动规律。
建立合理的数学模型
X s L x t x e s d
0
例如：
s 1 i
(2) f(t)是实函数，且满足：
当 t 0 时，有 f t 0
• 单位阶跃函数1(t)
1(t ) A0 1t 0 t 00
t
• 单位阶跃函数的拉氏变换为
义的形式
机械系统微分方程
例1：弹簧-质量-阻尼器串联系统，如图2-1所示。 列出以外力F(t)为输入量，以质量的位移x(t)为输 出量的运动方程式。
F(t)
K
m f
x(t)
图 2 1 机 械 系 统
-
解：按照列写微分方程式的一般步骤有： 1）确定输入量、输出量，作用于质量m的力还有弹 性阻力Fk(t)和粘滞阻力Ff(t) ，均作为中间变量； 2）假设当无外力作用时，系统处于平衡状态；
函数f(t)的拉氏变换
拉氏积分运算符
F s L f t f t e dt 0