一、填空题
1．若x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －3≤0，x －y ＋3≥0，
y ≥－1，
则 ＝3x ＋y 的最大值为
【解析】将 ＝3x ＋y 化为y ＝－3x ＋ ，作出可行域如图阴影部分所示，易知当直线y ＝－3x ＋ 经过点D 时，
取得最大值．联立⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y －3＝0，
y ＝－1，得D (4，－1)，此时 max ＝4×3－1＝11，
2．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥2，x ＋y ≤4，
－2x ＋y ＋c ≥0，
目标函数 ＝6x ＋2y 的最小值是10，则 的最大值是
即D (3,1)，将点D 的坐标代入目标函数 ＝6x ＋2y ，得 max ＝6×3＋2＝20.
3．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，
y ≥0，
且 ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为
4．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨
⎪⎧
3x －y ≥0，
x ＋y －4≤0，
y ≥12x 2
，
则 ＝y －x 的取值范围为
【解析】作出可行域如图所示，设直线l ：y ＝x ＋ ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0
的交点(1,3)时， 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2
相切时， 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧
z ＝y －x ，y ＝12x 2
，消去y 得
x 2－2x －2 ＝0，由Δ＝4＋8 ＝0，得 ＝－1
2
，故－12
≤ ≤2.
5．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪
⎧
x －2≤0，x ＋y ≥0，
x －3y ＋4≥0
中
的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝
【解析】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点C ，D 分别作直线x ＋y －2＝0的垂线，
垂足分别为A ，B ，则四边形ABDC 为矩形，由⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝2，x ＋y ＝0
得C (2，－2)．由⎩⎪⎨
⎪
⎧
x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0
得D (－1,1)．所
以|AB |＝|CD |＝
＋
2
＋－2－
2
＝3 2.
6．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，
y －1≤0，
若目标函数 ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点 (1,1)处取得
最大值，则a 的取值范围为
7．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，
x ≥m ，
则实数m 的最大值为 ．
【解析】约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，
x ≥m
表示的可行域如图中阴影部分所示．当直线x ＝m 从如图所示的实线
位置运动到过A 点的虚线位置时，m 取最大值．解方程组⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y －3＝0，
y ＝2x 得A 点坐标为(1,2)，∴m 的最大
值是1. 【答案】1
8．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －2y ＋1≥0，x <2，
x ＋y －1≥0，
则 ＝2x －2y －1的取值范围是 ．
【解析】画出不等式组所表示的区域，如图中阴影部分所示，可知2×13－2×2
3
－1≤ <2×2－2×(－1)－1，
即 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－53，5.
【答案】⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－53，5 9．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
y －2≤0，x ＋3≥0，
x －y －1≤0，
则
x ＋y －6
x －4
的取值范围是 ．
【答案】⎣
⎢⎡⎦⎥⎤1，137
10．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，
x ＋y －4≥0，
则 ＝|x ＋2y －4|的最大值为 ．
【答案】21
二、解答题
11．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≥1，x －y ≥－1，
2x －y ≤2.
(1)求目标函数 ＝12x －y ＋1
2
的最值；
(2)若目标函数 ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．
解：(1)作出可行域如图，可求得A (3，4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＋12＝0，可知 ＝1
2x －y
＋1
2过A (3,4)时取最小值－2，过C (1,0)时取最大值1. 所以 的最大值为1，最小值为－2.
(2)直线ax ＋2y ＝ 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1＜－a
2＜2，解得－4＜a ＜2.故所求a 的取值
范围为(－4,2)．
12．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5
元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？。