两角和与差的正弦、余弦、正切1. 利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换;2•利用三角变换讨论三角函数的图象和性质2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2•灵活使用（正用、逆用、变形用）两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键•知识点回顾1 •两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos( a—0)= cos acos0+ sin ocsin0(C a- 0cos( a+ 0)= cos. acos _ 0—sin__ asin_ 0(C a+ 0sin( a—0 = sin a cos0- cos ocsin(S a—0sin( a+ 0 = sin a cos0+ cos ocsin0(S a+ 0tan a—tan 卩tan( a—® ；(T a—01 + tan atan 卩tan a+ tan 卩tan(%+ ® = (T a + 01 —tan %tan 02 •二倍角公式sin 2 a= 2sin ： cos：；cos 2 a= cos2a—sin2a= 2cos 2a—1 = 1 —2sin2a；2ta n atan 2 a= .1 —tan a3 •在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等•如T a±0可变形为tan a± tan 0= tan( a± 0(1? tan_ %tan_ 0,tan a+ tan 0 tan a—tan 0tan %tan 0= 1 —= —1.tan a+ 0 tan a—04 • 函数f( a= a cos a+ b sin a(a, b 为常数),可以化为f( a = \i a2+ b2sin( a+ 0)或f( %)='：：：［a2+b2cos( a—0),其中0可由a, b的值唯一确定.［难点正本疑点清源］三角变换中的三变”(1) 变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是配凑”.(2) 变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有切化弦”、升幕与降幕”等.(3) 变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有换”、逆用变用公式”、通分约分”、分解与组合”、配方与平方”等.热身训练2 1 tan a1. 已知sin( a+ , sin( a—3 =—-，贝U 的值为 ____________ .3 5 tan 32. 函数f(x)= 2sin x(sin x+ cos x)的单调增区间为________________________3. (2012江苏)设a为锐角，若cos = 4,则I 6丿5sin a+ COS a1则tan 2 a等于( )4. (2012江西)若=sin a一(cos a23344A.—-B.C.—-D._4433n15. (2011 辽宁)设sin(+4B)= 3，则sin 2 B等于( )7117A.—_B. 一—C- D._9999典例分析题型一三角函数式的化简、求值问题【例1】(1)化简:I 1 a、f—tan _ |a 2 | 1 + tan a •⑵求值：［2sin 50 ° + sin 10 3tan (10 +° 摩in 280 °常值代a tan"；2丿变J： i.l兔I在厶ABC中，已知三个内角AA, B, C成等差数列，则tan-2 + tan 值为 _______题型二三角函数的给角求值与给值求角问题【例2]n(1)已知0<仟_<2口r兀、a n,且cos II 2丿1_, sin9求cos（a+ 3的值；1⑵已知a,氏（0, n ）且tan（「沪2，tan A1~,求2 a-卩的值.A C—ta n 一的 2 2题型三三角变换的简单应用f 1 \f 兀、【例 3】 已知 f(x) = 1 + ------ [sin 2x — 2sin x +— !'I tan x 丿 < 4 丿(1)若 tan a = 2,求 f ( a 的值;变式训练2 已知COSa=13 nCOS ( a — ®=，且 0< 仟 ％<一，求(3.14 2n n求f(x)的取值范围⑵若x€五，2变出讣映3已知函数f(x)= J3sin i 2x厂+2sin2「-巨丿x R)-⑴求函数f(x)的最小正周期；⑵求使函数f(x)取得最大值时x的集合.利用三角变换研究三角函数的性质典例：(12分)(2011 •北京)已知函数f(x) = 4cos x - si(x +巴L 1 I 6丿(1)求f(x)的最小正周期；⑵求f(x)在区间，一上的最大值和最小值•II 6 4总结方法与技巧巧用公式变形和差角公式变形：tan x ± tai y = tan （x 土y ） • ?1tan x tan y ）；有-a 2 + b 2>|y |. 3.重视三角函数的 三变”：三变”是指变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名 、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形 式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形 4.已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧 ：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加 减，观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值 ，可使所求的复杂问题简单化. 5.熟悉三角公式的整体结构，灵活变换.本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构 ，更 要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形 失误与防范1 .运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意1 ”的各种变通.所对应的角 a +卩不是唯一的2 .在(0, n 范围内，Sin( a + (3)=23.在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值倍角公式变形：降幕公式cos1 + COS2 a1 — COS2 a2a=, Sin a=配方变形：1 ± sin a =sin2 ± aCOS 2,1 + cos2丿a aa = 2cos 2—, 1 — cos a = 2sin 2—.2 2利用辅助角公式求最值 、单调区间、周期. 由 y = a sin a + b cos a = A / a 2 + b 2sin （ a + 0）（其中 tan 0=_ ）过手训练（时间：25分钟，满分：43分）、选择题（每小题5分，共15分）函数 f (x )= sin x + - 3cos x 的A. 最大值是1 ,最小值是一 11B. 最大值是1 ,最小值是一—2C. 最大值是2,最小值是一 2 D .最大值是2,最小值是一 1、填空题（每小题5分，共15分）已知锐角 a 满足cos 2 a= cos贝U sin 2a = 已知cos —= MU 丿13 a€ 0,-, .4cos 2 a 则― sin（2012山东 ＞若灰一4'2sin 23 A.— 54 B.- 53 D.— 4已知tan （z=5怕…144 '那么tanJIn4等于13 A.— 1813 B.— 223 c.— 221 D7 6n n 当-尹笃时，三、解答题（13分）（2012广东）已知函数f （x ） = 2cos B X +二i （其中o>0 , x € R ）的最小正周期为I 6丿⑴求co 的值；课后习题、选择题（每小题5分，共20分）6.设x €0, 一 i,贝V 函数y = 2si n 2x + 1的最小值为sin 2 x:(5、65 \ 阻0, — ,f 5 a+ — nf 5 (3-_n2< 3丿5< 6丿⑵设a ,16=石，求COS （计®的值. （时间：35分钟, 满分：57分）(2012江西)若tan1°+恳4，则sin 2。
等于1 A.— 5 1 B.— 41 c.— 31 D.— 2（2012大纲全国）已知a 为第二象限角，Sin a + COSa =」，则COs 2 a 等于3已知 nA.— 4B .,59 -5 C.亠 9a ,卩都是锐角，若sin_5 a =T ，sin A 肓，则a +卩等于nc.—和 4 4(2011福建)若a € 3 n B.— 4. 10,—,且 sin 2 a + cos 2 a =—,则 c ' 4tan a 的值等于JT10 n.学习参考 二、填空题（每小题5分，共15分）COS 275 ° -fc os 215 ° + cos 75 - ：‘3tan 12 °3-三、解答题（共22分）（1）求cos a 的值；3®=—;, 5 D •- 3& （10分）已知 1 — sin a 1 + sin a 1 + sin 1 — sin a =—2tan a ,试确定使等式成立的 a 的取值集合. (12分)已知a€ - <2 a a且 sin —+ cos _=2 2C 的值为6. 4COS 212 -2 sin 12 o-3 sin a =_, 5 cos 3卩=_,其中5 a,⑵若sin( a — ,求 cos(n 兀。