第三讲：立体几何中的向量方法
——利用空间向量求二面角的平面角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。
高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。
它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。
并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。
为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。
本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。
以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。
利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。
空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。
教学目标
1．使学生会求平面的法向量；
2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法；
3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；
4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高.
教学重点
求平面的法向量；
求解二面角的平面角的向量法.
教学难点
求解二面角的平面角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾相关公式：
1、二面角的平面角：（范围：],0[πθ∈）
结论： 或
统一为：
2、法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.
3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几
2
12121,cos cos n n n n n n
⋅=><=θ
何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
（回到图形）
Ⅱ、典例分析与练习
例1、如图，ABCD 是一直角梯形，︒=∠90ABC ，⊥SA 面ABCD ，1===BC AB SA ，2
1
=AD ，求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值.
分析 分别以,,BA AD AS 所在直线为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系，求出平面SCD 的法向量1n ， 平面SBA 法向量2n ，利用12,n n 夹角 求平面SCD 与平面SBA 的夹角余弦值。
解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则
)1,0,0(),0,2
1
,0(),0,1,1(),0,0,0(S D C A -
易知面SBA 的法向量为)0,21,0(1==AD n ，)1,2
1
,0(),0,21,1(-=-=SD CD
设面SCD 的法向量为),,(2z y x n =，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=-=-0
2
02
z y y x ，取1=z ，得2,1==y x ，)1,21,1(2=∴n
3
6
|
|||,cos 212121=
>=
<∴n n n n 又1n 方向朝面内，2n 方向朝面外，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角
即所求二面角的余弦值为
3
6. 点拨 求二面角的方法有两种：（1）利用向量的加法及数量积公式求出与两半平面的棱垂直的向量的夹角，从而确定二面角的大小；（2）根据几何体的特征建立空间直角坐标系，先求二面角两个半平面的法向量，再求法向量的夹角，从而确定二面角的大小。
练习1：正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点E 、F 分别为CD 、1DD 的中点.求二面角
D A
E
F --的余弦值。
解：由题意知，)0,1,21(),21
,1,0(E F ，则)21,1,0(=AF )0,1,2
1(,=AE
设平面AEF 的法向量为),,(z y x n =，则
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅02
10210
0y x z y AE n AF n ，取1=y ，得2-==z x )2,1,2(--=∴n
又平面AED 的法向量为)1
,0,0(1=AA 32
1
32||||,cos 11
1-=⨯-=⋅>=
<∴AA n AA n AA n 观察图形知，二面角D AE F --为锐角，所以所求二面角D AE F --的余弦值为3
2
练习2：如图，三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形B B A A ''
是矩形，。
平面平面ABCD B B A A ⊥''
试问：当A A '的长度为多少时，二面角A C A D -'-的大小为？
60
解： 如图建立空间坐标系A xyz -，则 '(1,0,)DA a =- (0,1,0)DC = 设面'
DAC 的法向量为1(,,1)n x y =
则'1100
DA n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得1(,0,1)n a = 易得面'
AAC 的法向量2(1,1,0)n =-
A B
x
D
C
1
B z
y
1
A 1
D 1
C E
F
∴向量12,n n 的夹角为60
由12122121
cos ,2
||||12n n a n n n n a ⋅-〈〉=
==+⋅ 得 1a =
∴ 当A A '＝１时，二面角A C A D -'-的大小为60．
设计说明：复习面面角转化为两向量的夹角或其补角的方法，也可借此机会说明为什么这两个角相等或互补，就没有其他情况．
练习3：正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为２，Ｐ是侧棱1AA 上任意一点． 当11BC B P ⊥时，求二面角11C B P C --的平面角的余弦值． 解：如图建立空间坐标系O xyz -，设AP a =
则1,,,A C B P 的坐标分别为(0,1,0),(0,1,0),(3,0,2)(0,1,)a -- ∵
,
1(3,1,2)
BC =-
由11BC B P ⊥，得110BC B P = 即22(2)0a +-= 1a ∴= 又11BC B C ⊥ 11BC CB P ∴⊥面
∴1(3,1,2)BC =-是面1CB P 的法向量
设面11C B P 的法向量为(1,,)n y z =，由1110
B P n B
C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得(1,3,23)n =-,
设二面角11C B P C --的大小为α，则116
cos 4||||
BC n BC n α== Ⅲ、小结与收获
1、二面角的平面角的正弦值弦值：
2、求平面法向量的方法.
2
12121,cos cos n n n n n n
⋅=><=θ
Ⅳ、课后练习
1、如图,已知四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形,90ABC BCD ∠=∠=,
2AB BC PB PC CD ====,侧面PBC ⊥底面ABCD .
求二面角P BD C --的大小.
2、如图,已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长均相等,点D 是BC 上一点,AD ⊥C 1D. 求二面角C －AC 1－D 的大小.。