量子力学习题第一部分
一基本概念: Plank量子论，Bohr量子论，德布罗意关系，Bohr量子化条件，波函数的统计诠释，量子力学基本假设，坐标波函数和动量波函数的关系，不确定关系，定态，守恒量，全同性原理。

二基本实验现象及规律: 黑体辐射，光电效应，Davisson和Germer实验，正常Zeeman效应，反常Zeeman效应，光谱精细结构，Stark效应，自旋存在的实验证据，Stern-Gerlach实验，自旋单态，自旋三重态。

三简单证明：
1. 若坐标波函数是归一化的，则动量波函数也是归一化的。

2. 由薛定谔方程证明几率守恒。

3. 证明定态的叠加不是定态。

4. 证明在定态下，任意力学量的平均值不随时间改变。

5. 证明在定态下，任意力学量的测值几率分布不随时间变化。

6. 证明对一维运动，若一函数是薛定谔方程的解，则其复共轭也是解，且对应于同一能级。

7. 证明对一维束缚态总可以取实函数描述。

8. 证明对于一维定态问题，若粒子处于有限阶梯形方势阱中运动，则波函数及其一阶导数连续。

9. 证明对于一维运动，若势函数具有反射不变性，则体系有确定的宇称。

10. 证明坐标和动量的对易关系。

11. 证明角动量间的对易关系。

12. 证明坐标和角动量的对易关系。

13. 证明动量和角动量的对易关系。

14. 证明厄米算符的本征值是实数。

15. 证明在任何态下平均值为实数的算符必为厄米算符
16. 证明厄米算符的本征值必为实数。

17. 证明若体系有两个彼此不对易的力学量，则体系的能级一般是简并的。

18. 证明书中求和规则（两题）。

19. 证明（）() =+ i()
20. 证明a和a+ 分别为下降和上升算符，并求它们在占有数表象下的表示。

四计算：
1. 设一维运动粒子具有确定动量，验证不确定关系。

2. 设一维运动粒子具有确定位置，验证测不准关系。

3. 设一维运动粒子用gauss波包描述，验证测不准关系。

4．一维自由运动粒子，求波函数。

5. 粒子处于一维无限深势阱中，求能级和波函数。

6. 二维无限深势阱中运动的粒子，求能级和波函数，并讨论简并度。

7. 求平面转子的能级和波函数。

8. 求角动量z分量的本征值和本征态。

9. 粒子处于一维无限深势阱中，求坐标和动量的平均值，并对结果给予解释。

10. 求带电谐振子处于外电场中时的能级和波函数。

11. 确定三维中心力场中运动粒子体系的力学量的完全集。

12. 对正常Zeeman效应，确定体系的守恒量。

13. 对反常Zeeman 效应，确定体系的守恒量。

14. 计及自旋-轨道耦合，确定中心立场中运动粒子的守恒量。

15. 利用周期性边界条件，求自由运动粒子的波函数。

16. 利用不确定关系估算谐振子的基态能量。

17. 证明在离散的能量本征态（束缚态）下，动量平均值为零。

18. 证明在Lz 的本征态下，求Lx ，Ly ，Lz 的平均值。

19. 设体系处于态C1Y11 + C2Y20，求Lz的可能测值及平均值；求L2的可能测值及相应几率。

20. 求力学量的平均值随时间的演化规律。

21. 设有两个全同的自由粒子，都处于动量的本征态，分别讨论不计交换对称性、波色子和费米子情况下它们在空间的相对距离的概率分布。

22. 三个全同粒子体系，设单粒子有三个态，确定对称化和反对称化态的个数，并写出这些态。

23. 求氢原子能级的简并度（计及自旋和不计自旋）。

24，求氢原子的电流分布和磁矩。

25. 求坐标算符和动量算符在坐标表象中的表示。

26. 求坐标算符和动量算符在动量表象中的表示。

27. 中心力场中的自旋为1/2的粒子，考虑到轨道于自旋耦合，写出体系的哈密顿量，确定体系力学量完全集合，求体系耦合表象下的基。

28. 定量解释碱金属原子光谱的双线结构。

29. 定量分析正常塞曼效应。

30. 定量解释反常塞曼效应。

31. 求两自旋为1/2全同例子体系的波函数。

32. 求自旋单态和自旋三重态下，S2和Sz的本征值。

33. 在z表象下，求x的本证态。

34. 在z表象下，求n的本证态。

35. 在z本征态下，求（ΔSx）2和（ΔSy）2的平均值。

36. 对在外电场中的线性谐振子，用微扰论和精确解分别求解。

37. 定量分析氢原子的一级Stark效应。