aa
aa
子的一种可能状态？若是，其能量有无确定值？若有，其值为多
少？若无，求其平均值。
解：首先写出一维箱中粒子波函数及能级的表达式，分别为：
n (x)
2 sin(n x),
a
a
En

n2h2 8ma2
n 1, 2, 3,
对比可知 (x) 21(x) 3 2 (x)
根据态叠加原理知，线性组合态也是粒子的可能状态。
*(x)Hˆ (x)dx
| cn |2En
E
n
*(x) (x)dx
| cn |2
n

4E1 9E2 49

5h2 13ma
2
5h2 即能量的平均值为 13ma2 。
设粒子处在 0 ~ a 范围内的一维无限深势阱中运动，其状态可用波
函数 (x) 4 sin( x)cos2( x) 表示，试估算：
解：（1）粒子处于第n激发态的概率为 Pn | cn1 |2 （0为基态）
因此 P0 | c1 |2 0.36
P2 | c3 |2 0
（2）粒子出现在 0 x l / 3 范围内的概率计算如下
( ) ( ) P
l
/
3

*
(
x)
(
x)dx
x
2
)*
2dx
=
2 (e x2 1)*dx
故e x2 为线性厄米算符
总结：对坐标算符进行实数运算后的算符仍为线性算符， 如sin x, x 等，但求导运算可能不为实数运算。
( ) xeax2 是算符
d2 dx2
4a2x2
的本征函数，求其本征值。
解：根据量子力学基本假设III，若算符 Aˆ C ，
一个质量为m的粒子被束缚在一个长度为 l 的一维势箱中运动，
若该粒子的某一运动状态可用下列波函数表示：
(x) 0.61(x) 0.8 2 (x) 已归一化
（1）指出该粒子处于基态和第二激发态的概率； （2）计算该粒子出现在 0 x l / 3 范围内的概率； （3）对此粒子的能量作一次测量，估算可能的实验结果。
Pi | ci |2 / | ci |2
i
因为 (x) 已归一化，即 | ci |2 1 ，所以相应的概率为
i
P1 | c1 |2 1 / 2, P3 | c3 |2 1 / 2
（2）能量平均值
E | cn |2En P1E1 P3E3
n
5h2 / 8ma2
v
2h( 0 )
me
2 6.626 1034 (1015 5.464 1014 )
9.11031
m/s
8.127 105 m / s
对一个运动速度 v c (光速)的自由粒子，有人进行了如下推导：
①
② h ③ h ④ E ⑤ 1
mv p mv
结构化学习题课
量子力学基础
2015. 4. 16
REVIEW
“紫外灾难”------- 能量量子化 ------- 光电效应 ------- 波粒二象性 ------- 不确定度关系
量子力学基本假设 波函数 算符 本征方程 态叠加 Pauli原理
箱中粒子的Schrödinger方程
金属钾的临阈频率为 5.4641014 s1，如用它作为光电池的阴极，当
aa
a
（1）该粒子能量的可能测量值及相应的概率；
（2）能量平均值。
解：（1）根据题意将波函数 (x)展开成一维箱中粒子能量本
(x)
4a征s态in(anx(x))c的os线2(性ax组)合，具4a 体sin如(下ax：)1

cos(
2
2
a
x
)
2 sin( x) 2 sin( x)cos(2 x)
5.4 1023 kg m / s
由图知 arctan(px / py ) 0
可以看出，电子经光栅衍射后落到同一点上，
因此观察不到电子衍射现象
一个粒子的某状态波函数为

(
x)


2
1/ 4
e
x2


，
为常数，
x , 证明 xpx 满足不确定度关系。
( x2 1 )
4
p



*
(
x)(i
d ) (x)dx i
2 e x2 d (e x2 )dx

dx

dx
i
2

e

x2
(2
x)e

x2
dx
被积函数
====
0

为奇函数
因此 x x2 x 2 1
4 p p2 p 2
以 2 为例进行证明，2 及 2 同理可得
x2
y2 z2
d2 dx2
( 1
2)

d 21
dx2

d 2 2
dx2

* 1
d2 dx2

2dx


* 1
d dx
(
d 2
dx
)dx


1*d
(
d 2
dx
)
应用波函数单


* 1
d 2
dx


d 2
x


*
( x) x
(
x)dx


2
xe2 x2
dx
被积函数
====
0


为奇函数
p2


*
(
x)(

2
d2 dx2
)
( x)dx


2
2
e x2

d2 dx2
(e x2 )dx
2 2 e x2 d (2 xe x2 )dx
2
本征值 C 2 B
已知封闭的圆环中粒子的能级为
En

n2h2
8 2mR2
n 0, 1, 2, 3,
式中n为量子数，R是圆环的半径。若将此能级公式近似地用于苯
分子中的

6 6
离域
键，取R=140pm，试求其电子从基态跃迁到
第一激发态所吸收的光的波长。
解：由题中能级公式知，除n=0之外，其他能级简并度均为2。

dx
2 2 e x2 (2 e x2 4 2 x2e x2 )dx

( ) 2
2
2

e
2
x2
dx

4
2

x
2
e
2
x2
dx



2 2 (2 4 2 x2 )

2
2
2
证明： 附：题中需用到高斯积分 ex2 dx /
由标准差的定义知：x x2 x 2 , px px2 px 2
另外物理量的平均值为
A *Aˆ d
于是
x2


*
( x) x 2
( x)dx


(
2
)
1 4
e
x2
e x2

d2 dx2
(e x2 ) Bx2e x2
d (2 xe x2 ) Bx2e x2
dx
2 e x2 4 2 x2e x2 Bx2e x2
2 e x2 (4 2 B)x2e x2
两式对比可得 4 2 B 0 B
xp 1
满足不确定度关系
4
2
判断下列算符是否是线性厄米算符：
(1) d dx
(2)2
(3)x y
(4)e x2
解： 线性厄米算符要满足如下两个表达式：
线性算符 Aˆ (1 2 ) Aˆ 1 Aˆ 2
厄米算符 1*Aˆ 2d (Aˆ 1)* 2d
d
* 1
dx


dx dx
d
* 1
dx
d
2
值连续及平方
可积的条件


d
* 1
dx

2



2d
(
d
* 1
dx
)


2
d dx
(
d
* 1
dx
)dx


2
(
d2 dx2

1
)*
dx
故2为线性厄米算符
（3） (x y)(1 2 ) x(1 2 )+y(1 2 ) x1 x 2 y1 y 2 (x y)1 (x y) 2
用波长为300nm的紫外光照射该电池时，发射的光电子的最大速度
是多少？
解：光子的频率


c


3108 m / s 300 109 m
1.0 1015 s1
根据光电效应的公式
h W Ek h 0 mev2 / 2
其中 0 5.464 1014 s1
因此电子的最大速度为
射(用10000V电压加速电子) 。
x
解： 电子位置的不确定度约为光栅的周期，
即： x 106 m
e