解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章 第五章 二次曲线一般的理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 1. 写出下列二次曲线的矩阵A以及1(,)Fxy，2(,)Fxy

及3(,)Fxy.

（1）22221xyab；（2）22221xyab；（3）22ypx；（4）

223520;xyx

（5）2226740xxyyxy.解：（1）22100100001aAb；

121(,)Fxyxa22

1(,)Fxyyb3(,)1Fxy

；（2）22100100001aAb；

121(,)Fxyxa22

1(,)Fxyyb；3(,)1Fxy.（3）0001000pAp；

1(,)Fxyp；2(,)Fxyy；3(,)Fxypx；（4）51020305022A；15(,)2Fxyx；2(,)3Fxyy；35(,)22Fxyx；（5） 222420xxykyxy

交于两个共轭虚交点.解：详解

略.（1）4k；（2）1k或3k（3）1k或5k；（4）4924k.

§5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线 1. 求下列二次曲线的渐进方向并指出曲线属于何种类型的（1）22230xxyyxy；（2）22342250xxyyxy

；（3）24230xyxy.

解：（1）由22(,)20XYXXYY得渐进方向为:1:1XY

或1:1且属于抛物型的； （2）由22(,)3420XYXXYY

得渐进方向为:(22):3XYi且属于椭圆型的； （3）

由(,)20XYXY得渐进方向为:1:0XY或0:1且属于双曲型的. 2. 判断下列曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线. （1）22224630xxyyxy；（2）22442210xxyyxy；（3）2281230yxy；（4）2296620xxyyxy.解：（1）因为2111012I，所以它为中心曲线； （2）因

为212024I且121241，所以它为无心曲线； （3）因为200002I且004026，所以它为无心曲线； （4）因为293031I且933312，所以它为线心曲线； 3. 求下列二次曲线的中心. （1）225232360xxyyxy；（2）222526350xxyyxy；（3）22930258150xxyyxy.

解：（1）由510,3302xyxy得中心坐标为313(,)2828； （2）

由5230,2532022xyxy得中心坐标为(1,2)； （3）由91540,15152502xyxy





知无解，所以曲线为无心曲线.

4. 当,ab满足什么条件时，二次曲线226340xxyayxby

（1）有唯一中心；（2）没有中

心；（3）有一条中心直线.

解：（1）由330,2302xybxay知，当9a时方程有唯一的解，此时曲线有唯一中心；（2）当9,9ab时方程无解，此时曲线没有中心；（3）当9ab时方程有无数个解，此时曲线是线心曲线. 5. 试证如果二次曲线22111222132333(,)2220Fxyaxaxyayaxaya

有渐进线，那么它的两个渐进线方程是Φ

00(,)xxyy=221101200220()2()()()0axxaxxyyayy式中00(,)xy 为二次曲线的中心. 证明：设(,)xy为渐进线上任意一点，则曲线的的渐进方向为00:():()XYxxyy，所以Φ

00(,)xxyy=221101200220()2()()()0axxaxxyyayy. 6. 求下列二次曲线的渐进线. （1）226310xxyyxy；（2）2232340xxyyxy；（3）2222240xxyyxy.

解：（1）由1360,2211022xyxy得中心坐标13(,)55.而由

2260XXYY

得渐进方向为:1:2XY或:1:3XY，所以

渐进线方程分别为210xy与30xy （2）由310,22332022xyxy







得中心坐标13(,)55.而由22320XXYY得

渐进方向为:1:1XY或:2:1XY，所以渐进线方程分别为20xy与210xy （3）由10,10xyxy知

曲线为线心曲线，.所以渐进线为线心线，其方程为10xy. 7. 试证二次曲线是线心曲线的充要条件是

230II，成为无心曲线的充要条件是230,0II. 证明：因为曲线是线心曲线的充要条件是 131112

122223

aaa

aaa也即230II；为无心曲线的充要条件是

131112

122223

aaa

aaa也即230,0II.

8. 证明以直线1110AxByC为渐进线的二次曲线方程总能写成111()()0AxByCAxByCD. 证明：设以1110AxByC为渐进线的二次曲线为 22111222132333(,)2220Fxyaxaxyayaxaya

，则它的渐进线

为Φ00(,)xxyy=221101200220()2()()()0axxaxxyyayy，其中00(,)xy为曲线的中心， 从而有Φ

00(,)xxyy=111()()0AxByCAxByC ，而Φ

00(,)xxyy=0 因为00(,)xy为曲线的中心， 所以有

11012013axaya，12022023axaya 因此Φ

000033(,)(,)(,)xxyyFxyxya， 令0033(,)xyaD，代入上式得 即111(,)()()FxyAxByCAxByCD， 所以以

1110AxByC为渐进线的二次曲线可写为

111()()0AxByCAxByCD. 9.求下列二次曲线的方程. （1）以点（0，1）为中心，且通过（2，3），（4，2）与（-1，-3）； （2）通过点（1，1），（2，1），（-1，-2）且以直线10xy为渐进线. 解：利用习题8的结论即可得： （1）40xyx； （2）2223570xxyyx. §5.3二次曲线的切线 1. 求以下二次曲线在所给点或经过所给点的切线方程. （1）曲线223457830xxyyxy在点（2，1）； （2）曲线曲线223457830xxyyxy在点在原点； （3）曲线22430xxyyxy经过点（-2，-1）； （4）曲线225658xxyy经过点(0,2)； （5）曲线222210xxyyxy

经过点（0，2）.

解：（1）910280xy； （2）20xy； （3）10,30yxy； （4）1151020,220xyxy； （5）0x. 2. 求下列二次曲线的切线方程并求出切点的坐标. （1）曲线2243530xxyyxy的切线平行于直线

40xy； （2）曲线223xxyy的切线平行于两坐标轴. 解：（1）450xy，(1,1)和480xy，(4,3)； （2）20y，

(1,2),(1,2)和20x，(2,1),(2,1). 3. 求下列二次曲线的奇异点. （1）22326410xyxy； （2）22210xyyx； （3）2222210xxyyxy

.

解：（1）解方程组330,220xy得奇异点为(1,1)； （2）