GF与 CG共线
证明： AG = λGD; BG = µGE;
CG = AG − AC = λ AD − AC
=
λ
•
1
(
1+ λ
AB + AC)
−
AC
1+λ 2
= λ AB − λ + 2 AC
2(1 + λ） 2(1 + λ）
CG = BG − BC = µ BE − BC 1+ µ
= µ • (AE − AB) − BC 1+ µ
八、共面向量的条件
定理1.4.7 三向量共面的充要条件是它们线性相关. 定理1.4.8 空间任何四个向量总是线性相关.
推论 空间四个以上向量总是线性相关.
例6
设 p = a − b + 5 − 1 b + b − 3a , q = 4a + 5b,
2
5
试证明 : p // q.
证明:
p
=
(1
−
5
组合，即
r = xe1 + ye2 + ze3 ，
C
并且其中系数 x, y, z 被
e1, e2, e3, r 惟一确定.
P
向量 e1, e2, e3 叫做空间向量的基底.
E3 e3 r
E1 e1 O e2 E2
B
A
例1 已知三角形OAB,其中= OA a= , OB b, 而M、N分别
是三角形OA，OB 两边上的点,且有OM= λ a (0 < λ < 1) ,
线性相关.
推论 一组向量如果含有零向量，那么这组向量必线性相关.
七、共线向量的条件
定理 1.4.6 两向量共线的充要条件是它们线性相关.
证：设两向量 a，b，若它们线性相关，则有 λ a + µ b = 0， 且λ，µ不全为零，不妨设λ ≠ 0，则有a = − µλ b，即a，b共线.
反过来，由a，b共线，若b ≠ 0，则存在x，使得 =a xb，即a − x=b 0，a，b线性相关；若=b 0，a，b 显然线性相关.
解： 因为 | BT | = | e1 | | TC | | e2 |
且 BT与TC方向相同
所以
BT＝ | |
e1 e2
| |
TC
所以
AT=
e1
+
| |
e1 e2
| |
e2
1
+
| |
e1 e2
| |
=
|
e2 |
| e1 + e1 | +
| |
e1 e2
| e2 |
例5 试用向量方法证明：空间四边形相邻各边中点 的连线构成平行四边形.
A
AP = λ PB
P
AP = OP − OA
B
PB = OB − OP
o
OP −= OA λ ( OB − OP )
A
得
OP =
1 (OA + λOB). 1+λ
B
p
例4 在∆ABC 中,设 AB = e1, AC = e2 (1) 设D,E 是BC 边 三等分点,将矢量 AD, AE 分解为 e1, e2 的线性组合
A
同理可得 AP2= AP3= 14（e1 + e2 + e3）.
P1 e2
C
E e1
所以
A= P1 A= P2 AP3，P1，P2，P3，三点重合.
B
例3. 已知两点A,B 及AB直线上一点 P , 满= 足AP λ PB（ λ ≠ −1).
求= 证 OP 1 (OA + λOB). 1+λ
解: 设 P如图所示,则
r = xe 并且系数 x 被 e, r 惟一确定.
这时 e 称为用线性组合来表示共线向量的基底.
证 ：若r = xe，则由数乘的定义知r与e共线.
r
反过来，若r与e共线，取x
=
e −
，当r与e同向时
，
r e
，当r与e反向时
则有r = xe.
最后证明x的唯一性.若r =xe =x'e，则（x − x'）e =0， 而r ≠ 0，所以x = x'.
a2
−…−
λn-1 λn
an-1；
反过来，设a1，a2 , …an中有一个向量，不妨设是an可由其余向量线性表出， 即= an λ1a1 + λ2 a2 + … + λn-1an-1，则有λ1a1 + λ2 a2 + … + λn-1an-1 +（ − 1）= an 0. 因为λ1，λ2,…λn-1，− 1不全为零，所以a1，a2,…an线性相关.
证：因为e1，e2不共线，所以有e1 ≠ 0，e2 ≠ 0.
设r与e1，e2共面，若r与e（1 或e2）共线，由定理1.4.1，有 r = xe1 + ye2，其中y = （0 或x = 0）.
若r 与e1，e2都不共线，把它们归结到共同的起点O, 并设O= Ei e（= i i 1，2）, O= P r，过P分别作OE2，OE1 的平行线并交OE1，OE2于A，B.
因为OA / /e1, OB / /e2, 由定理1.4.1，可= 设OA x= e1，OB ye2，
B
P
所以，
O=P OA + OB，
E2
e2
r
即
=r xe1 + ye2.
O e1 E1
A
反过来，设 r = xe1 + ye2，若x，y有一个是0， 例如x = 0， 则r = ye2与e2共线,从而与e1，e2，共面.
设AS
=
2 3
AP,
BT
=
2 3
BQ,
往证点S与点T重合, 即AS = AT.
( ) AS = 1 AB + AC = 1 AB + 2 AQ = 1 AB + 2 AB + 2 BQ = AB + BT = AT
3
3 3 333
五、向量的线性关系
定义 1.4.2 对于 n 个向量 a1, a2,, an ，如果存在不全为零的 n 个数
定理1.4.5 如果一组向量中的一部分向量线性相关，那 么这一组向量就线性相关.
证：设有一组向量a1，a2，…，as，…，a（r s ≤ r）其中一部分，
不妨设a1，a2，…，as线性相关，即有不全为零的数λ1，λ2， …，λs，使得λ1a1 + λ2 a2 + …λs as = 0.
则有λ1a1 + λ2 a2 + …λs as + 0as+1 + …0ar = 0.因为λ1，λ2 ，…，λs，0，…0中至少有一个不是零，所以a1，a2，…，ar
§1.4 向量的 线性关系与向量的分解
一、向量的线性组合 二、共线向量的基底
三、共面向量的基底 四、空间向量的基底
五、向量的线性关系 六、向量线性相关的条件 七、共线向量的条件
八、共面向量的条件
一、向量的线性组合
向量的加法和向量的数乘统称为向量的线性运算.
定义 1.4.1 由向量 a1, a2,, an 与实数 λ1, λ2,, λn 所组成的向量 a= λ1a1 + λ2 a2 + + λn an ，
叫做向量的线性组合.
当向量 a 是向量 a1, a2,, an 的线性组合时，我们也说：向量 a 可以用向量 a1, a2,, an 线性表示.或者说，向量 a 可以分解成向量 a1, a2,, an 的线性组合.
二、共线向量的基底
定理 1.4.1 如果向量 e ≠ 0 ，那么向量 r 与向量 e 共线的充要条件是 r 可以用向量 e 线性表示，或者说 r 是 e 的线性组合，即
= µ (1 AC − AB) − (AC − AB) 1+µ 2
= 1 AB + ( µ − 1)AC
µ +1
2(1 + µ）
AB与AC不共线;
λ =1 2(1 + λ） µ + 1
µ
− 1 =−
λ+2Leabharlann = λ2= ，µ2，
2(1 + µ）
2(1 + λ）
CG = 1 AB − 2 AC = 1 (AB − 2AC),
λ1, λ2,, λn 使得 λ1a1 + λ2 a2 + + λn an＝0 ，
（1）
那么 n 个向量叫做线性相关，不是线性相关的向量叫做线性无关. 换句话说，向量 a1, a2 ,, an 叫做线性无关就是指：只有当
λ1＝λ2＝＝λn＝0 时，（1）才成立.
推论 一个向量 a 线性相关的充要条件为 a＝0 .
p =µ b + n(a − µ b) =na + µ(1 − n)b
B
因为
a,b 不共线，
b
N
P
所以
λ(1 − m) = n,
µb
= m µ (1 − n). O λa
p
M
a
A
解= 得 m
µ= (1 − λ ) , n 1 − λµ
λ(1 − µ ) . 1 − λµ
所= 以 p
λ(1 − µ ) a + µ(1 − λ ) b. 1 − λµ 1 − λµ
六、向量线性相关的条件
定理 1.4.4 在 n ≥ 2 时，向量 a1, a2 ,, an 线性相关的充要条件是 其中有一个向量是其余向量的线性组合.
证：设a1，a2 , …an线性相关，则（1）成立，且λ1，λ2 , …λn中至少有一