特征根 2 1 确定的主方向为
X2 :Y2 4 : (5 1) 1 : 1,
又因为 F ( x, y) 5 x2 8 xy 5 y2 18 x 18 y 9 0 F1(x, y) 5x 4 y 9, F2( x, y) 4x 5 y 9,
所以曲线的主直径为 XF1(x, y) YF2 (x, y) 0
a11 a12 0
a12
a22
2 I1 I2 0.
定义 5.5.2 方程(5.5-2)或(5.5-3)叫做二次曲线(1)的特征方程， 特征方程的根叫做二次曲线的特征根.
总结:1)从二次曲线(1)的特征方程(5.5-3)求出特征根 , 把它代入(5.5-1). 我们就得到相应的主方向.
特征根 2 0 确定的方向为渐进方向 X2 :Y2 1 : 0,
又因为
F ( x, y) 2 px y2 0
F1( x, y) p, F2( x, y) y,
所以曲线的主直径为
XF1(x, y) YF2 (x, y) 0
y 0.
例.试证二次曲线两不同特征根确定的主方向相互垂直.
(5.5-3)
因此对于中心二次曲线来说，只要由(5.5-3)解出 ，
再代入(5.5-1)就能得到它的主方向.
2.如果二次曲线(1)为非中心二次曲线 那么它的任何直径的方向是它的唯一的渐近方向
X 1 : Y1 a12 : a11 a22 : (a12 ),
而垂直于它的方向显然为
X 2 : Y2 a11 : a12 a12 : a22 ,
,
2
1 b2
.
由这两特征根所确定的主方向为：
特征根 1 1 / a2 确定的主方向为
X1 :Y1 1 : 0,
特征根 2 1 / b2 确定的主方向为
又因为
X2 :Y2 0 : 1,,
F2( x,
y)
x b2
,
所以曲线的主直径为
XF1(x, y) YF2 (x, y) 0
x 0,
和
y 0.
例 5 求曲线 2 px y2 0
的主方向与主直径.(P212T1)
00
解
I1 1, I2 0
0, 1
曲线为非中心曲线，它的特征方程为：
2 I1 I2 0.
2 0,
因此两特征根为
1 1, 2 0.
由这两特征根所确定的主方向为：
特征根 1 1 确定的主方向即为非渐进方向为 X1 :Y1 0 : 1,
X2 :Y2 a12 : (2 a11) (2 a22 ) : a12.
（7） （8）
这两个方向相互垂直，它们又互相共轭， 因此
非圆的中心二次曲线有而且只有一对互相垂直从而又互相 共轭的主直径.
20 当二次曲线(1)为非中心曲线时，I2 0 ，这
时两特征根为
2 I1 I2 0.
1 a11 a22 ,
2 0.
所以它只有一个非渐近的主方向，即与 1 a11 a22 ,
相应的主方向，从而非中心二次曲线只有一条主直径.
例 1 求 F ( x, y) x 2 xy y2 1 0 的主方向
与主直径.
1 1
解
I1 1 1 2, I2 1
2 3 0. 14
2
曲线为中心曲线，它的特征方程为
它被任何方向 X : Y 所满足，所以任何实数方向都是圆的非
渐近主方向，从而通过圆心的任何直线都是直径.而且都是圆
的主直径.
如果特征方程的判别式
(a11 a22 )2 4a122 0,
那么特征根为两个不等的非零实根 1 , 2. 将它们分别代入
(5.5-1`)得相应的两非渐近主方向为
X 1 : Y1 a12 : (1 a11) (1 a22 ) : a12 ,
.
由这两特征根所确定的主方向为：
特征根 1 1 / a2 确定的主方向为
X1 :Y1 1 : 0,
特征根 2 1 / b2 确定的主方向为
X2 :Y2 0 : 1,
又因为
F1( x,
y)
x a2
,
F2( x,
y)
x b2
,
所以曲线的主直径为 XF1(x, y) YF2 (x, y) 0
x 0,
和
y 0.
例
4
求曲线
x2 a2
y2 b2
1
的主方向与主直径.(P212T1) 1
解
I1
1 a2
1 b2
,
I2 a2 0
0
1 0,
1 b2
a2b2
曲线为中心曲线，它的特征方程为：
2 I1 I2 0.
2
(
1 a2
1 b2
)
1 a2b2
0,
因此两特征根为
1
1 a2
,
2
1 b2
又因为
F1 ( x,
y)
x
1 2
y,
F2 ( x,
y)
1 2
x
y,
所以曲线的主直径为
XF1(x, y) YF2 (x, y) 0
(x 1 y) ( 1 x y) 0
2
2
与
( x 1 y) ( 1 x y) 0,
2
2
即 x y 0 与 x y 0.
例 2 求曲线 5 x2 8 xy 5 y2 18 x 18 y 9 0
2)如果主方向为非渐近方向，那么根据(5.4-1)就能 得到共轭于它的主直径. XF1(x, y) YF2(x, y) 0
(a11 X a12Y ) x (a12 X a22Y ) y a13 X a23Y 0
定理 5.5.1 二次曲线的特征根都是实数.
证 因为特征方程得判别式
2 I1 I2 0.
2 I1 I2 0.
正是非中心二次曲线的渐近主方向(5) 与非渐近主方向(6).
aa1112
X X
a12Y a22Y
X Y
,
因此，一个方向 X : Y 成为二次曲线(1)的主方向
的条件是(5.5-1)成立，这里的 是方程(5.5-2)或(5.5-
3)的根.
a11X a12Y X , a12 X a22Y Y
I12 4I 2 (a11 a22 )2 4a122 0.
所以二次曲线的特征根都是实数.
定理 5.5.2 二次曲线的特征根不能全为零. 证 如果二次曲线的特征根全为零, 那么得
I1 I2 0,
即 a11 a22 0 与 a11a22 a122 0,
从而得
a11 a12 a22 0,
2 X2 X1 2Y2Y1,
从而有 (1 2 )( X1 X2 Y1Y2 ) 0
因为 1 2 ，所以 X1X2 Y1Y2 0 由此两主方向 X1 :Y1
与 X2 :Y2 相互垂直.
特征方程的判别式
I
2 1
4I2
(a11
a22 )2
4a122
0
那么 a11 a22 , a12 0 这时的中心曲线为圆(包括点
圆和虚圆)，它的特征根为一对二重根.
a11 a22 ( 0)
a11X a12Y X , a12 X a22Y Y
把它代入(5.5-1)或(5.5-1`)，则得到两个恒等式，
(1)
2a23 y a33 0
的主方向与主直径.
1.如果二次曲线(1)为中心曲线
那么与二次曲线(1)的非渐近方向 X : Y 共轭的直径为
(5.4-1)或(5.4-3). p202 XF1 ( x, y) YF2 (x, y) 0
(a11 X a12Y ) x (a12 X a22Y ) y a13 X a23Y 0
设直径的方向为 X ' : Y ' ，那么
X ' : Y ' (a12 X a22Y ) : (a11 X a12Y ),
(2)
根据主方向的定义， X : Y 成为主方向的条件是它
垂直与它的共轭方向 X : Y , 在直角坐标系下有，
XX ' YY ' 0
(3)
或
X ' : Y ' Y : X
2 I1 I2 0.
2 2 3 0,
4
解这个方程得两特征根为：
1
1 2
,
2
3 2
.
由特征根
1
1, 2
确定的主方向为
X1
: Y1
1 2
:
(
1 2
1)
1 2
:
(
1) 2
1 : 1,
由特征根
2
3. 2
确定的主方向为
X2
: Y2
1 2
:(3 2
1)
1 2
:
1 2
1 : 1,
F (x, y) x2 xy y2 1 0
所以非中心二次曲线(1)的主方向： 渐近主方向
X1 :Y1 a12 : a11 a22 : (a12 ),
非渐近主方向
（5）
X 2 : Y2 a11 : a12 a12 : a22.
（6）
注意到 I2 0, 此时方程(5.5-3)的两根为
1 0, 2 I1 a11 a22 ,
把它代入(5.5-1) 所得到的主方向
的主方向与主直径.(P212T2(1))
解
I1 5 5 10,
5 I2 4
4 9 0,
5
曲线为中心曲线，它的特征方程为：
2 I1 I2 0.
2 10 9 0,
因此两特征根为
1 9, 2 1.
由这两特征根所确定的主方向为：
特征根 1 9 确定的主方向为
X1 :Y1 4 : (5 9) 1 : 1,