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解析几何第四版吕林根课后习题答案第四章

第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面§ 4.1柱面1、已知柱面的准线为:⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 且(1)母线平行于x 轴;(2)母线平行于直线c z y x ==,,试求这些柱面的方程。

解:(1)从方程⎩⎨⎧=+-+=-+++-0225)2()3()1(222z y x z y x 中消去x ,得到:25)2()3()3(222=-+++--z y y z 即:0235622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。

(2)取准线上一点),,(0000z y x M ,过0M 且平行于直线⎩⎨⎧==c z yx 的直线方程为:⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=z z t y y tx x zz t y y tx x 000000 而0M 在准线上,所以⎩⎨⎧=+--+=-++-+--02225)2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到:02688823222=--+--++z y x xy z y x此即为要求的柱面方程。

2、设柱面的准线为⎩⎨⎧=+=z x z y x 222,母线垂直于准线所在的平面,求这柱面的方程。

解:由题意知:母线平行于矢量{}2,0,1- 任取准线上一点),,(0000z y x M ,过0M 的母线方程为:⎪⎩⎪⎨⎧+==-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z z yy tx x tz z y y tx x 2200000而0M 在准线上,所以:⎩⎨⎧+=-++=-)2(2)2(22t z t x t z y t x 消去t ,得到:010*******22=--+++z x xz z y x此即为所求的方程。

3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。

解:过原点且垂直于已知三直线的平面为0=++z y x :它与已知直线的交点为())34,31,31(),1,0,1(,0,0,0--,这三点所定的在平面0=++z y x 上的圆的圆心为)1513,1511,152(0--M ,圆的方程为: ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-++++07598)1513()1511()152(222z y x z y x 此即为欲求的圆柱面的准线。

又过准线上一点),,(1111z y x M ,且方向为{}1,1,1的直线方程为: ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=t z z t y y tx x tz z t y y t x x 111111 将此式代入准线方程,并消去t 得到:013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x此即为所求的圆柱面的方程。

4、已知柱面的准线为{})(),(),()(u z u y u x u =γ,母线的方向平行于矢量{}Z Y X S ,,=,试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为:S v u Y x +=)(与⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 式中的v u ,为参数。

证明:对柱面上任一点),,(z y x M ,过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M ',则,S v M M ='即S v M O OM ='-亦即S v u Y Y =-)(,S v u Y Y +=)( 此即为柱面的矢量式参数方程。

又若将上述方程用分量表达,即:{}{}{}Z Y X v u z u y u x z y x ,,)(),(),(,,+=⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=∴Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 此即为柱面的坐标式参数方程。

§ 4.2锥面1、求顶点在原点,准线为01,0122=+-=+-z y z x 的锥面方程。

解:设为锥面上任一点),,(z y x M ,过M 与O 的直线为:zZ y Y x X == 设其与准线交于),,(000Z Y X ,即存在t ,使zt Z yt Y xt X ===000,,,将它们代入准线方程,并消去参数t ,得:0)()(222=-+--y z y z z x即:0222=-+z y x此为所要求的锥面方程。

2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--,准线为0,1222=+-=-+z y x z y x ,试求它的方程。

解:设),,(z y x M 为要求的锥面上任一点,它与顶点的连线为:221133++=++=--z Z y Y x X 令它与准线交于),,(000Z Y X ,即存在t ,使⎪⎩⎪⎨⎧++-=++-=-+=t z Z t y Y t x X )2(2)!(1)3(3000 将它们代入准线方程,并消去t 得:044441026753222=+-+-+--+-z y x xz yz xy z y x此为要求的锥面方程。

4、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程。

解:(这里仅求Ⅰ、Ⅶ卦限内的圆锥面,其余类推)圆锥的轴l 与k j i ,,等角,故l 的方向数为1:1:1 ∴与l 垂直的平面之一令为1=++z y x平面1=++z y x 在所求的锥面的交线为一圆,该圆上已知三点)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(,该圆的圆心为)31,31,31(,故该圆的方程为: ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+-+-1)32()31()31()31(2222z y x z y x 它即为要求圆锥面的准线。

对锥面上任一点),,(z y x M ,过M 与顶点O 的母线为:zZy Y x X == 令它与准线的交点为),,(000Z Y X ,即存在t ,使zt Z yt Y xt X ===000,,,将它们代入准线方程,并消去t 得:0=++zx yz xy此即为要求的圆锥面的方程。

5、求顶点为)4,2,1(,轴与平面022=++z y x 垂直,且经过点)1,2,3(的圆锥面的方程。

解:轴线的方程为:142221-=-=-z y x 过点)1,2,3(且垂直于轴的平面为:0)1()2(2)3(2=-+-+-z y x即: 01122=-++z y x该平面与轴的交点为)937,920,911(,它与)1,2,3(的距离为: 3116)1937()2920()3911(222=-+-+-=d∴要求圆锥面的准线为:⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+-+-011229116)937()920()911(222z y x z y x 对锥面上任一点),,(z y x M ,过该点与顶点的母线为:442211--=--=--z Z y Y x X 令它与准线的交点为),,(000Z Y X ,即存在t ,使,)1(10t x X -+=,)2(20t y Y -+=t z Z )4(40-+=将它们代入准线方程,并消去t 得:01299252516518525210412515122=+---+++++z y x zx yz xy z y x6、已知锥面的准线为{})(),(),()(u z u y u x u =γ,顶点A 决定的径矢为{}0000,,z y x =γ,试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为:0()(1)v u v γγγ=+-与000()(1)()(1)()(1)x vx u v x y vy u v y z vz u v z=+-⎧⎪=+-⎨⎪=+-⎩式中,v u ,为参数。

证明:对锥面上任一点),,(z y x M ,令OM γ=,它与顶点A 的连线交准线于((),(),())M x u y u z u '=,即OM ()u γ'=。

//AM AM ',且0AM '≠(顶点不在准线上) AM vAM '∴=即00(())v u γγγγ-=- 亦即0()(1)v u v γγγ=+-此为锥面的矢量式参数方程。

若将矢量式参数方程用分量表示,即:000{,,}{(),(),()}(1){,,}x y z v x u y u z u v x y z =+-⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=-+=∴000)1()()1()()1()(zv u vz z y v u vy y x v u vx x 此为锥面的坐标式参数方程,v u ,为参数。

§ 4.3旋转曲面1、求下列旋转曲面的方程:(1);111112x y z -+-==-绕1112x y z -==-旋转 (2);1211x y z -==-绕1112x y z -==-旋转 (3)1133x y z -==-绕z 轴旋转;(4)空间曲线2221z xx y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩绕z 轴旋转。

解:(1)设1111(,,)M x y z 是母线111112x y z -+-==-上任一点,过1M 的纬圆为: 111222222111()()2()0(1)(1)(1)(2)x x y y z z x y z x y z ---+-=⎧⎨++-=++-⎩又1M 在母线上。

111111112x y z -+-∴==- 从(1)——(3)消去111,,x y z ,得到:22255224444480x y z xy yz xz x y z ++++-+---=此为所求的旋转面方程。

(2)对母线上任一点1111(,,)M x y z ,过1M 的纬圆为:111222222111()()2()0(1)(1)(1)(2)x x y y z z x y z x y z ---+-=⎧⎨++-=++-⎩因1M 在母线上, 1111211x y z -∴==- (3) 从(1)——(3)消去111,,x y z ,得到:2225523122424242446230x y z xy yz xz x y z ++--+-+-+=此为所求的旋转面的方程。

(3)对母线上任一点1111(,,)M x y z ,过该点的纬圆为:1222222111(1)(2)z z x y z x y z =⎧⎨++=++⎩又1M 在母线上,所以:1111133x y z -==- (3) 从(1)——(3)消去111,,x y z ,得到:2229()10690x y z z +---=此为所求的旋转面方程。

(4)对母线上任一点1111(,,)M x y z ,过1M 的纬圆为:1222222111(1)(2)z z x y z x y z =⎧⎨++=++⎩又1M 在母线上,所以2112211(1)1(2)z x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩从(1)——(3)消去111,,x y z ,得到:221x y +=211101z z x z ==≤∴≤≤即旋转面的方程为:221x y += (01)z ≤≤2、将直线01xy zβα-==绕z 轴旋转,求这旋转面的方程,并就,αβ可能的值讨论这是什么曲面?解:先求旋转面的方程式:任取母线上一点1111(,,)M x y z ,过1M 的纬圆为:1222222111(1)(2)z z x y z x y z =⎧⎨++=++⎩又11101x y z βα-== (3)x从(1)——(3)消去111,,x y z,得到:222220x y zαβ+--=此即为所求旋转面的方程。

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