一、二次函数的定义1. 下列函数中属于一次函数的是（），属于反比例函数的是（），属于二次函数的是（）A. y = x（x + 1） B . xy = 1 C . y = 2x2—2（x + 1）2 D. y 3x212. 当m _________ 时，函数y= （m—2）x2+4x—5（m是常数）是二次函数.23. 若y （m23m）x m 2m 1是二次函数，贝U m= ____________________ .4. 若函数y = 3x2的图象与直线y=kx + 3的交点为（2，b），则k= ____ ，b= _—5. 已知二次函数y二一4x2—2mx+m与反比例函数y 亜上的图象在第二象限内的x一个交点的横坐标是一2，则m的值是____ .二、二次函数的图象与性质2配方2y ax bx c y a（x h） k公式开口向上：在对称轴左侧，y随x增大而减小; 在对称轴右侧，y随x增大而增大. 开口向下：在对称轴左侧，y随x增大而增大;在对称轴右侧，y随x增大而减小.（或将x代入求y）1. 对于抛物线y= ax2，下列说法中正确的是（）A . a越大，抛物线开口越大 B. a越小，抛物线开口越大C . | a |越大，抛物线开口越大 D.| a |越小，抛物线开口越大2. 下列说法中错误的是（）A. 在函数y = —x中，当x= 0时，y有最大值0B. 在函数y = 2x2中，当x > 0时，y随x的增大而增大C. 抛物线y = 2x2，y = —x2，y £x2中，抛物线y =2x2的开口最小，抛物线y= —x的开口最大D. 不论a是正数还是负数，抛物线y = ax2的顶点都是坐标原点3. 二次函数y=2 （x —3）2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（）A .开口向下，对称轴x= —3,顶点坐标为（3,5）B .开口向上，对称轴x= 3,顶点坐标为（3，5）C .开口向上，对称轴x= —3,顶点坐标为（一3,5）D .开口向下，对称轴x= —3,顶点坐标为（一3, —5）4. 已知抛物线的解析式为y=（x —2）2+1,则抛物线的顶点坐标是（）A . （—2, 1）B . （2 , 1）C . （2 , —1）D . （1 , 2）5. 已知二次函数y = x2—4x + 5的顶点坐标为（）A . （—2,—1）B . （2,1）C . （2 , —1）D . （—2,1）6. 抛物线y=x2+2x-1的对称轴是_____ ，当x _____ 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小.7. 抛物线y 3x2 bx c的顶点坐标为Q ,0），则b= ,c= ______3开口方向a顶点（b2a24ac b4a对称轴：xb 2a最值：当x开口方向a顶点（h,k）对称轴：x h最值：当x h时, 最大（小）值y k最大（小）值y 4ac b2 4a8. 函数y = x2—2x —l的最小值是_____ ;函数y= -x 2+4x的最大值是9. 已知抛物线y x2（a 2）x 9的顶点在坐标轴上，则a= . ____二次函数的对称性bx2aA(x1,0), B(x2,0)，则对称轴可表示为xx 轴相交于点A(x1, n), B(X2, n)12.抛物线y a(x 1)2 k(a 0)与x轴交于C(1,y3) 14.已知二次函数y上，则y1,y2,y3的大小关系是215.已知二次函数y ax bx c中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表:点A(x「yj, B(X2, y2)在函数的图象上，则当1捲2，3 x? 4时，y1与y的大小关系正确的是( ) Ay y2 By y2 Cy y? Dy y?三、二次函数的平移、旋转与对称21. 把抛物线y x向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式()2 2 2 2A. y (x 1) 3B.y (x 1) 3C.y (x 1) 3D.y (x 1) 32. 抛物线y 3(x 1)2 2经过平移得到抛物线y 3x2，平移的方法是A .向左平移1个单位，再向下平移2个单位B. 向右平移1个单位，再向下平移2个单位C .向左平移1个单位，再向上平移2个单位D .向右平移1个单位，再向上平移2个单位3. 在平面直角坐标系中，如果y 3x2的图象不动，而把坐标轴分别向上平移2个单位，向右平移3个单位，那么新坐标系中此抛物线的解析式为 _____________ .4. 将抛物线y 2x2 4x 6的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的解析式为_______________ . _____________5. 将抛物线y x2 bx c的图象向右平移2个单位再向下平移2个单位，所得图象的关系式为y x2 2x 3，贝y b= ,c= . _______6. 已知抛物线y 2x2 4x 5,(1) _________________________________________________ 将其绕着顶点旋转180°后抛物线关系式是___________________________________________________ . ____________(2) ________________________________________ 关于y轴对称的抛物线关系式是 ;(3) ________________________________________ 关于x轴对称的抛物线关系式是 ;二次函数y ax2 bx c(a 0):(1)此函数的对称轴为直线(2)若函数与x轴相交于点X1 X2 ；2 ；(3)若函数与10.抛物线y 2a(x 1) 2的一部分图象如图所示,侧部分与x轴交点坐标是11.如图，抛物线的对称轴是x=1，与x轴交于A(X i,O), B(3,0)两点，则线段AB的长13.已知二次函数y x2 2x c，若点A(x i, y i), B(x2，y2)在此函数的图象上，且A( 1, yj B( 2, y2),x2 ax c的对称轴是直线x 1，若点在此函数的图象A（4）关于原点对称的抛物线关系式是四、确定二次函数的表达式用待定系数法求二次函数的解析式：（1）一般式：y ax2 bx c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.2⑵顶点式：y ax h k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：y a x X i x X2 .已知图像与x轴的交点坐标捲、x?，通常选用交点式.6.已知抛物线y x2 bx c如图所示，求它对应的表达式1.顶点为（一1，—3），与y轴交点为（0，—5）2.与x 轴交于A （—1,0）、B（1,0），并经过点M （0,1）.3.图像经过点A（0，1）、B（1, 2）、C（2，1）.4.顶点坐标为（1,3）且在x轴上截得的线段长为4.五、二次函数的应用知识铺垫：最值问题（一）开口向上1. 当对称轴x —在所给范围内，必在顶点处取得最小值，在离对称轴较远端点2a处取得最大值；2. 当对称轴x b不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最大值，离对称2a轴较近端点处取得最小值.（二）开口向下1. 当对称轴x —在所给范围内，必在顶点处取得最大值，在离对称轴较远端点2a处取得最小值；2. 当对称轴x —不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最小值，离对称2a轴较近端点处取得最大值.30m5.图象经过点（1,0 ）、（0, -3 ），且对称轴是直线x=1.1.当2 x 2时，求函数y x2 2x 3的最大值和最小值.5. 用长为80 m 的栅栏，再借助外墙围城一个矩形羊圈 ABCD 已知房屋外墙长50 m 设矩形ABCD 勺边AB=x m 面积为s m 12.(1) 写出S 与x 之间的关系式，并指出x 的取值范围；(2) 当AB,BC 分别为多少米时，羊圈的面积最大？最大面积是多少？3. 当x 0时，求函数y x(2 x)的最大值和最小值.几何问题4. 在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD 其中AB 和AD 分别在两直角边上.(1) 如果设矩形的一边AB=x m,那么AD 边的长度如何表示？(2) 设矩形的面积为y m 2,当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？(3) 若将矩形改为图2所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少?1 按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；2 有一条船以5 km/h 的速度向此桥径直行来，当船距离此桥 35 km 时，桥下水 位正好在AB 处，之后水位每小时上涨 0.25 m ，当水位达到CD 处时，将禁止船只通 行•如果该船的速度不变，40m 2.当1 x 2时，求函数y x 2 x 1的最大值和最小值. 6.有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽 AB=20 m 当水位上升3 m 时，水面 宽 CD=10 m. C最大利润问题7. 某旅馆有客房120间，每间客房的日租金为160元，每天都客满，经市场调查，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间。

不考虑其他因素，旅馆将每天的日租金提高多少元时，客房日租金的总收入最高？8. 某人开始时，将进价为8元的某种商品按每件10元销售，每天可售出100件.他想采用提高最大售价的办法来增加利润•经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件.每件定价多少元时，才能使一天的利润最大？最大利润是多少？9. 某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出.（1）设每间包房收费提高x （元），则每间包房的收入为yi （元），但会减少y2 间包房租出，请分别写出屮、y2与x之间的函数关系式.（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x （元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y （元），请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少兀可获得最大包房费收入，并说明理由六、二次函数与一元二次方程二次函数y ax 2 bx c 的图象与x 轴交点的坐标和一元二次方程ax 2 bx c 0的 根的关系： 1. 当?>0时，抛物线与x 轴有两个交点，这两个交点的横坐标是方程 ax 2 bx c 0 的两个不相等的实数根；2. 当?=0时,抛物线与x 轴有一个交点，这个交点的横坐标是方程 ax 2 bx c 0的 两个相等的实数根，并且这一个交点即为抛物线的顶点；3. 当?<0时，抛物线与x 轴没有交点，这时方程ax 2 bx c 0没有实数根.4. 当？>0时，图象与x 轴有两个交点（x 1,0）,（x 2,0） % X 2），两点距离仪2为. 当a>0时，当x X i 或x X 2时，y 0 ;当捲x X 2时，y 0. 当 a<0 时，当 x x 1 或 x x 2 时，y 0 ;当 x 1 x x 2 时，y 0.X iX 16. 当？<0时，图象与x 轴没有交点. 当a>0时，图象落在x 轴的上方，x 为任何实数时，都有y>0;当a<0时，图象落在x 轴的下方，x 为任何实数时，都有y<0. 1. 抛物线y=x 2-2x-3与x 轴分别交于A B 两点，则AB 的长为 . 2. 抛物线y=x 2+bx+4与x 轴只有一个交点则b= . 3. 二次函数y=x-2（m+1）x+4m 的图象与x 轴（ ） A.没有交点 B.只有一个交点 C.只有两个交点 D.至少有一个交点 4. 二次函数y=kx 2- 7x — 7的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 ______ . _____ 5. 已知二次函数y ax 2 bx c 的y 与x 的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（ ） A .抛物线开口向上 B .抛物线与y 轴交于负半轴、 C .当x = 4时，y > 0 D .方程ax 2 bx c 0的正根在3与4之间 6. 抛物线y x 2 bx c 的部分图象如图所示，若y>0，则x 的 取值范围是（ ） X 15.当？=0时，图象与x 轴只有一个交点（冷0）.当a>0时，x 为任何实数时，函数值y 0 ；A. -4<x<1 B . -3<x<1 C . x<-4 或 x>1 D . x<-3 或 x>1 七、二次函数中a, b,c 的意义 5.二次函数y=ax 2 + bx + c 的图象如图所示，对称轴是直线 x=1.有以下结论：(1)abc>0; ⑵4ac<b 2; ⑶2a+b=0; (4)a-b+c>2.其中正确的结论的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定：(1) a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则 (2) b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式 a >0;否则 a v 0. x 一判断符号，左同右异. 2a(3) c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在 y 轴正半轴，则c > 0;否则c v 0；过原点，c=0.(4) (5) b 2-4ac 的符号由抛物线与点，b 2-4ac=0 ;没有交点,当x=1时，可确定 当x=2时，可确定 (6) 由对称轴公式xx 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac > 0； 1个交 2b -4ac v 0.a+b+c 的符号；当x= -1时，可确定 a-b+c 的符号； 4a+2b+c的符号，当x=-2时，可确定 4a-2b+c 的符号. b——与x=1和x= -1比较，可确定2a+b , 2a-b 的符号.2a26.如图所示，二次函数 y ax bx c(a 别为X 1, X 2，其中2X 10)的图象经过点(1,2)，且与x 轴交点的横坐标分 1 , 0 X 21，下列结论中正确的有(1.已知二次函数y=ax 2+bx+c (a M D )的图象如图所示，给出以下结论：①a+b+c v 0；②a - b+c v 0；③b+2a v 0；④abc >0.其中所有正确结论的序 ) B.②③ P.曰 ( 号是 ( A.③④ C.①④D.①②③A. 1个7.如图，二次函数11T\1① 4a 2b c 0 :② 2a b 0 :③ a 1 :④ b 2 8a 4ac .B . 2个C. 3个D. 4个y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐 )2.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论： ①a v 0；②c > 0；③b 2 - 4ac > 0;④ _ v 0中，正确的结论有(1 2标为(，1)，下列结论：① ac v 0;②a+b=0；③4ac-b =4a :④2a+b+c v 0 .其中正确结论个数是( ) A.1 B.2 C.3D.48.已知：二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论中：① b >0:②c<0 :③4a+2b+c > 0 ;@( a+c ) 2v b 2,其中正确的个数是A. 1B. 2C. 3D. 43.如图，二次函数 y=x 2+ (2 - m ) x+m - 3的图象交y 轴于负半轴，对称轴在 的右侧，贝U m 的取值范围是( ) A. m >2 B. m v 3 C. m > 3 D. 2 v m v 3 . . 2 . .4.如图为二次函数 y=ax + bx + c 的图象，在下列说法中正确的说法有C.2 个D.1 个29.已知抛物线y=ax +bx 和直线y=ax+b 在同一坐 标系内的图象如图，其中 正确的是()2 ①ac v 0； ②方程 ax + bx + c=0 的根是 禺=—1, X 2= 3③a + b + c >0④当x > 1时，y 随x 的增大而增大A B C D10.如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，给出下列说法：①ab v 0；2②方程ax +bx+c=0的根为x仁-1, x2=3;③a+b+c>0;④当x v 1时,y随x值的增大而增大；⑤当y>0时，x v - 1或x>3.其中，正确的说法有( )A.①②⑤B.①②④ C.①③⑤ D.②④⑤八、二次函数与几何图形(一)二次函数与三角形类型一：三角形的某一条边在坐标轴上或与坐标轴平行这类题目的做题步骤：1.求出二次函数的解析式；2.求出相关点的坐标；3.求出相关线段的长；4.选择合适方法求出图形的面积。