因式分解——十字相乘法（1）【教学目标】1.能较熟练地用十字相乘法把形如2x px q ++的二次三项式分解因式；2.过课堂交流，锻炼学生数学语言的表达能力；3.培养学生的观察能力和从特殊到一般、从具体到抽象的思维品质．【教学重点】能较熟练地用十字相乘法把形如2x px q ++ 的二次三项式分解因式． 【教学难点】把2x px q ++分解因式时，准确地找出a b 、，使;a b q a b p ⋅=+= 【教学过程】 一、复习导入 1．口答计算结果：(1) (2)(1)x x ++ (2) (2)(1)x x +- (3) (2)(1)x x -+ (4) (2)(1)x x -- (5) (2)(3)x x ++ (6) (2)(3)x x -- (7) (2)(3)x x -+ (8) (2)(3)x x -- 2．问题：你是用什么方法将这类题目做得又快又准确的呢?[在多项式的乘法中,有十字相乘公式2()()()x a x b x a b x ab ++=+++]二、探索新知 1．观察与发现:等式的左边是两个一次二项式相乘,右边是二次三项式,这个过程将积的形式转化成和差形式,进行的是乘法计算．反过来可得 2()()()x a b x ab x a x b +++=++等式的左边是二次三项式,右边是两个一次二项式相乘,这个过程将和差的形式转化成积的形式,进行的是因式分解． 2．体会与尝试：①试一试 因式分解: 243x x ++；223x x --将二次三项式243x x ++因式分解，就需要将二次项2x 分解为x x ∙，常数项3分解为3×1，而且3 + 1= 4，恰好等于一次项系数,所以用十字交叉线表示:243(3)(1)x x x x ++=++.3x + x =4x②定义：利用十字交叉线来分解系数,把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法． ③拆一拆 将下列各数表示成两个整数的积的形式（尽所有可能）： 6= ； 12= ； 24= ； -6= ； -12= ； -24= . ④练一练 将下列各式用十字相乘法进行因式分解：(1) 276x x -+； (2) 256x x -- ； (3) 2812x x ++； (4) 21112x x --； (5) 21024x x ++； (6) 2524x x --；3．思考与归纳：要将二次三项式2x px q ++因式分解，就需要找到两个数a b 、，使它们的积等于常数项q ，和等于一次项系数p , 满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即22()()()x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++用十字交叉线表示:ax + bx =()a b x +由于把2x px q ++中的q 分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行因式分解． 三、课堂练习：（1）分解因式：①562++x x ②862++y y ③1682+-x x ④21102+-a a⑤1452-+x x ⑥542-+t t ⑦14132--x x ⑧6322--x x（2）先填空,再分解（尽可能多的）：2x ( ) x + 60 = ； 5.讨论：22()()()x px q x a b x ab x a x b ++=+++=++中的符号规律． 四、课堂小结对二次三项式2x px q ++进行因式分解，应重点掌握以下三个方面：x x3+1+x x a b1．掌握方法: 拆分常数项,验证一次项.2．符号规律: 当0q >时，a b 、同号，且a b 、的符号与p 的符号相同；当0q <时，a b 、异号，且绝对值较大的因数与p 的符号相同.3．书写格式:竖分横积五、作业布置1.用十字相乘法将下列二次三项式进行因式分解：（1）232++x x （2）232+-x x （3）322-+x x （4）322--x x（5） 652++x x （6）652+-x x （7）652-+x x （8）652--x x（9） 22-+x x （10）1242--x x （11） 6322-+x x （12）1582+-x x（13） 32122++x x （14）9102++x x （15）1032--x x （16）1522--x x2.思考：将2(23)6(23)5x x -+-+进行因式分解．因式分解——十字相乘法（2）【教学目标】1、能较熟练地用十字相乘法把二次项系数不为1的二次三项式分解因式；2、通过问题研究，培养学生整体代换等数学思想；3、通过问题设计，培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力.【教学重点】能较熟练地用十字相乘法把二次项系数不为1的二次三项式分解因式.【教学难点】灵活运用十字相乘法分解因式.【教学过程】一、复习导入1.因式分解：（1）256-+（4）212x xx x--x x++（2）2224x x+-（3）268问题：复习回顾十字相乘法的一般步骤？2.因式分解2x x--26问题：对于二次项系数不为1的二次三项式，你是否能够分解因式呢？二、探索新知例1. 分解因式2x x--26分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘求代数和，使其等于一次项系数.-1x22x3=-4x-+3x x2--=-+26(2)(23)x x x x2++（1ax bx ca≠）的二次三项式分解因式注意事项二次项系数a一般都把它看作是正数(如果是负数，则应提出负号，利用恒等变形把它转化为正数，)只需把它分解成两个正的因数.练一练 将下列各式用十字相乘法进行因式分解（1）2568x x +- （2）2675x x -- （3）2276x x ++ （4）231110x x -+ 变式训练 将下列多项式因式分解 （1）2271615x xy y +-分析:把2271615x xy y +-看成是x 的二次三项式，这里的常数项是215y -1x 3y 7x 5y -21xy + 516xy xy -=2271615x xy y +-(3)(75)x y x y =+-（2）24()5()6x y x y +-+-分析：把()x y +看做整体z ，利用换元法得到2456z z --2456z z --(2)(43)z z =-+即：24()5()6x y x y +-+-(2)(443)x y x y =+-++ 三、课堂练习1.将下列多项式因式分解（1）22512x x -- （2）2352x x -- （3）242427x x ++ （4）212133x x -+ 2.将下列多项式因式分解（1）226136x xy y -+ （2）228635x y xy +-（3）2218215x xy y -+ （4）222()()()6()a b a b a b a b +++--- 四、课堂小结1.二次项系数不为1的二次三项式因式分解解法及注意事项2.因式分解中渗透整体考虑思想五、布置作业1. 将下列多项式因式分解（1）22-+x x （2）652--x x （3）2532+-x x（4）3762+-x x （5）2522++x x （6）3722+-x x2. 将下列多项式因式分解（1）422416654y y x x +- （2）633687b b a a --（3）2(23)6(23)5x x -+-+（4）120)8(22)8(222++++x x x x十字相乘法分解因式（1）多项式c bx ax ++2，称为字母 的二次三项式，其中 称为二次项， 为一次项， 为常数项．例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．（2）在多项式2286y xy x +-中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式．（3）在多项式37222+-ab b a 中，把 看作一个整体，即 ，就是关于 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式．(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同.注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例1 把下列各式分解因式：(1)1522--x x ； (2)2265y xy x +-．例2 把下列各式分解因式：(1)3522--x x ； (2)3832-+x x ．例3 把下列各式分解因式：(1)91024+-x x ； (2))(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；(3)120)8(22)8(222++++a a a a ．例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ．例5 分解因式653856234++-+x x x x ．例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．例8、已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．(1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ (3) 2576x x +- (4) 261110y y --(5) 2252310a b ab +- (6) 222231710a b abxy x y -+ (7) 22712x xy y -+(8) 42718x x +- (9) 22483m mn n ++ (10) 53251520x x y xy --一、选择题1．如果))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( )A ．abB ．a ＋bC ．－abD ．－(a ＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( ) A ．5 B ．－6 C ．－5 D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为 ( )A ．10和－2B ．－10和2C ．10和2D ．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是 ( )A ．22-+x xB ．x x x 310322+-C ．242++x xD ．22865y xy x --5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( )A ．20)(13)(22++-+y x y xB ．20)(13)22(2++-+y x y xC ．20)(13)(22++++y x y xD ．20)(9)(22++-+y x y x6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有 ( )①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ；④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x xA ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题7．=-+1032x x __________．8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________，b ＝__________．9．=--3522x x (x －3)(__________)．10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)．11．22____)(____(_____)+=++a mn a ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)．13．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________． 三、解答题14．把下列各式分解因式：(1)6724+-x x ； (2)36524--x x ； (3)422416654y y x x +-；(4)633687b b a a --； (5)234456a a a --； (6)422469374b a b a a +-．15．把下列各式分解因式：(1)2224)3(x x --； (2)9)2(22--x x ；(3)2222)332()123(++-++x x x x ； (4)60)(17)(222++-+x x x x ；(5)8)2(7)2(222-+-+x x x x ； (6)48)2(14)2(2++-+b a b a ．16．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，2633=+y x ，求a 的值．。