平面向量题型归纳一．向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】1．向量的概念：既有大小又有方向的量，记作：AB 或a 。
注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
例：已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。
3．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； 4．单位向量：单位向量：长度为1的向量。
若e 是单位向量，则||1e =。
(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；5．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 6．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； 如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是 （ ）A.AB CD =B.AB AD BD -=C.AD AB AC +=D.AD BC +=07．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a 的相反向量是－a 、AB BA =-。
例：下列命题：（1）若a b =，则a b =。
（2）若,a b b c ==，则a c =。
（6）若//,//a b b c ，则//a c 。
（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。
其中正确的是_______题型1、基本概念 1：给出下列命题：①若|a |＝|b |，则a =b ；②向量可以比较大小；③方向不相同的两个向量一定不平行； ④若a =b ，b =c ，则a =c ；⑤若a //b ，b //c ，则a //c ；⑥00a ⋅=；⑦00a ⋅=； 其中正确的序号是 。
2、基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。
（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。
（5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。
（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。
（7）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。
（8）若ma mb =，则a b =。
（9）若ma na =，则m n =。
（10）若a 与b 不共线，则a 与b 都不是零向量。
（11）若||||a b a b ⋅=⋅，则//a b 。
（12）若||||a b a b +=-，则a b ⊥。
二、向量加减运算 8.三角形法则：AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数）9.平行四边形法则：以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。
题型2.向量的加减运算1、化简()()AB MB BO BC OM ++++= 。
2、已知||5OA =,||3OB =,则||AB 的最大值和最小值分别为 、 。
3、在平行四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-，则必有 ( ) A. 0AD = B. 00AB AD ==或 C. ABCD 是矩形 D. ABCD 是正方形 题型3.向量的数乘运算1、计算：（1）3()2()a b a b +-+= （2）2(253)3(232)a b c a b c +---+-=题型4.作图法求向量的和1、已知向量,a b ，如下图，请做出向量132a b +和322a b -。
a b题型5.根据图形由已知向量求未知向量1、已知在ABC ∆中，D 是BC 的中点，请用向量AB AC ，表示AD 。
2、在平行四边形ABCD 中，已知,AC a BD b ==，求AB AD 和。
题型6.向量的坐标运算1、已知(1,4),(3,8)a b =-=-，则132a b -= 。
练习：若物体受三个力1(1,2)F =,2(2,3)F =-,3(1,4)F =--,则合力的坐标为 。
2、已知(3,5)PQ =--，(3,7)P ，则点Q 的坐标是 。
3、.已知(3,4)a =-，(5,2)b =，求a b +，a b -，32a b -。
2、已知(1,2),(3,2)A B ,向量(2,32)a x x y =+--与AB 相等，求,x y 的值。
5、已知O 是坐标原点，(2,1),(4,8)A B --，且30AB BC +=，求OC 的坐标。
三．平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。
基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
题型7.判断两个向量能否作为一组基底1、已知12,e e 是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底： A.1212e e e e +-和 B.1221326e e e e --和4 C.122133e e e e +-和 D.221e e e -和 练习：下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） (A))2,1(),0,0(21-==e e(B))7,5(),2,1(21=-=e e(C))10,6(),5,3(21==e e(D))43,21(),3,2(21-=-= 2、.已知(3,4)a =，能与a 构成基底的是（ ） A.34(,)55 B.43(,)55 C.34(,)55-- D.4(1,)3--3、知向量e 1、e 2不共线，实数(3x -4y )e 1＋(2x -3y )e 2 =6e 1+3e 2 ,则x －y 的值等于4、设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e e e e k e -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.5、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C (x , y )满足OC =αOA +βOB ，其中α,β∈R 且α+β=1，则x , y 所满足的关系式为 （ ） A ．3x +2y -11=0 B ．(x -1)2+(y -2)2=5 C ．2x -y =0 D ．x +2y -5=0 四．平面向量的数量积：1．两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作,OA a OB b ==，AOB θ∠=()0θπ≤≤称为向量，的夹角，当θ＝0时，，同向，当θ＝π时，，反向，当θ＝2π时，a ，b 垂直。
实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=当λ>0时，λ的方向与的方向相同，当λ<0时，λ的方向与的方向相反，当λ＝0时，0a λ=，注意：λa ≠0。
例1、已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表示为_____例2、已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→−=DB CD 2，−→−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则sr +的值是2．平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a •b ，即a •b ＝cos a b θ。
规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。
3．向量的运算律：1．交换律：a b b a +=+，()()a a λμλμ=，a b b a •=•；2．结合律：()(),a b c a b c a b c a b c ++=++--=-+，()()()a b a b a b λλλ•=•=•； 3．分配律：()(),a a a a b a b λμλμλλλ+=++=+，()a b c a c b c +•=•+•。
题型8：有关向量数量积的判断 1：判断下列各命题正确与否：（1）)()(c b a c b a ++=++；（2）若a b a c ⋅=⋅，则b c ≠当且仅当0a =时成立； （3）c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+)(；（4）()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅对任意,,a b c 向量都成立；（5）若0,a a b a c ≠⋅=⋅，则b c =；（6）对任意向量a ，有22a a =。
(7)m （b a +）=m a +m b 其中正确的序号是 。
2、下列命题中：① →→→→→→→⋅-⋅=-⋅c a b a c b a )(；② →→→→→→⋅⋅=⋅⋅c b a c b a )()(；③2()a b →→-2||a →=22||||||a b b →→→-⋅+；④ 若0=⋅→→b a ，则0=→a 或0=→b ；⑤若,a bc b ⋅=⋅则a c =；⑥22a a =；⑦2a b b aa⋅=；⑧222()a b a b ⋅=⋅；⑨222()2a b a a b b -=-⋅+。
其中正确的是______题型9、求单位向量 【与a 平行的单位向量：||ae a =±】 1.与(12,5)a =平行的单位向量是 。
2.与1(1,)2m =-平行的单位向量是 题型10、数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ⋅=⋅； cos ||||a ba b θ⋅=⋅向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+1、△ABC 中，3||=−→−AB ，4||=−→−AC ，5||=−→−BC ，则=⋅BC AB _________2、已知11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=-，c 与d 的夹角为4π，则k 等于____ 3、已知||3,||4a b ==，且a 与b 的夹角为60，求（1）a b ⋅，（2）()a a b ⋅+，（3）1()2a b b -⋅，（4）(2)(3)a b a b -⋅+。
4、已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与a a b +的夹角为____5、已知(3,1),(23,2)a b ==-，求a 与b 的夹角。