导数的应用（一）单调性与极值
一. 教学内容：
导数的应用（一）单调性与极值
1. 函数的单调性
一般地，设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数，如果在某个区间内恒有0)(='x f ，则)(x f 为常数。

2. 函数的极值
一般地，设函数)(x f 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，就称)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作极大值y )(0x f =；如果对0x 附近的所有的点，都有)()(0x f x f >就称)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作)(0x f y =极小值。

极大值和极小值统称为极值。

判别)(0x f 是极大（小）值的方法是：
（1）如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，那么)(0x f 是极大值；
（2）如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧)(x f '0>，那么)(0x f 是极小值。

导数为0的点不一定是极值点，例如函数3)(x x f =，0=x 处的导数是0，但非极值点。

求可导函数)(x f 的极值的步骤如下：
（1）求导数)(x f '
（2）求出方程0)(='x f 的根
（3）检查0)(='x f 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么)(x f 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么)(x f 在这个根处取得极小值，如果左右符号相同，那么这个根不是极值点。

【典型例题】
[例1] 确定函数762)(23+-=x x x f 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数？
解：x x x f 126)(2
-='
令01262>-x x ，解得2>x 或0<x
令01262<-x x ，解得20<<x 故函数)(x f 在)0,(-∞∈x 和),2(∞+∈x 为增函数，在)2,0(∈x 为减函数
[例2] 研究函数
ax x x f +=3)(的单调性。

解：a x x f +='2
3)(
当0>a 时，0)(>≥'a x f ，则函数)(x f 在（∞-，∞+）上是增函数
当0=a 时，3)(x x f =，则)(x f 在（∞-，∞+）上是增函数 当0<a 时，)3)(3(3)(a x a x x f ---+='，则)(x f 在（∞-，3a --）和（3a -，∞+）上是增函数，在（
3a --，3a -）上是减函数。

[例3] 已知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞+∈+∈-+-=),21(,)1(21)21,0(,)1(2)(32x x x x x x x x f 的单调区间。

解：
（1）当
)21,0(∈x 时，)321(2)(2x x x f -+-=' 即0]32)31(3[2)(2<+--='x x f ，故)(x f 在（0，21）为减函数
（2）当),21(∞+∈x 时，
)1(21)(x x x f += )11(21)(2x x f -='
由⎪⎩⎪⎨⎧><'210)(x x f 解得121<<x 由⎪⎩⎪⎨⎧>>'210)(x x f 解得1>x
故函数)(x f 在（21
，1）是减函数，在（1，∞+）上是增函数。

其图象如下
[例4] 已知
433)(23+--=ax x x x f （其中a 为常数）试求： （1）)(x f 的极大值；
（2）若)(x f 的极大值为5，求a 的值；
（3）曲线)(x f y =过原点的切线的方程。

解：
（1）a x x x f 363)(2
--='，对一元二次函数0)(='x f ，它的判别式)1(36+=∆a
一元三次函数433)(23+--=ax x x x f 有极值的充要条件是0)(='x f 有两相异实根，即0>∆，1->a 。

当1->a 时，设0)(='x f 的两根1x ，2x
111+-=a x ，112++=a x ，))(()(21x x x x x f --='
此函数)(x f 当111+-==a x x 时取极大值
极大值为4)11(3)11(3)11()(2
31++--+--+-=a a a a x f
231)1(2+-++=a a a
（2）令5)(1=x f 得5231)1(2=+-++a a a )1(31)1(2+=++a a a
491=+a 45=a 故当45=a 时，)(x f 取极大值5
（3）设切点P （0x ，43302030+--ax x x ），曲线过P 点的切线斜率为
)2(3020a x x k --=
切线方程为：
433))(2(3020300020+--+---=ax x x x x a x x y 由切线过原点O （0，0），故
0433)2(3020300200=+--+---ax x x a x x x
04322030=--x x
0)22)(2(0200=++-x x x 20=x
把20=x 代入切线方程，得切线方程为ax y 3-=
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
一. 选择题：
1. 设0x 为)(x f 的极值点，则（ ）
A. )(0x f '
B.)(0x f '不存在
C. 0)(0='x f 或不存在
D. )(0x f '存在但可能不为0
2. 下列命题正确的是（ ）
A. 极大值比极小值大
B. 极小值不一定比极大值小
3. 三次函数)(x f 当1=x 时有极大值4，当3=x 时有极小值0，且函数过原点，则该函数是（ ）
A. x x x y 9623++=
B. x x x y 9623+-=
C. x x x y 9623--=
D. x x x y 962
3-+=
二. 填空题： 4. 函数
)0(3)(23>+-=a a x a x x f 的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是 。

5. 若函数x x y 33-=与a y =的图象有3个交点，则a 的范围是 。

【试题答案】
一. 1. C 2. B 3. B
提示：设cx bx ax x f ++=2
3)(， 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=='=='03927062740230)3(0)3(4)1(0)1(c b a c b a c b a c b a f f f f ⎪⎩⎪⎨⎧=-==⇒961c b a
二. 4.（22
，∞+）
提示：))((3)(a x a c x f -+=' )()(a f x f =极小，)(a f f -=极大
220
)(0)(>⇒⎩⎨⎧<>-a a f a f 5.（2-，2）
提示：2)1(-==f y 极小 2)1(=-=f y 极大 故22<<-a。