二轮复习导数 （一） 2015. 02. 07一、 运用导数研究函数的单调性 单调区间：（1） 求单调区间 （2）已知单调区间 （3）在某区间上不单调 运用导数求函数单调区间的思维流程图：答题步骤： 第一步：求定义域； 第二步：求)(x 'f ；第三步：令)(x 'f ＝０，求相应的导函数零点值；（是一次型还是二次型？是否有解？有几个解） 第四步：列表分析函数的单调性，（列表实际上就是画数轴，也可以认为是穿根解不等式，首先要做的是比较根的大小以及根于定义域边界的大小） 第五步：由表格写结论。

例1：（2012西城一模）已知函数()e (1)ax af x a x=⋅++，其中1-≥a . 求)(x f 的单调区间.解：2(1)[(1)1]()eaxx a x f x a x++-'=，0x ≠．……………6分 ①当1-=a 时，令()0f x '=，解得1x =-．)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-；单调递增区间为(1,0)-，(0,)+∞．……8分当1a ≠-时，令()0f x '=，解得1x =-，或11x a =+． ②当01<<-a 时，)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+； 单调递增区间为(1,0)-，1(0,)1a +．………10分 ③当0=a 时，()f x 为常值函数，不存在单调区间．…………11分 ④当0a >时，)(x f 的单调递减区间为(1,0)-，1(0,)1a +； 单调递增区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+．…………13分1）分类讨论的特点：二次项系数不确定 ，一元二次方程根的大小确定 。

例2：（2012-2013朝阳第一学期期末）已知函数1()()2ln ()f x a x x a x=--∈R ．求函数()f x 的单调区间.解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞．222122()(1)ax x af x a x x x -+'=+-=（1）当0a ≤时，2()20h x ax x a =-+<在(0,)+∞上恒成立，则()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递减．……………4分 （2）当0a >时，244a ∆=-， （ⅰ）若01a <<，由()0f x '>，即()0h x >，得x <或x >；………………5分由()0f x '<，即()0h x <x <<6分所以函数()f x 的单调递增区间为1(0,)a 和1()a +∞，单调递减区间为11(a a．……7分 （ⅱ）若1a ≥，()0h x ≥在(0,)+∞上恒成立，则()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递增．……8分2）分类讨论的特点：二次项系数不确定 ，一元二次方程解的个数不确定 。

例3：2011年海淀期末已知函数1()ln(1)1af x x ax x -=+-++ (12a ≥). 求函数()f x 的单调区间.解：2211(21)()1(1)(1)a x ax a f x a x x x --+-'=--=+++，1x >-， .......................................2分 令()0f x '=，得到1212,0x x a =-= ， 由12a ≥可知120a-≤ ，即10x ≤....................5分 ① 即12a =时，12120x x a =-==.所以,2'2()0,(1,)2(1)x f x x x =-≤∈-+∞+，............6分 故()f x 的单调递减区间为(1,)-+∞ . ................................7分 ② 当112a <<时，1120a-<-<，即1210x x -<<=， 所以，在区间1(1,2)a --和(0,)+∞上，'()0f x <；........8分在区间1(2,0)a -上，'()0f x >..........9分故 ()f x 的单调递减区间是1(1,2)a--和(0,)+∞，单调递增区间是1(2,0)a -. .........10分③当1a ≥时，1121x a=-≤-，所以，在区间(1,0)-上()0f x '>； ................................11分在区间(0,)+∞上()0f x '< ， ...............................12分故()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞. ............................13分 综上讨论可得：当12a =时，函数()f x 的单调递减区间是(1,)-+∞； 当112a <<时，函数()f x 的单调递减区间是1(1,2)a--和(0,)+∞，单调递增区间是1(2,0)a -；当1a ≥时，函数()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞.3）分类讨论的特点：二次函数的开口已确定 ，两个根大小不确定 （相等和小于两种情况），一根是否在目标区域不确定 ，需要讨论。

例4：已知函数2()ln(1)(0)2k f x x x x k =+-+≥.求()f x 的单调区间. 对于导函数'(1)()1x kx k f x x+-=+符号的讨论.由于10x +>是函数定义域的要求，可以将对'(1)()1x kx k f x x+-=+符号的讨论进一步化简为只需讨论()(1)g x x kx k =+-的符号了.而已知条件限定了0k ≥，从而决定了函数的类型是一次函数或二次函数，也就决定了分类讨论标准分为两大类：0k =和0k >.当0k >时，二次函数的讨论涉及零点10x =和21kx k-=大小的比较，还需分01,1,0k k k <<=>三种情况. 解：(1)'()1x kx k f x x +-=+，(1,)x ∈-+∞. 当0k =时，'()1xf x x=-+.所以，在区间(1,0)-上，'()0f x >；在区间(0,)+∞上，'()0f x <. 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞.当01k <<时，由(1)'()01x kx k f x x+-==+，得10x =，210kx k -=>所以，在区间(1,0)-和1(,)kk-+∞上，'()0f x >；在区间1(0,)k k -上，'()0f x < 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-和1(,)kk-+∞，单调递减区间是1(0,)k k -. 当1k =时，2'()1x f x x=+.故()f x 得单调递增区间是(1,)-+∞.当1k >时，(1)'()01x kx k f x x +-==+，得11(1,0)kx k-=∈-，20x =.所以,在区间1(1,)kk--和(0,)+∞上，'()0f x >；在区间1(,0)k k -上，'()0f x <. 故()f x 得单调递增区间是1(1,)kk--和(0,)+∞，单调递减区间是1(,0)k k - 综上讨论可得： 略 4）分类讨论的特点：二次项系数不确定 ，二次方程的两根大小不确定，需要讨论。

例5：(2011年) 已知函数2()()e .xkf x x k =-（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有1()ef x ≤，求k 的取值范围.解：（Ⅰ）221()()e .xk f x x k k'=-令()00f '=，得x k =±. 当k >0时，()()f x f x '与的情况如下：. 当k <0时，()()f x f x '与的情况如下：,k -∞-. （Ⅱ）当k >0时，因为111(1)ee kf k ++=>，所以不会有1(0,),().ex f x ∀∈+∞≤ 当k <0时，由（Ⅰ）知()f x 在（0，+∞）上的最大值是24().ek f k -=所以1(0,),()e x f x ∀∈+∞≤等价于241().e e k f k -=≤ 解得102k -<≤.故当1(0,),()e x f x ∀∈+∞≤时，k 的取值范围是1[,0).2-5）分类讨论的特点：二次项系数不确定 ，二次方程的两根大小不确定，需要讨论。

当讨论二次项系数的符号时，就可进一步确定两个根的大小关系 。

二、已知含参函数在区间上的单调或不单调或存在单调区间，求参数的取值范围.练习：1.已知函数()(2)f x x bx b b R =++∈， 若()f x 在区间1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭0上单调递增，求b 的取值范围.2. 已知函数2()(2) =-ax f x ax x e ，a 为常数，且 (0)≥a 在区间)2上单调递减，求a 的取值范围.3. 已知函数() (0)=≠kx f x xe k ，在区间()1,1-上单调递增，求k 的取值范围.4. 已知函数21()2ln 2=-+f x x ax x 在(0，＋∞)上不单调，求实数a 的取值范围 。

5. 设函数2()ln ()=+-f x x x a ， ()∈a R 若函数()f x 在[1，2]上存在单调递增区间，求实数a 的取值范围.例6：已知函数ax x x f -+=21)(（0＜a ＜1），求证()f x 在[0，＋∞)上不单调。

三、函数的极值点.1.（2013年湖北）已知a 为常数,函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <,则（ ） A.121()0,()2f x f x >>- B ．121()0,()2f x f x <<- C ．121()0,()2f x f x ><- D ．121()0,()2f x f x <>-2.（2010北京文科）设函数()323a f x x bx cx d =+++，()0a >，且方程()'90f x x -=的两个根分别为1,4. 若()f x 在(),-∞+∞内无极值点，求a 的取值范围.3.设函数()()21f x x aIn x =++有两个极值点，且12x x <(1)求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性； （II ）证明：()21224In f x ->4. [2014·山东卷] 设函数f (x )＝e x x 2－k ⎝⎛⎭⎫2x ＋ln x (k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在(0，2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．5.[2014·四川卷] 已知函数f(x)＝e x－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a的取值范围．6.[2014·湖南卷] 已知常数a＞0，函数f(x)＝ln(1＋ax)－2x x＋2.(1)讨论f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，且f(x1)＋f(x2)＞0，求a的取值范围．。