5
上,
2
2 Dyz
ds 1 x y xz dydz dydz
'2 '2
1 1 2
( x y )ds
2 2 2 ( x y )ds
y dydz dz y dy
0 0
1 3
3
6
1 1 2 (1 y )dydz dz (1 y 2 )dy 4 . Dyz 0 0
2 2
cos
2
2x 4x 4 y 1
2
, cos
2
2y 4x 4 y 1
2
, cos
2
1 4x 4 y 1
2
.
I

2 xP 2 yQ R 1 4x 4 y
2 2

ds.
5.计算曲面积分
其中f (x,y,z)为连续函数, 是平面x-y+z=1在第四卦限 部分的上侧.
( x y )ds
2 2
2 3

2 3

1 3

4 3

1 3

4 3
(2) 锥面 解: 依题意画图.
( x y )ds
2 2

( x y ) 5dxdy Dxy
2 2
5
2
0
d r rdr
2 0
2

5 2
1 4
r |0 8 5 .
2
2
dxdy
0
d
1
r
rdr 2 e |1 2 (e e).
2

e
2
z
2
x y
2
2
dxdy

e x y
2 2
Dxy
dxdy

2
0
d
e r
rdr 2 e.
1
3 : x y 4 在xoy面的投影为圆周, 投影的面积为零,
2 2 2
取下侧.

1
3dxdydz 0

3

dxdydz 3
2 3
R 2 R 3 .
3
(多简单!)
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3. 计算曲面积分
2 2
e
2
z
x y
dxdy, 其中为由z 2
x y ,
2 2
x y 4及z 1 所围立体的边界曲面的外侧.
1 2
Dyz 2 2 2 R y z dydz D R y z dydz
2 2 2
yz

3 2 1 2 3 2 2 2 R 2 2 2 ( ) ( R r ) |0 R 2 d R r rdr 0 0 3 2 3 2 3 ydzdx R .为计算 zdxdy, 类似可得: 3
3.设是长方体 的外侧,则
的整个表面
2 2 2 abc(a b c) x dydz y dzdx z dxdy ____________ .
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解: 依题意画图.由高斯公式可得: 原式=
2 dx dy ( x y z) dz
被题设圆周Γ所围部分的上侧,
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总习题十一 一.填空题 1.设L是圆: x 2 y 2 a 2 逆时针一周,则 解: 原式即为:
1 a
2
xdy ydx x y
2 2
2 _____ .
L
1 a
2

xdy ydx
2
L
利用格林公式有:
2 .

2dxdy
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的部分.
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(1)计算 ① 解: 依题意画图. ①
其中
②
②
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(2)求均质(μ=1)的薄壳的重心 解: 由于对称性 由①知


zds
2 Dxy
[2 ( x y )] 1 4x 4 y dxdy
2 2 2 2 2
Dxy

'2 '2
1 1
( x y )ds
2
Dxz
x dxdz dz
2
0
x dx
2 1 1
1 3
2
0

4
( x y )ds
2 2
Dxz
( x 1)dxdz dz ( x 1)dx
2
0 0
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4 3
.
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在平面

(2 r ) 1 4r rdrd 2
1 8

2
0
d
2
1 4r d (1 4r )
2 2
0
2 1 1 2 2 2 2 d (1 4r 1) 1 4r d (1 4r ) 0 8 4 0 5 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 4r ) |0 (1 4r ) 2 |0 (1 4r ) |0 16 5 16 3 2 3

R
将表示为:
z
2
R x y , 取上侧.
2 2 2


zdxdy
3

2 3
Dxy
R x y dxdy
2 2
2
0
d
R
R r rdr
2 2
2 3
R
3
0
原式=
3 R 2 R .
3
解法二:(高斯公式) 补一平面: 原式=
1
1 : z 0( x y R )
原式=
Dxy
z
1
o x
1y
( x y )dxdy
2 2
2
0
d r rdr 2
2 0
1
1 4
r |0
4 1


2
.
2.计算曲面积分 xdydz ydzdx zdxdy 其中为部分 曲面 x y z R ( z 0) 的上侧.
2 2 2 2
a
o
a
a
y

2 3 2 ( cos ) |0
1 5
r |0
5 a
x

6 5
a
5
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2. 计算曲面积分 其中为曲线
ze
x0
y
(0 y a )绕
z 轴旋转而成的曲面的下侧.
a
解: 依题意画图.补一平面 1 : z e
原式=

( x y a ) 取其上侧.
L
y
1
( x y )ds ds
L
x y 1
2
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o
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x
1
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4
7.设:
3 x y z R , 则 z ds _____ .
2 2 2 2
2
R
4
解: 由于对称性 z 2 ds x2 ds y2 ds.
2 a
D
a 2 . 2
2
应填
2.设:
x y z a ,则
2 2 2
2 2 2


( x y z ) ds ______ .
2

解: 原式=
2 2 2 ( x y z 2 xy 2 xz 2 yz )ds ( x y z )ds
第十一章
第十一章曲线积分与曲面积分
习题答案(二)(48)
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11.4对面积的曲面积分 1.计算曲面积分 ( x y )ds,其中为: (1)平面 x 0, y 0, z 0, x 1, y 1, z 1 所围立体的表面. z 解: 依题意画图. 1 在平面z = 0 ,z =1上, ds 1 z z dxdy dxdy
重心为
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5.设半径为R的球面上, 每点的面密度为该点到球面 的某一直径的距离, 求此球面的质量M. 解: 依题意画图. 曲面的方程为: 该曲面的面密度为:
z

由于对称性
(利用极坐标)
o
y
令
x
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11.5对坐标的曲面积分 1.计算曲面积分 I zdxdy, 其中是部分曲面 2 2 z x y ( z 1)的上侧. 解: 依题意画图.
2

e
2
z
3
dxdy 0.
2
x y

e
2
z
dxdy 2 (e 2e).
2 2
x y
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4.把对坐标的曲面积分
化为对面积的曲面积分,其中 解: 令 则有 n ( F , F , F ) (2 x, 2 y,1).
x y z
取上侧.
F x, y, z x y z 8