（当且仅当a b 时取“”号）.
证明： a ，b R，由基本不等式1得：
( a )2 ( b)2 2 a b ，
a b 2 ab ， 即 a b ab .
2 当且仅当a b 时取“”号 .
基本不等式2：如果 a ，b R ，那么 a b ab 2
（当且仅当a b 时取“”号）.
基本不等式1：
一般地，对于任意实数a、b，我们有 a2 b2 2ab
当且仅当 a=b 时，等号成立.
特别地，如果a>0，b>0，我们有 a b 2 ab.
基本不等式2：
一般地，对于任意正实数a、b，我们有 a b ab 2
当且仅当 a=b 时，等号成立.
基本不等式2：如果 a ，b R ，那么 a b ab 2
基本不等式1：如果 a ，b R，那么 a2 b2 2ab （当且仅当a b 时取“”号）.
证明： a2 b2 2ab (a b)2 当 a b 时，(a b)2 0， 当 a b 时，(a b)2 0，
（比较法）
(a b)2 0，
即 a2 b2 2ab 当且仅当a b 时取“”号 .
SWABCD 4SVABE SWEFGH
②设直角三角形的两条直角边长为a,b，那么正方形的 边长为____a_2___b_2___. 这样,4个直角三角形的面积的和 是____2_a_b_____,正方形的面积为__a__2 __b_2__.由于正方形
ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和，即得到一个 不等关系：___a_2___b_2___2_a_b_____.
几何平均数.
E
基本不等式2又可叙述为： ①两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
②两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
例1 已知 a ，b R，求证：a2 b2 c2 ab bc ca
证法： (a2 b2 c2 ) (ab bc ca)
a2 b2 c2 ab bc ca
③当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方 形EFGH缩为一个点，这时有____a_2 __b__2 ___2_a_b____.
D
D
a2 b2
b
A
G
F a
C
HE
a
A E(FGH)
b
C
B
B
基本不等式1：
一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab 当且仅当 a=b 时，等号成立. 你能给出它的证明吗？
在右图中， AB是圆的直径，
点C是AB上的一点，AC=a，
BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，
连接AD、BD.
A
∵AB是圆的直径，∴△ADB为Rt△.
D
ab
a
. Cb
B
又 AB⊥DE，∴ △ACD∽△BCD，
E
从而得到：CD2 AC CB ，
CD ab 半径 a b . 当且仅当点C 与圆心重合，
证明2： 要证 a b ab 2
只要证 a b 2 ab
（分析法）
特点“执果索因”
只要证 a b 2 ab 0
只要证 (__a_－__b_)2 0. 此不等式是成立的，
当且仅当 a=b 时，等号成立.
故基本不等式2得证.
重要不等式：
基本不等式1： 如果 a ，b R，那么 a2 b2 2ab （当且仅当a b 时取“”号）.
基本不等式1：如果 a ，b R，那么 a2 b2 2ab （当且仅当a b 时取“”号）.
证明： a2 b2 2ab (a b)2 当 a b 时，(a b)2 0， 当 a b 时，(a b)2 0，
(a b)2 0，
即 a2 b2 2ab 当且仅当a b 时取“”号 .
1 (2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ca) 2
1 [(a b)2 (b c)2 (c a)2 ] （比较法）
3.4.1 基本不等式 （1）
一、新课引入
右图是在北京召 开的第24届国际数学 家大会的会标，会标 是根据中国古代数学 家赵爽的弦图设计的. 你能在这个图中找出 一些相等关系或不等 关系吗？
ICM 2002 会标
ICM2002会标
赵爽：弦图
请观察上图，然后填空： ①正方形ABCD的面积等于 4个全等的直角三角形面积 和一个小正方形EFGH的面积之和，即得到一个相等关系：
n
an
n
a1a2 Fra bibliotekan当且仅当 a1 a2 an 时，取“”号.
如果 a ，b，c R ，那么 a b c 3 abc 3
（当且仅当a b c 时取“”号）.
基本不等式2： 如果 a ，b R ，那么 a b ab 2
（当且仅当a b 时取“”号）.
探究:你能对基本不等式2给出几何解释吗？（见教材第98页）
证明2： 要证 a b ab 2
只要证 a b 2 ab
（分析法）
只要证 a b 2 ab 0
只要证 (__a_－__b_)2 0. 此不等式是成立的，
当且仅当 a=b 时，等号成立. 故基本不等式2得证.
基本不等式2：如果 a ，b R ，那么 a b ab 2
（当且仅当a b 时取“”号）.
证明： a ，b R，由基本不等式1得：
( a )2 ( b )2 2 a b ， （综合法）
a b 2 ab ，
特点：“由因导果”
即 a b ab . 2
当且仅当a b 时取“”号 .
基本不等式2：如果 a ，b R ，那么 a b ab 2
（当且仅当a b 时取“”号）.
基本不等式2： 如果 a ，b R ，那么 a b ab 2
（当且仅当a b 时取“”号）.
注意：两个基本不等式的不同点和相同点: ① 两个不等式的适用范围不同； ② 等号成立的条件相同. ③ 基本不等式2可推广到有限个，如
基本不等式2推广： 若 a1 ，a2 ， an R ，则
a1
a2
2 即 a b 时，等号成立 .
基本不等式2： 如果 a ，b R ，那么 a b ab 2
（当且仅当a b 时取“”号）.
探究:你能对基本不等式2给出几何解释吗？
“半径不小于半弦”
D
数学里，a b 叫做两个正数a 、b的 2
算术平均数；
A
ab
a
. Cb
B
ab 叫做两个正数 a 、b的