双曲线专题复习讲义★知识梳理★1. 双曲线的定义（1）第一定义：当1212||||||2||PF PF a F F -=<时, P 的轨迹为双曲线; 当1212||||||2||PF PF a F F -=>时, P 的轨迹不存在;当21212||F F a PF PF ==-时, P 的轨迹为以21F F 、为端点的两条射线 （2）双曲线的第二义平面内到定点F 与定直线l (定点F 不在定直线l 上)的距离之比是常数e (1>e )的点的轨迹为双曲线与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程为：)0(2222≠=-λλb y a x与双曲线12222=-b y a x 共轭的双曲线为22221y x b a-=等轴双曲线222a y x ±=-的渐近线方程为x y ±= ，离心率为2=e .；★重难点突破★1.注意定义中“陷阱”问题1：已知12(5,0),(5,0)F F -，一曲线上的动点P 到21,F F 距离之差为6，则双曲线的方程为点拨：一要注意是否满足122||a F F <，二要注意是一支还是两支12||||610PF PF -=< ，P 的轨迹是双曲线的右支.其方程为)0(116922>=-x y x 2.注意焦点的位置问题2：双曲线的渐近线为x y 23±=，则离心率为 点拨：当焦点在x 轴上时，23=a b ，213=e ；当焦点在y 轴上时，23=b a ，313=e ★热点考点题型探析★考点1 双曲线的定义及标准方程 题型1：运用双曲线的定义[例1 ] 某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为340m/ s :相关各点均在同一平面上)【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的． [解析]如图，以接报中心为原点O ，正东、正北方向为x 轴、y 轴正向，建立直角坐标系.设A 、B 、C 分别是西、东、北观测点，则A （－1020，0），B （1020，0），C （0，1020） 设P （x,y ）为巨响为生点，由A 、C 同时听到巨响声，得|PA|=|PC|，故P 在AC 的垂直平分线PO 上，PO 的方程为y=－x ，因B 点比A 点晚4s 听到爆炸声，故|PB|－ |PA|=340×4=1360 由双曲线定义知P 点在以A 、B 为焦点的双曲线12222=-by a x 上， 依题意得a=680, c=1020，用y=－x 代入上式，得5680±=x ，∵|PB|>|PA|, 答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心m 10680处. 【名师指引】解应用题的关键是将实际问题转换为“数学模型” 【新题导练】1.设P 为双曲线11222=-y x 上的一点F 1、F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|：|PF 2|=3：2，则△PF 1F 2的面积为 （ ）A ．36B ．12C ．312D ．24解析：2:3||:||,13,12,121====PF PF c b a 由 ①又,22||||21==-a PF PF ② 由①、②解得.4||,6||21==PF PF为21F PF ∴直角三角形，.124621||||212121=⨯⨯=⋅=∴∆PF PF S F PF 故选B 。

2.如图2所示，F 为双曲线1169:22=-y x C 的左 焦点，双曲线C 上的点i P 与()3,2,17=-i P i 关于y 轴对称，则F P F P F P F P F P F P 654321---++的值是（ ） A ．9 B ．16 C ．18 D ．27[解析] =-F P F P 61=-F P F P 52643=-F P F P ，选C3. P 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左支上的一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为（ ） （A ）a -（B ）b -（C ）c -（D ）c b a -+［解析］设21F PF ∆的内切圆的圆心的横坐标为0x ，由圆的切线性质知，a x a c x x c PF PF -=⇒=----=-000122|)(||| 题型2 求双曲线的标准方程[例2 ] 已知双曲线C 与双曲线162x －42y =1有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线C的方程．【解题思路】运用方程思想，列关于c b a ,,的方程组[解析] 解法一：设双曲线方程为22a x －22by =1.由题意易求c =25.又双曲线过点（32，2），∴22)23(a －24b =1.又∵a 2+b 2=（25）2，∴a 2=12，b 2=8.故所求双曲线的方程为122x －82y =1.解法二：设双曲线方程为kx -162－k y +42＝1，将点（32，2）代入得k =4，所以双曲线方程为122x －82y ＝1.【名师指引】求双曲线的方程，关键是求a 、b ，在解题过程中应熟悉各元素（a 、b 、c 、e及准线）之间的关系，并注意方程思想的应用. 【新题导练】4.已知双曲线的渐近线方程是2x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 ；[解析]设双曲线方程为λ=-224y x ， 当0>λ时，化为1422=-λλy x ，2010452=∴=∴λλ， 当0<λ时，化为1422=---λλy y ，2010452-=∴=-∴λλ， 综上，双曲线方程为221205x y -=或120522=-x y 5.以抛物线x y 382=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为___________________.[解析] 抛物线x y 382=的焦点F 为)0,32(，设双曲线方程为λ=-223y x ，9)32(342=∴=∴λλ，双曲线方程为13922=-y x 6.已知点(3,0)M -，(3,0)N ，(1,0)B ，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为A ．221(1)8y x x -=<- B ．221(1)8y x x -=> C ．1822=+y x （x > 0） D ．221(1)10y x x -=> [解析]2=-=-BN BM PN PM ，P 点的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B考点2 双曲线的几何性质 题型1 求离心率或离心率的范围[例3] 已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为 ．【解题思路】这是一个存在性问题，可转化为最值问题来解决[解析](方法1)由定义知12||||2PF PF a -=，又已知12||4||PF PF =，解得183PF a =，223PF a =，在12PF F ∆中，由余弦定理，得2222218981732382494964cos e a a c a a PF F -=⋅⋅-+=∠，要求e 的最大值，即求21cos PF F ∠的最小值，当1cos 21-=∠PF F 时，解得53e =．即e 的最大值为53． (方法2) ac aPF a PF PF a PF PF -+≤+=+=21||21||||2||||22221 ， 双曲线上存在一点P 使12||4||PF PF =，等价于35,421≤∴≥-+e a c a(方法3)设),(y x P ，由焦半径公式得a ex PF a ex PF -=+=21,，∵214PF PF =，∴)(4)(a ex a ex -=+，∴x a e 35=，∵a x ≥，∴35≤e ，∴e 的最大值为53．【名师指引】（1）解法1用余弦定理转化，解法2用定义转化，解法3用焦半径转化； （2）点P 在变化过程中，||||21PF PF 的范围变化值得探究； （3）运用不等式知识转化为c b a ,,的齐次式是关键 【新题导练】7.已知双曲线221x y m n -=的一条渐近线方程为43y x =，则该双曲线的离心率e 为 ． [解析]当0,0>>n m 时，169=n m ，9252=+=m n m e ，当0,0<<n m 时，916=n m ，16252=+=n n m e ，=∴e 53或548. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右顶点为E ，双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A 、B 两点，若∠AEB=60°，则该双曲线的离心率e 是（ ）A ．215+B ．2C ．215+或2 D ．不存在[解析]设双曲线的左准线与x 轴交于点D,则c ab AD =，c a a ED 2+=，=+∴c a a 2cab⋅3，2=∴e题型2 与渐近线有关的问题[例4]若双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （ ）A.2B.3C.5D.2【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通c b a ,,的关系[解析] 焦点到渐近线的距离等于实轴长，故a b 2=，5122222=+==ab ac e ,所以5=e【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过c b a ,,的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程 【新题导练】9. 双曲线22149x y -=的渐近线方程是 ( )A. 23y x =±B. 49y x =±C. 32y x =±D. 94y x =±[解析]选C10.焦点为（0，6），且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是 （ ）A ．1241222=-y x B ．1241222=-x y C ．1122422=-x y D ．1122422=-y x[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B 基础巩固训练1. 以椭圆221169144x y +=的右焦点为圆心，且与双曲线221916x y -=的渐近线相切的圆的方程是 （A ）221090x y x +-+= （B ）221090x y x +--= （C ）221090x y x +++= （D ）221090x y x ++-= [解析]椭圆与双曲线共焦点，焦点到渐近线的距离为b ，选A2.已知双曲线的两个焦点为1(100)F -、20)F ，M 是此双曲线上的一点，且满足120MF MF ⋅=，12||||2MF MF ⋅=，则该双曲线的方程是（ ）A ．2219x y -=B ．2219y x -= C ．22137x y -= D ．22173x y -=[解析]由 12||||2MF MF ⋅=和402221=+PF PF 得6||21=-PF PF ，选A3.两个正数a 、b 的等差中项是92，一个等比中项是,ba >则双曲线12222=-b y a x 的离心率为( )A ．53 B ．4 C ．54D ．5[解析] 414,5=∴==c b a ，选D4.设1e ，2e 分别为具有公共焦点1F 与2F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足021=⋅PF PF ，则2212221)(e e e e +的值为( C )A ．21 B ．1 C ．2 D ．不确定[解析] C. 设a PF PF 2||||21=+，m PF PF 2||||21=-，m a PF +=∴||1，m a PF -=||2，5.已知F 1，F 2分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） (A).),21(+∞+(B).)21,1(+ (C).)3,1( (D).)22,3([解析] 210122122222+<⇒<--⇒<-⇒<e e e ac a c ca b ，选B6.曲线)6(161022<=-+-m m y m x 与曲线)95(19522<<=-+-n ny n x 的 （ ）A ．焦距相等B ．焦点相同C ．离心率相等D ．以上都不对[解析] 方程)6(161022<=-+-m m y m x 的曲线为焦点在x 轴的椭圆，方程)95(19522<<=-+-n ny n x 的曲线为焦点在y轴的双曲线，)5()9()6()10(-+-=---n n m m ，故选A综合提高训练7. 已知椭圆1532222=+ny m x 和双曲线1322222=-n y m x 有公共的焦点，（1）求双曲线的渐近线方程（2）直线l 过焦点且垂直于x 轴，若直线l 与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为43，求双曲线的方程 [解析]（1）依题意，有22223523m n m n -=+，即228m n =，即双曲线方程为22221163x y n n -=，故双曲线的渐近线方程是22220163x y n n -=，即x y 43±=，．（2）设渐近线x y 43±=与直线c x l =:交于A 、B ，则23||cAB =，=⋅=∆2321c c S OAB 43，解得1=c 即122=+b a ，又43=a b ，193,191622==∴b a 双曲线的方程为1319161922=-y x 8.已知21,F F 是双曲线12222=-by a x 的左，右焦点,点()y x P ,是双曲线右支上的一个动点,且1PF 的最小值为8,双曲线的一条渐近线方程为x y 34=. 求双曲线的方程; [解析]时取等号，当且仅当a x c a a ea a ex PF =+=+≥+=1 ,8.1=+∴+∴a c a c PF 的最小值为①.12222=-bya x 双曲线 的一条渐进线方程为x y 34=34=∴a b ②，又222b a c += ③ 由①②③得-===9,5,4,32x c b a 所以所求双曲线方程为1162=y9.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为).（Ⅰ）求双曲线C 的方程（Ⅱ）若直线:=l y kx A 和B 且2•>OA OB （其中O 为原点），求k 的取值范围解（1）设双曲线方程为22221-=x y a b由已知得2==a c ，再由2222+=a b ，得21=b故双曲线C 的方程为2213-=x y . （2）将=+y kx 2213-=x y得22(13)90---=k x 由直线l与双曲线交与不同的两点得()222213036(13)36(1)0⎧-≠⎪⎨∆=+-=->⎪⎩k k即213≠k 且21<k . ① 设(),,(,),A A A B A x y B x y ，则229,1313-+==--A B A B x y x y k k，由2•>OA OB 得2+>A B A B x x y y ，而2((1)()2+=+=+++A B A B A B A b A B A B x x y y x x kx kx k x x x x22222937(1)2131331-+=++=---k k k k k k . 于是2237231+>-k k ，即2239031-+>-k k 解此不等式得21 3.3<<k ②由①+②得2113<<k故的取值范围为3(1,,1⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭参考例题：已知双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的两个焦点为21,F F ，点P是双曲线C 上的一点，021=⋅PF PF =．（1）求双曲线的离心率e ；（2）过点P 作直线分别与双曲线的两渐近线相交于21,P P 两点，若12274OP OP ⋅=-，1220PP PP +=，求双曲线C 的方程．（1r =，则r 2=，∵21PF PF ⊥r 5==，∴522====a c a c e ． （2）由（1）知5=e ，故212=-=e ab，从而双曲线的渐近线方程为x y 2±=， 依题意，可设)2,(),2,(),,(222111x x P x x P y x P -， 由4274212121-=-=⋅x x x x OP ，得4921=x x ． ①由0221=+PP PP ，得12122304230x x x x x y +-=⎧⎨--=⎩，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=324322121x x y x x x ． ∵点),(y x P 在双曲线12222=-b y a x 上，∴19)24(9)2(22212221=--+bx x a x x ， 又a b 2=，上式化简得22189a x x =． ② 由①②，得2=a ，从而得22=b ．故双曲线C 的方程为18222=-y x ． 双曲线专题练习一一、填空题1．椭圆19222=+ky x 与双曲线1322=-y k x 的焦点相同，则k= 。