三、典型例题选讲（一）考查双曲线的概念例1 设P 是双曲线19222=-y ax 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点．若3||1=PF ，则=||2PF （ ）A ．1或5B ．6C ．7D ．9分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出a 的值，利用双曲线的定义求出2||PF 的值．解：Θ双曲线19222=-y a x 渐近线方程为y =x a 3±，由已知渐近线为023=-y x ， 122,||||||4a PF PF ∴=±∴-=，||4||12PF PF +±=∴. 12||3,||0PF PF =>Q ，7||2=∴PF .故选C ．归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法．（二）基本量求解例2(2009山东理)设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）A ．45B ．5C ．25D ．5解析：双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =，由方程组21b y x a y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得210b x x a -+=有唯一解，所以△=2()40ba-=， 所以2b a =，2221()5c a b b e a a a+===+=，故选D ．归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解．本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能．例3（2009全国Ⅰ理）设双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线y =x 2+1相切，则该双曲线的离心率等于( )A.3 B.2 C.5 D.6 解析：设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为0'0|2x x y x ==．由题意有002y x x =．又有2001y x =+，联立两式解得:2201,2,1()5b bx e a a=∴==+=． 因此选C ．例4（2009江西）设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点，若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ）A ．32 B ．2 C ．52D ．3解析：由3tan62c b π==2222344()c b c a ==-，则2c e a==，故选B ． 归纳小结：注意等边三角形及双曲线的几何特征，从而得出3tan 62c b π==体现数形结合思想的应用．（三）求曲线的方程例5（2009，北京）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为3，右准线方程为33x =． （1）求双曲线C 的方程；（2）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值．分析：（1）由已知条件列出,,a b c 的关系，求出双曲线C 的方程；（2）将直线与双曲线方程联立，再由中点坐标公式及点在圆上求出m 的值．解：（1）由题意，得2333a cc a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1,3a c ==. ∴2222b c a =-=，∴所求双曲线C 的方程为2212y x -=． （2）设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，由22120y x x y m ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩得22220x mx m ---=（判别式0∆>）， ∴12000,22x x x m y x m m +===+=， ∵点()00,M x y 在圆225x y +=上， ∴()2225m m +=，∴1m =±．另解：设A 、B 两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，由221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得121212121()()()()02x x x x y y y y +--+-=.由直线的斜率为1，121200,22x x y yx y ++==代入上式，得002y x =. 又00(,)M y x 在圆上，得22005y x +=，又00(,)M y x 在直线上，可求得m 的值.归纳小结：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．例6 过(1,1)M 的直线交双曲线22142x y -=于,A B 两点，若M 为弦AB 的中点，求直线AB 的方程．分析：求过定点M 的直线方程，只需要求出它的斜率．为此可设其斜率是k ，利用M 为弦AB 的中点，即可求得k 的值，由此写出直线AB 的方程．也可设出弦的两端点坐标用“点差法”求解．解法一：显然直线AB 不垂直于x 轴，设其斜率是k ，则方程为1(1)y k x -=-．由221421(1)x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪-=-⎩消去y 得222(12)4(1)2460①k x k k x k k ----+-=设),(),(221,1y x B y x A ，由于M 为弦AB 的中点，所以1222(1)1212x x k k k+-==-，所以12k =． 显然，当12k =时方程①的判别式大于零.所以直线AB 的方程为11(1)2y x -=-，即210x y -+=．解法二：设),(),(221,1y x B y x A ，则221122221②421③42x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩①－②得12121212()()2()()0x x x x y y y y -+--+=. 又因为12122,2x x y y +=+=，所以12122()x x y y -=-．若12,x x =则12y y =，由12122,2x x y y +=+=得121x x ==，121y y ==． 则点A B 、都不在双曲线上，与题设矛盾，所以12x x ≠． 所以121212y y k x x -==-．所以直线AB 的方程为11(1)2y x -=-，即210x y -+=． 经检验直线210x y -+=符合题意，故所求直线为210x y -+=．解法三：设A （x y ，），由于A B 、关于点M （1，1）对称，所以B 的坐标为（22x y --，），则2221,42(2) 1.2x y y ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩2(2-x)4消去平方项，得210x y -+=． ④ 即点A 的坐标满足方程④，同理点B 的坐标也满足方程④． 故直线AB 的方程为210x y -+=．归纳总结：由于双曲线（抛物线）不是“封闭”的曲线，以定点为中点的弦不一定存在，所以在求双曲线（抛物线）中点弦方程时，必须判断满足条件的直线是否存在．（四）轨迹问题例7 已知点100(,)P x y 为双曲线222218x y b b-=（b 为正常数）上任一点，2F 为双曲线的右焦点，过1P 作右准线的垂线，垂足为A ，连接2F A 并延长交y 轴于2P ．求线段1P 2P 的中点P 的轨迹E 的方程．分析：求轨迹问题有多种方法，如相关点法等，本题注意到点P 是线段1P 2P 的中点，可利用相关点法．解：由已知得208(3,0),(,)3F b A b y ，则直线2F A 的方程为：03(3)y y x b b=--． 令0x =得09y y =，即20(0,9)P y ．设P x y （，），则00002952x x y y y y⎧=⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩， 即0025x xy y =⎧⎪⎨=⎪⎩代入22002218x y b b -=得：222241825x y b b -=， 即P 的轨迹E 的方程为22221225x y b b-=．()x ∈R 归纳小结：将几何特征转化为代数关系是解析几何常用方法． （五）突出几何性质的考查例8（2006江西）P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，M ，N 分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+=上的点，则||||PM PN -的最大值为（ ）A.6B.7C.8D.9解析：双曲线的两个焦点1(5,0)F -与2(5,0)F 恰好是两圆的圆心，欲使||||PM PN -的值最大，当且仅当||PM 最大且||PN 最小，由平面几何性质知，点M 在线段1PF 的延长线上，点N 是线段2PF 与圆的交点时所求的值最大.此时12||||(2)(1)PM PN PF PF -=+--9321=+-=PF PF ．因此选D ． 例9（2009重庆）已知以原点O 为中心的双曲线的一条准线方程为5x =，离心率5e =． （1）求该双曲线的方程；（2）如图，点A 的坐标为(5,0)-，B 是圆22(5)1x y +-=上的点，点M 在双曲线右支上，求MA MB +的最小值，并求此时M 点的坐标.分析：（1）比较基础，利用所给条件可求得双曲线的方程；（2）利用双曲线的定义将MA MB 、转化为其它线段，再利用不等式的性质求解．解：（1）由题意可知，双曲线的焦点在x 轴上，故可设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，设22c a b=+5x =25a c = 由5e =5ca= 解得1,5a c ==从而2b =，∴该双曲线的方程为2214y x -=.（2）设点D 的坐标为(5,0)，则点A 、D 为双曲线的焦点，则||||22MA MD a -==.所以||||2||||2||MA MB MB MD BD +=+++≥．因为B 是圆22(5)1x y +-=上的点，其圆心为(0,5)C ，半径为1， 故||||1101BD CD -=+≥，从而||||2||101MA MB BD +++≥≥．当,M B 在线段CD 上时取等号，此时||||MA MB +的最小值为101+．Q 直线CD 的方程为5y x =-+，因点M 在双曲线右支上，故0x >．由方程组22445x y y x ⎧-=⎪⎨=-+⎪⎩解得5424542,33x y -+-==．所以M 点的坐标为5424542(,)33-+-． 归纳小结：本题综合考查双曲线的知识及不等式性质，考查推理能力及数形结合思想．。