数与代数整理和复习整理教师：刘新民一、知识回顾（一）分数乘法1. 分数乘整数。

（1）分数乘整数的意义：分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，表示求几个相同加数的和的简便运算。

（2）分数乘整数的计算方法：分数的分子与整数相乘的积作分子，分母不变，能约分的可以先约分，再计算。

2. 分数乘分数。

（1）一个数乘分数的意义：表示求一个数的几分之几是多少。

（2）分数乘分数的计算方法：用分子相乘的积作分子，用分母相乘的积作分母，能约分的可以先约分，再计算。

3. 小数乘分数的计算方法：（1）可以先把小数化成分数计算；（2）如果所乘分数能化成有限小数，也可以把分数化成小数计算；（3）小数和分母能约分的，先约分，再计算比较简单。

4. 分数乘加、乘减运算和简算。

（1）分数乘加、乘减运算的运算顺序与整数乘加、乘减运算的运算顺序相同。

算式里有括号应先算括号里面的；算式里没有括号，要先算乘法，后算加、减法。

（2）整数乘法的运算定律对小数乘法同样适用。

5. 求一个数的几分之几是多少的问题的解法：一个数（单位“1”的量）×几分之几（对应分率）6. 连续求一个数的几分之几是多少的问题的解法：一个数（单位“1”的量）×几分之几（对应分率）×几分之几（对应分率）7. 求比一个数多（或少）几分之几是多少的问题的解法：（1）单位“1”的量×（1±几分之几）（2）单位“1”的量±单位“1”的量×几分之几（二）分数除法1. 倒数的认识。

（1）倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数。

（2）求一个数的倒数的方法：①求分数的倒数：交换分子、分母的位置。

（带分数要先化成假分数）②求整数（0除外）的倒数：先把整数（0除外）看作分母是1的假分数，再交换分子、分母的位置。

③求小数的倒数：先把小数化成真分数或假分数，再交换分子、分母的位置。

2. 分数除法。

（1）分数除法的意义：分数除法的意义与整数除法的意义相同，都是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。

（2）分数除法的计算方法：甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。

3. 分数四则混合运算的运算顺序：分数四则混合运算的运算顺序与整数四则运算的运算顺序相同。

含有不同级运算，要先算乘、除法，后算加、减法；只含有同一级运算，按从左到右的顺序依次计算；算式里有括号的，要先算括号里面的，再算括号外面的。

4. 已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题的解法：（1）找出单位“1”，设单位“1”的量为x，找出题中的等量关系式，列方程来解答，即x×几分之几=已知量。

（2）找出单位“1”，找出已知量和已知量占单位“1”的几分之几，列除法算式来解答，即已知量÷已知量占单位“1”的几分之几=单位“1”的量。

5. 已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数的问题的解法：（1）根据题中的等量关系：“单位‘1’的量×（1±几分之几）=已知量”或“单位‘1’的量±单位‘1’的量×几分之几=已知量”，设单位“1”的量为x，列方程来解答，即x×（1±几分之几）=已知量或x±x×几分之几）=已知量。

（2）先找到题中单位“1”的量，计算出已知量占单位“1”的几分之几，再根据分数除法的意义列除法算式解答，即已知量÷（1±几分之几）。

6. “和差”和“和倍”问题的解法：（1）先找出单位“1”的量并设为x，用含有未知数的式子表示另一个数，再根据两个数的和（或差）列方程解答。

（2）先找出单位“1”的量，再找出另一个量比它多（或少）几分之几的量，然后两种量共占单位“1”的几分之几或两种量相差单位“1”的几分之几，最后根据分数除法的意义列除法算式算出其中的一个量，再算另一个量。

7. 工程问题的数量关系式：工作总量=工作效率×工作时间；工作效率=工作总量÷工作时间；工作时间=工作总量÷工作效率。

（工作总量用1表示，工作效率用几分之一表示）。

（三）比1. 比的意义。

（1）比的意义：两个数相除又叫两个数的比。

（2）比值的意义：比的前项除以后项所得的商叫做比值。

（3）比与分数、除法的关系：比的前项相当于分数的分子、除法中的被除数；比号相当于分数的分数线、除法中的除号；比的后项相当于分数的分母、除法中的除数；比值相当于分数的分数值、除法中的商。

2. 比的基本性质。

（1）比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。

（2）化简比：把两个数的比化成最简单的整数比。

3. 按比分配问题的解法：（1）先求出总份数，再求出各部分量占总量的几分之几，最后利用分数乘法的意义求出各部分量。

（2）先用除法求出每份是多少，再用每份数乘各部分量所占的份数，求出各部分量。

（四）百分数（一）1. 百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。

百分数也叫做百分率或百分比。

2. 百分数的读、写法：写百分数时，通常不写成分数形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”来表示；读百分数时，先读分母（即%）再读分子，读作“百分之几”。

3. 百分数和小数的互化：把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号“%”；把百分数化成小数，只要把百分号“%”去掉，同时把小数点向左移动两位。

4. 百分数和分数的互化：把分数化成百分数，先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数；把百分数化成分数，先把百分数改写成分母是100的分数，能约分的一般要约成最简分数。

5. 常见百分率的计算方法：命中率= ×100% 出勤率= ×100%成活率=×100% 合格率= ×100%发芽率=×100% 及格率= ×100%6. 解决问题（1）求一个数的百分之几是多少的问题的解法：一个数（单位“1”的量）×百分率（2）求比一个数多（或少）百分之几的问题的解法：（多的数-少的数）÷单位“1”的量（3）已知比一个数多（或少）百分之几的数是多少，求这个数的问题的解法： 已知数÷（1±百分之几）（4）已知一个数量先后两次的增减变化幅度，求最后变化幅度的问题的解法： ①用设数法，把单位“1”设为一个具体数或“1”。

②按1解答时，最后的变化幅度为[1-1×（1-减少的幅度）×（1+增加的幅度）]÷1的百分数。

二、考点整理例1、在、“＜”或“＝”95×4395 95÷4395 95×4395÷43 分析与解答：积的变化规律是：一个数（0除外）乘比1大的数，积大于这个数；乘比1小的数（0除外），积小于这个数。

商的变化规律是：一个数（0除外）除以比1大的数，商小于这个数；除以比1投中次数 投篮次数 出勤人数应出勤人数 成活的棵数 种植的总棵数 合格的产品数 产品总数 发芽的种子数 试验的种子总数 及格人数 考试总人数小的数（0除外），商大于这个数。

根据积的变化规律，在算式95×43中，由于43小于1，所以积小于5，即95×4395 ；在算式95÷43中，由于43小于1，所以商大于95，即95÷4395；综合上述，由于95×43小于95，95÷43大于95，所以95×43的积小于95÷43的商，即95×43÷43。

例2、计算下面各题，能简算的要简算。

（1）20÷（34-52） （2）4021×14+4019÷141 分析与解答：根据四则混合运算的运算顺序，第（1）题算式中有括号，所以应该先算里面的，即先算34-52，再算20除以34-52的差，第（2）题算式4019÷141可以根据分数除法的计算法则转化成4019×14，然后再运用乘法分配律的逆运算可以用简便方法进行计算。

其运算如下：（1）20÷（34-52） （2）4021×14+4019÷141 =20÷1514 =4021×14+4019×14 =2173 =（4021+4019）×14 =1×14=14例3、文具超市新购进180支钢笔，新购进的圆珠笔的数量比钢笔多51，但比新购进的中性笔少28%。

新购进的圆珠笔和中性笔各有多少支？分析与解答：要求出新购进的圆珠笔有多少支，关键先要求出新购进的圆珠笔是钢笔的几分之几，根据新购进的圆珠笔的数量比钢笔多51可知，新购进的圆珠笔是钢笔的1+51=56，把钢笔看作单位“1” ，单位“1”是已知的用乘法，所以新购进的钢笔有180×56=216（支）；同理，要算出中性笔有多少支，应先算出新购进的圆珠笔的数量是新购进的中性笔的数量分之几，根据新购进的圆珠笔的数量比新购进的中性笔少25%可知，新购进的圆珠笔的数量是新购进的中性笔的1-28%=72%，这里又把中性笔看作单位“1”，单位“1”是未知用除法计算，所以新购进的中性笔有216÷72%=300（支）。

例4、一堆货物用甲型货车12次可以运完，乙型货车6次可以运完。

两辆货车共同运送这堆货物，几次可以运完？分析与解答：这堆货物的总量不知道，可以假设为单位“1” ，用甲型货车12次可以运完，则甲型货车每次运这堆货物的121，乙型货车6次可以运完，则乙型货车每次运这堆货物的61，那么两辆货车共同运送一次要运它的121+61=41，那么需要1÷41=4（次）运完。

例5、一个长方形花坛的周长是45m ，已知长和宽的比是5:4，它的面积是多少平方米？分析与解答：要求这个长方形的面积，应先算出它的长和宽，因为长和宽的比是5:4，所以又要算出长与宽的和，由它的周长是45m 可知，长与宽的和是45÷2=（m ），已知长和宽的比是5:4，再用按比分配的方法分别求出长和宽。

即长=×455+=（m ），宽=×454+=10（m ），故它的面积是×10=125（m2） 三、考点复习题一、填空题。

1. 87的53是（ ），（ ）的54是119。

2.（ ）的倒数是最小的合数，（ ）和它的倒数的和是2.。

3. 20㎏增加它的20%是（ ）㎏，（ ）㎏减少它的20%是20㎏。

4. =（ ）%=（ ）÷16=)(4 =（ ）:（ ）（最简整数比）。

5. 六（1）班进行体育达标测试，其中有46名同学达标，4名同学没有达标，达标率是（ ）。