例1
（1）本题先结合平行四边形性质，根据ASA得出△ABM≌△CDN，从而得出DN=BM，AM=CN；再由三角形中位线得出CN=MN，BM=DN=2NF，同时推翻AM=AC、S△AMB=
S△ABC．
（2）用大五边形面积减去3个三角形面积即可求得结果
（三角形ABD、三角形ACE、三角形ABC）；
∴△BDF、△EFC均为RT三角形
例2平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定，任取两个进行推理．
解：根据平行四边形的判定，符合四边形ABCD是平行四边形条件的有九种：（1）（2）；（3）（4）；（5）（6）；（1）（3）；（2）（4）；（1）（5）；（1）（6）；（2）（5）；（2）（6）共九种．
例3熟记平行四边形的判定，其中对角线互相平分，是平行四边形，延长AC 后，证明AD∥BC，然后再证明三角形全等，证得对角线互相平分，得到结论．
证明：延长AC，在C上方取N，A下方取M，使AM=AE，CN=CF，则由已知可得PM=PN，易证△PME≌△PNF，且△AME，△CNF都是等腰三角形．
∴∠M=∠N，MEP=∠NFP
∴∠AEP=∠PFC
∴AD∥BC，
可证得△PAE≌△PCF，得PA=PC，
再证△PED≌△PFB．得PB=PD．
∴ABCD为平行四边形．
例4（1）先过点E作EG∥CD交AF的延长线于点G，由EG∥CD，AB∥CD，可得，CD∥GE，再有BE∥AG，那么四边形ABEG是平行四边形，就可得，AB=GE=CD，而GE∥CD，会出现两对内错角相等，故△EGF≌△DCF，即EF=DF．
（2）有AC⊥DC，∠ADC=60°，可得CD=
AD=
，利用勾股定理，可求AC=
，而CF=
AC，那么再利用勾股定理，又可求DF，而由（1）知，DE=2DF，故可求
∵AD=
∴CD=
，AC=
又AC=2CF，CF=FG
∴AG=
∵四边形ABEG为平行四边形
∴BE=AG=
(3)
∵AC⊥DC，
∴∠G为Rt角，
又∵△EFG≌△DFC
∴SABED=S正方形ABEG+S△ACD
=
=
例5
（1）
（2）
（3）
1
2
3
=2×6=12
4
解：由a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，可整理为(a-c)2+(b-d)2=0，即a=c，b=d．则这个四边形一定是平行四边形．
5
6
7
8在图2中，因为四边形PEAF为平行四边形，所以PE=AF，又三角形FDC为等腰三角形，所以FD=PF+PD=FC，即PE+PD+PF=AC=AB，在图3中，PE=AF可证，FD=PF-PD=CF，即PF-PD+PE=AC=AB．
9
证明：（1）∵ABCD平行四边形
∴OD=OB=1/2BD AD=BC AB=CD
又∵BD=2AD
∴BC=OB
又∵E是OC的中点
∴BE⊥OC
即BE⊥AC
（2）
由（1）可得△ABE是直角三角形
又∵G是AB的中点
∴EG=1/2AB （直角三角形斜边中线等于斜边一半）E,F,分别是OC,OD,的中点
∴EF=1/2CD
∴EG=EF
（3）
∵BG∥EF，BG=EF
∴∠AGF=∠ABE=∠GFE
又∵EG=EF
∴∠GFE=∠FGE
∴∠FGE=∠AGF
成立
10
11
12
解：：①一组对边相等，一组对角相等的四边形，不能证明另一组对边也相等或平行，故四边形不一定是平行四边形（无角边边全等判定定理）；故①错误；
②两组对角的内角平分线分别平行的四边形，证明两组对角相等，故四边形是平行四边形，故②正确；
证明：∵ AF∥CE，BM∥DN
∴ ∠DGA=∠CHB
∴∠DAG+∠ADG=∠HCB+∠HBC (1)
∠GAE+∠GNA=∠HCM+∠HMC (2)
(1)+(2)得∠ADN+∠AND+∠A =∠BMC+∠MBC+∠C
∵ 内角平分和平行
∴∠ADN=∠BMC, ∠AND=∠MBC
∴∠A =∠C
同理∠D =∠B
∴ 四边形为平行四边形
③一组对边中点的距离等于另一组对边边长的和的一半的四边形，梯形中两腰中点的连线也可以符合等于上下底的一半，故③错误；
④两条对角线都平分四边形的面积的四边形是平行四边形，可证明两组对边平行，故④正确；
证明：设四边形ABCD，AC，BD是对角线，AC与BD交点为O
过A作AE垂直BD，过C作CF垂直BD，垂足是E，F
然后根据对角线平分面积，证明AE＝CF
再根据"角角边”相等，证明三角形AEO与三角形CFO全等
从而得到AO＝CO
同理得到BO＝DO
则四边形为平行四边形
13
平行四边形有两组分别平行的边，因此只需要在第一组中取两条,在第二组中取两条，就可以构成平行四边形，共C
×C
=[(3×2)/2]×[(5×4)/2]=30个
14
证明：过D，F，B做EF，AB，CD的平行线，
∵BC-EF=DE-AB=AF-CD，
∴△MPN为正三角形．
∴∠NPM=∠PMN=∠MNP=60°．
∴∠BMD=∠BNF=∠FPD=120°．
又∵AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，
∴分割构成3个平行四边形．
∴六个内角都相等．
15
证明：如图所示过B作BM∥AC，过C作CM∥AB，
则四边形ABMC为平行四边形，
∴CM=AB，BM=AC=BD，BM∥AC，
又∵∠DOC=60°，
∴∠DBM=∠DOC=60°
即三角形DBM为等边三角形，
∴BM=AC=DM
在△CDM中，CM+CD＞DM，
即AB+CD＞AC．
16
解：过D作DF∥BC，且使DF=BC，连CF、EF，则四边形BDFC是平行四边形，
∴BD=CF，DA∥FC，
∴∠EAD=∠ECF，
∵AD=CE，
∴AE=BD=CF，
∴△ADE≌△CEF（SAS）
∴ED=EF，
∵ED=BC，BC=DF，
∴ED=EF=DF
∴△DEF为等边三角形
设∠BAC=x°，因为等腰三角形，则∠ADF=∠ABC=
，
∴∠DAE=180°-x°，
∴∠ADE=180°-2∠DAE=180°-2（180°-x°）=2x°-180°，
∵∠ADF+∠ADE=∠EDF=60°
∴
+（2x°-180°）=60°
∴x=100．
∴∠BAC=100°
17
（1）因为S△ABC=
，所以S1+S2+S3＜
（2）结论成立
证明：延长OB到H使BH=OE，延长OA到G使AG=OD，连接HG ∵OA+AG=OA+DO=AD=2
OB+BH=OB+OE=BE=2
∠AOB=60°
∴△GH O是等边三角形
∵OG=OH=HG=2
∴S△GHO=
在HG上取点M，使MG=OC
∵HM+MG=HG=2
OC+OF=CF=2
∴HM=OF
在△MGA和△COD中，
∴△MGA≌△COD
同理可证：△MHB≌△FOE
∴S2=S△MHB，S3=S△MGA
由图形可知：S△ABO+S△MHB+S△MGA+＜S△GHO ∴S1+S2+S3＜S△GHO=
即S1+S2+S3＜。