∴△BDF、△EFC 均为 RT 三角形
例 2 平行四边形的五种判定方法分别是： （1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边
分别相等的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （4）两组对角分别相
等的四边形是平行四边形； （5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定，任取两 个进行推理．
解： 根据平行四边形的判定， 符合四边形 ABCD 是平行四边形条件的有九种： （1） （2） ； （3） （4） ； （ 5） （6） ； （1） （3 ） ； （2） （ 4） ； （1 ） （5） ； （ 1） （6） ； （2） （5 ） ； （2） （6）共九种． 例 3 熟记平行四边形的判定，其中对角线互相平分，是平行四边形，延长 AC 后，证明 AD∥BC，然后再
FD=PF+PD=FC， 即 PE+PD+PF=AC=AB，在图 3 中， PE=AF 可证， FD=PF-PD=CF， 即 PF-PD+PE=AC=AB．
9 证明： （1）∵ABCD 平行四边形 ∴OD=OB=1/2BD AD=BC AB=CD 又∵BD=2AD ∴BC=OB 又∵E 是 OC 的中点 ∴BE⊥OC 即 BE⊥AC （2） 由（1）可得△ABE 是直角三角形 又∵G 是 AB 的中点 ∴EG=1/2AB （直角三角形斜边中线等于斜边一半）
证明：设四边形 ABCD，AC，BD 是对角线，AC 与 BD 交点为 O
过 A 作 AE 垂直 BD，过 C 作 CF 垂直 BD，垂足是 E，F 然后根据对角线平分面积，证明 AE＝CF 再根据"角角边”相等，证明三角形 AEO 与三角形 CFO 全等 从而得到 AO＝CO 同理得到 BO＝DO 则 四边形为平行四边形
∵AD= a
∴CD=
1 3 a ，AC= a 2 2
又 AC=2CF，CF=FG ∴AG=
3a
∵四边形 ABEG 为平行四边形 ∴BE=AG=
3a
(3)
∵AC⊥DC，
∴∠G 为 Rt 角， 又∵△EFG≌△DFC
∴SABED=S 正方形 ABEG+S△ACD
1 1 3 1 5 3 2 = 3a a a a = a 2 2 2 2 8
②两组对角的内角平分线分别平行的四边形，证明两组对角相等，故四边形是平行四边形， 故②正确； 证明：∵ AF∥CE，BM∥DN ∴ ∠DGA=∠CHB
∴∠DAG+∠ADG=∠HCB+∠HBC ∠GAE+∠GNA=∠HCM+∠HMC
(1) (2)
(1)+(2)得 ∠ADN+∠AND+∠A =∠BMC+∠MBC+∠C
BE∥AG，那么四边形 ABEG 是平行四边形，就可得，AB=GE=CD，而 GE∥CD，会出现两对内错角相等， 故△EGF≌△DCF，即 EF=DF．
（ 2 ）有 AC ⊥ DC ，∠ ADC=60° ，可得 CD=
1 2
AD=
1 3 a ，利用勾股定理，可求 AC= a ，而 2 2
CF=
1 AC，那么再利用勾股定理，又可求 DF，而由（1）知，DE=2DF，故可求 2
E,F,分别是 OC,OD,的中点 ∴EF=1/2CD ∴EG=EF （3） ∵BG∥EF，BG=EF ∴∠AGF=∠ABE=∠GFE 又∵EG=EF ∴∠GFE=∠FGE ∴∠FGE=∠AGF ③成立 10
11
12
解： ：①一组对边相等，一组对角相等的四边形，不能证明另一组对边也相等或平行，故四 边形不一定是平行四边形（无角边边全等判定定理） ；故①错误；
证明三角形全等，证得对角线互相平分，得到结论．
证明：延长 AC，在 C 上方取 N，A 下方取 M，使 AM=AE，CN=CF，则由已知 可得 PM=PN，易证△PME≌△PNF，且△AME，△CNF 都是等腰三角形． ∴∠M=∠N，MEP=∠NFP ∴∠AEP=∠PFC ∴AD∥BC， 可证得△PAE≌△PCF，得 PA=PC， 再证△PED≌△PFB．得 PB=PD． ∴ABCD 为平行四边形． 例 4（1）先过点 E 作 EG∥CD 交 AF 的延长线于点 G，由 EG∥CD，AB∥CD，可得，CD∥GE，再有
例5 （1）

（2）
（3）
1
2
3
=2×6=12 4 解：由 a2+b2+c2+d2=2ac+2bd，可整理为(a-c)2+(b-d)2=0，即 a=c，b=d．则这个四 边形一定是平行四边形． 5
6
7
8
在图 2 中， 因为四 边形 PEAF 为平 行四边 形，所 以 PE=AF ，又 三角形 FDC 为等 腰三角 形，所 以
例1 （1）本题先结合平行四边形性质，根据 ASA 得出△ABM≌△CDN，从而得出 DN=BM，AM=CN；再由
三角形中位线得出 CN=MN，BM=DN=2NF，同时推翻 AM=AC、S△AMB=
1 S△ABC． 2
（2）用大五边形面积减去 3 个三角形面积即可求得结果
（三角形 ABD、三角形 ACE、三角形 ABC） ；
∵ 内角平分和平行 ∴∠ADN=∠BMC, ∠AND=∠MBC ∴∠A =∠C 同理 ∠D =∠B ∴ 四边形为平行四边形
③一组对边中点的距离等于另一组对边边长的和的一半的四边形， 梯形中两腰中点的连线也 可以符合等于上下底的一半，故③错误；
④两条对角线都平分四边形的面积的四边形是平行四边形， 可证明两组对边平行， 故④正确；
15 证明：如图所示过 B 作 BM∥AC，过 C 作 CM∥AB， 则四边形 ABMC 为平行四边形， ∴CM=AB，BM=AC=BD，BM∥AC， 又∵∠DOC=60°， ∴∠DBM=∠DOC=60° 即三角形 DBM 为等边三角形， ∴BM=AC=DM 在△CDM 中，CM+CD＞DM， 即 AB+CD＞AC．
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平行四边形有两组分别平行的边，因此只需要在第一组中取两条,在第二组中取两条，就可 以构成平行四边形，共 C 3 ×C 5 =[(3×2)/2]×[(5×4)/2]=30 个
2 2
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证明：过 D，F，B 做 EF，AB，CD 的平行线， ∵BC-EF=DE-AB=AF-CD， ∴△MPN 为正三角形． ∴∠NPM=∠PMN=∠MNP=60°． ∴∠BMD=∠BNF=∠FPD=120°． 又∵AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF， ∴分割构成 3 个平行四边形． ∴六个内角都相等．