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高考理科数学压轴题及答案汇编

高考理科数学压轴题(21)(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3,最小值为1. (I)求椭圆C 的标准方程;(II)若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A,B 两点(A,B 不是左右顶点),且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点.求证:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.(22)(本小题满分14分)设函数2()ln(1)f x x b x =++,其中0b ≠. (I)当12b >时,判断函数()f x 在定义域上的单调性; (II)求函数()f x 的极值点;(III)证明对任意的正整数n ,不等式23111ln(1)n n n+>-都成立.(21)解:(I)由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>3,1a c a c +=-=,22,1,3a c b === 221.43x y ∴+= (II)设1122(,),(,)A x y B x y ,由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=,22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->,22340k m +->.212122284(3),.3434mk m x x x x k k -+=-⋅=++22221212121223(4)()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k-⋅=+⋅+=+++=+ Q 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 1AD BD k k ⋅=-,1212122x x ∴⋅=---,1212122()40y y x x x x +-++=, 2222223(4)4(3)1640343434m k m mkk k k --+++=+++,2271640m mk k ++=,解得1222,7k m k m =-=-,且满足22340k m +->. 当2m k =-时,:(2)l y k x =-,直线过定点(2,0),与已知矛盾;当27k m =-时,2:()7l y k x =-,直线过定点2(,0).7综上可知,直线l 过定点,定点坐标为2(,0).7(22)解:(I) 函数2()ln(1)f x x b x =++的定义域为()1,-+∞.222'()211b x x bf x x x x ++=+=++,令2()22g x x x b =++,则()g x 在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增,在11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上递减,min 11()()22g x g b =-=-+.当12b >时,min 1()02g x b =-+>,2()220g x x x b =++>在()1,-+∞上恒成立. '()0,f x ∴>即当12b >时,函数()f x 在定义域()1,-+∞上单调递增。

(II )分以下几种情形讨论:(1)由(I )知当12b >时函数()f x 无极值点. (2)当12b =时,212()2'()1x f x x +=+, 11,2x ⎛⎫∴∈-- ⎪⎝⎭时,'()0,f x >,2x ∈-+∞ ⎪⎝⎭时,'()0,f x >12b ∴=时,函数()f x 在()1,-+∞上无极值点。

(3)当12b <时,解'()0f x =得两个不同解112x -=212x -+=.当0b <时,1112x -=<-,2112x -+=>-,()()121,,1,,x x ∴∉-+∞∈-+∞此时()f x 在()1,-+∞上有唯一的极小值点212x -+=.当102b <<时,()12,1,,x x ∈-+∞ '()f x 在()()121,,,x x -+∞都大于0 ,'()f x 在12(,)x x 上小于0 ,此时()f x 有一个极大值点112x --=和一个极小值点212x -+=.综上可知,0b <时,()f x 在()1,-+∞上有唯一的极小值点212x -+=;102b <<时,()f x 有一个极大值点112x -=和一个极小值点212x -+=;12b ≥时,函数()f x 在()1,-+∞上无极值点。

(III ) 当1b =-时,2()ln(1).f x x x =-+ 令332()()ln(1),h x x f x x x x =-=-++则32'3(1)()1x x h x x +-=+在[)0,+∞上恒正,()h x ∴在[)0,+∞上单调递增,当()0,x ∈+∞时,恒有()(0)0h x h >=.即当()0,x ∈+∞时,有32ln(1)0,x x x -++>23ln(1)x x x +>-,对任意正整数n ,取1x n =得23111ln(1)n n n+>-(21)(本小题满分12分) 已知函数1()ln(1),(1)nf x a x x =+--其中n ∈N*,a 为常数.(Ⅰ)当n =2时,求函数f (x )的极值;(Ⅱ)当a =1时,证明:对任意的正整数n , 当x ≥2时,有f (x )≤x -1.(22)(本小题满分14分) 如图,设抛物线方程为x 2=2py (p >0),M 为 直线y = -2p 上任意一点,过M 引抛物线的切线,切点分别为A ,B . (Ⅰ)求证:A ,M ,B 三点的横坐标成等差数列; (Ⅱ)已知当M 点的坐标为(2,-2p )时,410AB =,求此时抛物线的方程;(Ⅲ)是否存在点M ,使得点C 关于直线AB 的对称点D 在抛物线22(0)x py p =>上,其中,点C 满足OC OA OB=+u u u r u u u r u u u r(O 为坐标原点).若存在,求出所有适合题意的点M 的坐标;若不存在,请说明理由.(21)(Ⅰ)解:由已知得函数f (x )的定义域为{x |x >1},当n =2时,21()ln(1),(1)f x a x x =+-- 所以 232(1)().(1)a x f x x --'=- (1)当a >0时,由()0f x '=得121x a =+>1,221x a=-<1, 此时 123()()()(1)a x x x x f x x ---'=-.当x ∈(1,x 1)时,()0,()f x f x '<单调递减; 当x ∈(x 1+∞)时,()0,()f x f x '>单调递增.(2)当a ≤0时,()0f x '<恒成立,所以f (x )无极值. 综上所述,n =2时,当a >0时,f (x )在1x =+处取得极小值,极小值为2(1(1ln ).2a f a+=+ 当a ≤0时,f (x )无极值. (Ⅱ)证法一:因为a =1,所以1()ln(1).(1)nf x x x =+-- 当n 为偶数时,令1()1ln(1),(1)ng x x x x =-----则 1112()10,(2)11(1)(1)n n n x ng x x x x x x ++-'=+-=+>≥----.所以当x ∈[2,+∞]时,g(x)单调递增, 又 g (2)=0 因此1()1ln(1)(1)ng x x x x =-----≥g(2)=0恒成立, 所以f (x )≤x-1成立.当n 为奇数时, 要证()f x ≤x-1,由于1(1)nx -<0,所以只需证ln(x -1) ≤x -1,令 h (x )=x -1-ln(x -1), 则 12()111x h x x x -'=-=--≥0(x ≥2), 所以 当x ∈[2,+∞]时,()1ln(1)h x x x =---单调递增,又h (2)=1>0, 所以当x ≥2时,恒有h (x ) >0,即ln (x -1)<x-1命题成立.综上所述,结论成立. 证法二:当a =1时,1()ln(1).(1)nf x x x =+-- 当x ≥2,时,对任意的正整数n ,恒有1(1)nx -≤1,故只需证明1+ln(x -1) ≤x -1.令[)()1(1ln(1))2ln(1),2,h x x x x x x =--+-=---∈+∞则12()1,11x h x x x -'=-=-- 当x ≥2时,()h x '≥0,故h (x )在[)2,+∞上单调递增, 因此 当x ≥2时,h (x )≥h (2)=0,即1+ln(x -1) ≤x -1成立.故 当x ≥2时,有1ln(1)(1)nx x +--≤x -1. 即f (x )≤x -1.(22)(Ⅰ)证明:由题意设221212120(,),(,),,(,2).22x x A x B x x x M x p p p-<由22x py =得22x y p =,则,xy p'=所以12,.MA MB x x k k p p==因此直线MA 的方程为102(),x y p x x p +=- 直线MB 的方程为202().x y p x x p+=-所以211102(),2x xp x x p p+=-①222202().2x xp x x p p+=- ②由①、②得212120,2x x x x x +=+- 因此 1202x x x +=,即0122.x x x =+ 所以A 、M 、B 三点的横坐标成等差数列.(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,当x 0=2时, 将其代入①、②并整理得: 2211440,x x p --=2222440,x x p --=所以 x 1、x 2是方程22440x x p --=的两根,因此212124,4,x x x x p +==-又22210122122,2ABx x x x x p p k x x p p-+===-所以2.AB k p=由弦长公式得AB ==又AB = 所以p =1或p =2,因此所求抛物线方程为22x y =或24.x y =(Ⅲ)解:设D (x 3,y 3),由题意得C (x 1+ x 2, y 1+ y 2),则CD 的中点坐标为123123(,),22x x x y y y Q ++++设直线AB 的方程为011(),x y y x x p-=-由点Q 在直线AB 上,并注意到点1212(,)22x x y y ++也在直线AB 上,代入得033.x y x p=若D (x 3,y 3)在抛物线上,则2330322,x py x x ==因此 x 3=0或x 3=2x 0.即D (0,0)或2002(2,).x D x p(1)当x 0=0时,则12020x x x +==,此时,点M (0,-2p )适合题意.(2)当00x ≠,对于D (0,0),此时2212222212120002(2,),,224CDx x x x x x pC x k px px +++==又0,AB x k p=AB ⊥CD , 所以222201212201,44AB CDx x x x x k k p px p++===-g g 即222124,x x p +=-矛盾.对于2002(2,),x D x p 因为22120(2,),2x x C x p+此时直线CD 平行于y 轴, 又00,AB x k p=≠ 所以 直线AB 与直线CD 不垂直,与题设矛盾, 所以00x ≠时,不存在符合题意的M 点. 综上所述,仅存在一点M (0,-2p )适合题意.(21)(本小题满分12分)两县城A 和B 相距20km ,现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关,对城A 和城B 的总影响度为城A 与城B 的影响度之和,记C 点到城A 的距离为x km ,建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y,统计调查表明:垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比,比例系数为k ,当垃圾处理厂建在的中点时,对城A 和城B 的总影响度为0.065.(I )将y 表示成x 的函数;(Ⅱ)讨论(I )中函数的单调性,并判断弧上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小?若存在,求出该点到城A 的距离;若不存在,说明理由。

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