v v ∂ri ∂ri , 由于r是广义坐标和时间的函数，即r=r(qα,t)，所以 ∂qα ∂t 义坐标和时间和函数，不显含广义速度。 v v v v v & & & & & ∂ri ∂q1 ∂ri ∂q2 ∂ri ∂qα ∂r ∂ri ∂qs ∂ = + +L+ +L+ + ∴ & & & & & & ∂qα ∂q1 ∂qα ∂q2 ∂q∂ ∂qα ∂qα ∂qs ∂qα ∂qα v ∂r = i 这就是我们要证明的第一个关系。 ∂qα
v v 当力学体系受理想约束时，有 ∑ ( Ri ⋅ δ ri ) = 0
n i =1
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则
v v n v v Fi ⋅ δ ri − ∑ mi && ⋅ δ ri = 0 LL (22) ri ∑
n i =1 i =1
（22）式说明非惯性系中主动力和惯性力的虚功的代数和为零，称 为是非惯性系的虚功原理，方程（22）称为d’Alembert-Lagrange方程， 又叫第一类Lagrange方程。方程是用功的形式表述的。所以称为是力 学方程的普遍形式。
v v ∂ d ri d ∂ ri 利用（27）式 B： ( ∂ q ) = ∂ q ( dt )LL (27) dt α α
v v v n n v ∂ ri d v ∂ dri v ∂ri & & r + ∑ mi ri ( ) (∑ mi ri ) = ∑ m i &&i 得 ∂qα dt ∂qα ∂qα dt i =1 i =1 i =1 v v n n & ∂ ri v v ∂ ri & = ∑ m i && ri + ∑ m i ri LL (30) ∂ qα ∂qα i =1 i =1 v v v n n d n v ∂ri v ∂ ri ∂ri v & && & & = ( ∑ mi ri ) − ∑ mi ri ∴ ∑ m i ri LL (31) ∂qα ∂ q α dt i =1 ∂qα i =1 i =1
§5.3 Lagrange方程
§3.1 d’Alembert原理 1、 d’Alembert原理 v v 设质点m受主动力 F ，约束力 R ，由牛顿方程得：
v v v && LL (19) F + R = mr
将方程（19）右边的项移到左边
v v v F + R − m&& = 0 LL (20) r
v v 设 δri是体系在约束许可条件下mi的任一虚位移，用δri标乘（20）式， 得：
v v v v &&) ⋅ δr = 0 (i = 1,2,3, L n)LL (21) ( Fi + Ri − mi ri i
n i =1 i =1
v v v n v v && 对各质点的方程求和，得 ∑ (Fi − mi ri ) ⋅ δri + ∑ ( Ri ⋅ δ ri ) = 0
是用广义力表述的平衡方程。
§3.2.一般(基本)形式Lagrange方程
§3.2.1 几个常用的基本关系
v v & ∂ ri ∂ ri = A： LL (26) & ∂ qα ∂ qα
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v v v s ∂ ri d ri ∂ ri v & & Q ri = qα + =∑ ∂t dt α =1 ∂ qα
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v
d’Alembert原理的特殊之处在于，它把求运动问题转化为了求平 衡问题，把动力学问题化为了静力学问题了。
2.第一类Lagrange方程
v v 设有个n质点的约束体系mi，受主动力分别为 Fi ，约束力分别为 Ri ， 则mi运动满足d’Alembert方程，得
v v v Fi + Ri − mi && = 0 LL (20)′ ri
这就证明了第二个关系。
∂T C： = ∂ qα
∑
i =1
n
v ∂ ri v & & LL (28) m i ri ∂ qα
n
n
v & 1 ∂ v2 v ∂ri 1 v2 ∂T ∂ & & & ri = ∑ mi ri (∑ mi ri ) = ∑ mi = ∂qα ∂qα ∂qα ∂qα i =1 2 i =1 2 i =1
v v v v & ∂ri ∂ri ∂ dri ∂ s ∂ri & ∴ ( )= (∑ = qα + ) & & & ∂qα α =1 ∂qα ∂t ∂qα ∂qα dt
也是广
v ∂ri ( ) ∂t
v v ∂ d ri d ∂ ri ( )= ( )LL (27) B： ∂ q α dt dt ∂ q α
n
d ∂T ∂T ( )− = Qα 式代入（36）式，得 将（33） & dt ∂qα ∂qα
d ∂T ∂T ∂V ( )− =− & dt ∂qα ∂qα ∂qα
∂T ∂V d ∂T ( )− + =0 整理 ，得 & ∂qα ∂qα dt ∂qα
∂ d ∂T ( )− (T − V ) = 0LL (37) 即 & dt ∂qα ∂qα
方程式可以理解为是以m为参照系时质点的动力学方程，它是受主动 力、约束力、惯性力的平衡方程，是非惯性系中的动力学方程。这 是由d’Alembert提出的观点，故称d’Alembert原理。它是用力表述的。
r 对单个质点而言，− m&&是惯性力，但是对质点组就无法用一个统一 v − m&& 理解为是惯性系中的力，叫逆效力或 r 的参照系来描述。所以将 倒转有效力(renersed effeclive force).
n
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将（28）、（29）代入，得 v n d ∂T ∂T v ∂ ri )− LL (32) = ( Pα = ∑ m i && ri & ∂qα ∂ q α dt ∂qα i =1
d ∂T ∂T = Qα (α = 1,2,3, L s ) LL (33) ( )− 由 Qα = Pα，得 & ∂qα dt ∂qα
n
Qα − Pα = 0LL (24)
或 Qα = Pα (α = 1,2,3, L s )LL (25) 方程（25）说明受理想约束的力学体系在d’Alembert的非惯性系中 平衡的必要充分条件是主动广义力和惯性广义力相等。 平衡的必要充分条件是主动广义力和惯性广义力相等
(24), (25)式称为广义坐标系下的d’Alembert-Lagrange方程。它们
v v s 主动力的虚功之和为 δA = ∑ Fi ⋅ δri = ∑ Qα δqα
n i =1
α =1
(3)通过δqi上的虚功求广义力
Qi = (δAi ) 依次求得每一个广义力。 δqi
(4)力学体系所受主动力均为保守力时
∂V ∂xi ∂V ∂yi ∂V ∂zi ∂V − )=− Qα = ∑ (− − ∂xi ∂qα ∂yi ∂qα ∂zi ∂qα ∂qα i =1
v n n n v ∂ri ∂z ∂xi ∂yi ∴ Qα = ∑ Fi ⋅ = ∑ Fxi + ∑ Fzi i + F ∂qα i=1 ∂qα ∑ yi ∂qα i =1 ∂qα i =1 i =1
n
∂V ∂xi ∂V ∂y i ∂V ∂z i ∂V ) =− = ∑ (− − − LL (36) ∂qα ∂xi ∂qα ∂y i ∂qα ∂z i ∂qα i =1
n
这是我们证明的第三个关系式。
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∂T = D: & ∂ qα
∑
i =1
n
v v ∂ ri & m i ri LL (29) ∂ qα
v n n & ∂ n 1 v2 ∂T 1 ∂ v2 v ∂ri & & & = (∑ mi ri ) = ∑ mi ri = ∑ mi ri & & & & ∂qα ∂qα i =1 2 ∂qα ∂qα i =1 i =1 2 v n v ∂ri & (利用了第一个关系式 ) = ∑ mi ri ∂qα i =1
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一般形式Lagrange的右边是广义力，因此在利用一般形式Lagrange方 程时需要求出广义力。广义力可以通过下面几种方法求得： (1)从定义出发计算 v n n n n v ∂ri ∂xi ∂yi ∂zi ∴ Qα = ∑ Fi ⋅ = ∑ Fxi + ∑ Fyi + ∑ Fzi ∂qα i =1 ∂qα i =1 ∂qα i =1 ∂qα i =1 (2)通过主动力的虚功之和求广义力
v ∂ri 由于r是广义坐标和时间的函数，所以 也是广义坐标和时间 ∂qα 的函数，因此有
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v v v ∂ ∂ri d ∂ri ∂ ∂ri & & ( )q 2 + ( )= ( )q1 + ∂q 2 ∂qα dt ∂qα ∂q1 ∂qα v v v ∂ ∂ri ∂ri ∂ ∂ri ∂ ) & & L+ ( )q β + L + ( )q s + ( ∂t ∂qα ∂ q β ∂q α ∂q s ∂qα v v v v v s s d ri ∂ri ∂ri ∂ ri ∂ 2 ri ∂ ∂ ∂ & & ( )qβ ] + = ∑[ ( ) qβ + = (∑ )= ∂ q α dt ∂ qα ∂ qα ∂ t ∂qα β =1 ∂q β ∂t β =1 ∂ q β