因式分解方法大全(一)
因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中。
因式分解是将一个多项式转化成几个整式的积的形式，叫因式分解或分解因式。
它与整式乘法是方向相反的变形，是有效解决许多数学问题的工具。
因式分解方法灵活，技巧性强。
初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。
因式分解的主要方法：
⑴提公国式法；
⑵运用公式法；
⑶分组分解法；
⑷十字相乘法；
⑸添项折项法；
⑹配方法；
⑺求根法；
⑻特殊值法；
⑼待定系数法；
(io)主元法；
(11)换元法；
(⑵综合短除法等。
一、提公因式法：ma + mb÷me = m(a + 6 + c)
二、运用公式法：⑴平方差公式：a2-b2=(a + b)(a-b)
⑵完全平方公式：a2±2ah + h2=(a±b)2
⑶立方和公式：a3+b3=(a + b)(a2-ab-^-b2)(新课标不做要求)
⑷立方差公式：a3-b3=(a-hXa2^-ah + b2)(新课标不做要求)
(5)三项完全平方公式：a1+⅛2 +c2 + 2ab + 2ac + 2bc= (tz + ⅛ + c)2
(6) / -1- b + i — 3abc = (a + + C)(Ω~÷b~ + c~ —cιb — be —
cιc)
三、分组分解法.
㈠分组后能直接提公因式
例：分解因式：2ax- lθay + 5by -bx 解法一：第一、二项为一组；
第三、四项为一组。
解：J≡⅛= (2ax -1 Oay) + (5by - bx)
=2a(x - 5y) - b(x - 5y) = (x-5y)(2a-b)
㈡分组后能直接运用公式或提公因式 例：分解因式：a 2 -2ah-^-h 2 -c 2 解：原式=(〃2-2加/)-/
= (a-b)2 -c 2
-{a-b + c){a-b-c)
四、十字相乘法.
凡是能十字相乘的二次三项式ax 1
+bx + c,都要求Δ = ⅛2-4ac> 0而且是一个完
全平方数。
㈠二次项系数为1的二次三项式：x 2+⅛x + c,
条件：如果存在两个实数P 、q ，使得C =&且b = p +乡，那么
χ2 + /7 M C⅜ 阱)”走
例1、分解因式：x 2 +5x + 6
分析：将6分解成两个数的积，且这两个数的和等于5。
解法二：第一、四项为一组；
第二、三项为一组。
原式:(2奴-⅛x) + (-∖0ay + 5by)
=x(2a -b)- 5y(2a 一 b) = (2a-b)(x-5y)
由于6=2×3= (-2) × (-3)=l×6=(-l) × (-6),从中可以发现只有2X3的分解适
合，即2+3=5 o
1 2
X
解：Λ2 + 5x + 6 = x2 + (2 + 3)x + 2×3 1 3
= (x + 2)(x + 3) 1×2+1×3=5
㈡二次项系数不为1的二次三项式——ax1 +bx + c
条件：(1) a = a↑a2c1
X
(2) c = c1c2a2 c2
(3) b = a i c2 +a2c l b-a x c2 +a2c l
分解结果：ax2 + /?% + C = («, X + c1 )(6f2Λ + c2)
例2、分解因式：3X2-11X+10
分析：1、/一2
3 -5
(-6) + (-5) = -11
解：3%2— 1 lx ÷ 10 = (x — 2)(3x — 5)
㈢二次项系数为1的齐次多项式
例3、分解因式：m2 -6mπ + 8n2
解：原式二m~ + [(-2n) + (―4n)]m + (―2n)(-4n) 1 -2n
X
= (m-2n)(m -4n) 1 一4n
(-2n) + (-4n) = -6n ㈣二次项系数不为1的齐次多项式
例4、2X2 -Jxy + 6y2
1、 ,一2y
2 - 3y
(-3y) + (-4y) = -7y
解：原式二(x —2y)(2x —3y)
五、添项、拆项法：
(1)、巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项(或几项) 适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。
例1、因式分解Q2-Z√+4Q +2H +3
解析：根据多项式的特点，把3拆成4+ (-1),
解:a2-b2 +4a + 2b + 3
=cr -b2 +4。
+ 2〃 + 4-1
= (tz2+46z + 4)-(Z?2-2/? + l)
= (tz + 2)2-(⅛-l)2
=(Q + 〃 + l)(a — Z7 + 3)
例2、因式分解X3+6X2+11X +6
解析：根据多项式的特点，把6/拆成2,+4/；把1我拆成8x + 3x
解：x3 +6X2 +1 lx + 6
=(x3 + 2X2)+(4X2 + 8x) + (3x + 6)
= X2(X +2)+4X(X+2)+3(X +2)
=(x + 2)(x~ ÷4x + 3)
=(Λ+I)(X+2)(x+3)
(2)、巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，
再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。
例3、因式分解∕+4j∕
解析：根据多项式的特点，在/ +4;/中添上4/儿_4/),2两项，
解：X4+4∕
=(x4 +4x2y2 +4y4)-4x2y2
= (x2+2y2)2-(2xy)2
=(x2÷2Λ›,+2J2)(X2-2xy + 2y2)
例4、因式分解X3-3X2+4
解析：根据多项式的特点，将一3χ2拆成_4元2+%2,再添上4χ,-4χ两项，则
解：√-3X2+4
=x3-4X2+4X + X2-4X +4
=x(x2 - 4x + 4) + (x2 - 4x + 4)
=(x2 -4x + 4)(x + l)
=(X +1)(X-2)2
六、配方法。
对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例：分解因式f+6%-72
解：x~ ÷ 6x —72
=x2 ÷6x+9-9-72
=(X +3)2-92
= (x+3+9)(x+3-9)
= (x+12)(x-6)。