河北省石家庄市二中学2021届 高三上学期期中考试试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题（每小题5分，共40分。

下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1、已知集合{}2|450A x x x =--<，{}|10B x x =->，则A B =（ ）A ．(),1-∞ B ．(1,1)-C ．()1,5 D ．()0,52、若函数sin y x =的图象与直线y x =-一个交点的坐标为()00,x y ，则220031cos 2x x π⎛⎫-++=⎪⎝⎭( )A ．1-B ．1C ．±1D ．无法确定3、沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为12cm ，体积为372πcm 的细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此锥形沙堆的高度为（ ）A ．3cmB ．8cmC ．6cmD ．9cm 4、已知向量()5,a m =，()2,2b =-，若()a b b -⊥，则实数m =（ ）A ．-1B ．1C ．2D ．-25、已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α 6、函数()()sin f x A wx ϕ=+的部分图像如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图像交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 的图像关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称 C ．函数()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 D ．函数()f x 的图像向右平移512π个单位长度后关于原点成中心对称7、将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯，34⨯三种，其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称34⨯为12的最佳分解.当p q ⨯(p q ≤且p ､∈q N *)是正整数n 的最佳分解时，我们定义函数()f n q p=-，例如()12431f =-=，则数列(){}3nf 的前2020项和为（ ）A ．101031-B ．10103C ．101131-D ．101138、若函数()()e ,01,1,0xx f x af x x ⎧<≤⎪=⎨+≤⎪⎩是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．10,e ⎛⎤⎥⎝⎦ D ．()0,1 二、多项选择题（每小题5分，共20分。

下列每小题所给选项至少有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 9、已知等比数列{}n a 中，满足11a =，2q ，n S 是{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ） A ．数列{}2n a 是等比数列B ．数列1n a⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列C ．数列{}2log n a 是等差数列D ．数列{}n a 中，10S ，20S ，30S 仍成等比数列10、x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数.十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”．则下列命题中正确的是（ ） A ．[]1,0x ∀∈-，[]1x =-B ．x ∃∈R ，[]1x x ≥+C ．,x y ∀∈R ，[][][]x y x y +≤+D ．函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[)0,111、如图，在边长为4的正三角形ABC 中，E 为边AB 的中点，过E 作ED AC ⊥于D .把ADE 沿DE 翻折至1A DE △的位置，连结1A C .翻折过程中，其中正确的结论是（ ）A ．1DE A C⊥；B ．存在某个位置，使1A E BE⊥；C ．若12CF FA =，则BF 的长是定值； D ．若12CFFA =，则四面体C EFB -的体积最大值为12、已知定义在(1,)+∞上的函数ln 32()1x x x f x x +-=-，定义函数(),()(),()f x f x m g x m f x m ≥⎧=⎨<⎩（其中m 为实数），若对于任意的(1,)x ∈+∞，都有()()g x f x =，则整数m 可以为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．7第Ⅱ卷（共90分）三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分；第16题第一个空2分，第二个空3分）13、已知函数()31,0log ,0x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩，则()()8f f -=____________． 14、若直线l ：2(0,0)x ya b a b +=>> 经过点(2,4)，则+a b 的最小值是_______．15．已知在锐角ABC 中，3A π=，2CA CB -=,则CA CB ⋅的取值范围是 .16.我国古代《九章算术》中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童.如图的刍童ABCD EFGH -有外接球，且6AB =，22AD =，15EH =，EF =，平面ABCD与平面EFGH 间的距离为1，则该刍童外接球的体积为_____.四、解答题：（本大题共6小题，共70分;第17题10分，第18-22题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17、已知等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，前n 项和为n S，且满足_____. （从①10105(1);S a =+②126,,a a a 成等比数列；③535S =，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题） （1）求na ；（2）若12n n b =，求数列{}n n a b +的前n 项和nT .18、在ABC 中，角、、AB C 所对的边分别为a b c 、、， 2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=；（1）证明：ABC 为等腰三角形；（2）若D 为BC 边上的点，2BD DC =，且2ADB ACD ∠=∠，3a =，求b 的值．19、如图，三棱锥A BCD -中，侧面ABD △是边长为2的正三角形，22AC CD ==，平面ABD ⊥平面BCD ，把平面ACD 沿CD 旋转至平面PCD 的位置，记点A 旋转后对应的点为P （不在平面BCD 内），M 、N 分别是BD 、CD 的中点.（1）求证：CD MN ⊥；（2）求三棱锥C APD -的体积的最大值.20、为了研究某种癌细胞的繁殖规律和一种新型抗癌药物的作用，将癌细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，癌细胞的繁殖规律与天数的关系如下表.已知这种癌细胞在小白鼠体内的个数超过810时小白鼠将会死亡，注射这种抗癌药物可杀死其体内癌细胞的98%.（1）要使小白鼠在实验中不死亡，第一次最迟应在第几天注射该种药物？(精确到1天) （2）若在第10天，第20天，第30天，……给小白鼠注射这种药物，问第38天小白鼠是否仍然存活？请说明理由.（注：301.02lg ≈）21、在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，2224AB CD BC AD ====，60DAB ∠=︒，AE BE =，PAD ∆为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD .（1）求二面角P EC D --的余弦值；（2）线段PC 上是否存在一点M ，使异面直线DM 和PE 所成角的余弦值为？若存在，指出点M 的位置；若不存在，请说明理由.22、已知函数()2214ln3xaf x xx+=++-，()4lng x x=．（1）求证：()211f x ax⎛⎫≥-+⎪⎝⎭；（2）用{}max,p q表示p，q中的最大值，记()()(){}max,h x f x g x=，讨论函数()h x零点的个数．——★ 参 考 答 案 ★——一、 单项选择题1-4 C B C B 6-8 DBAC 二、多项选择题9. AC 10. CD 11. ACD 12.AB 三、填空题13、2 14、3+ 15、（0，,12） 16、36π. 四、解答题17、解：（1）①由()101051S a =+，得()11109105912a d a d ⨯+=++，即11a =；②由1a ，2a ，6a 成等比数列，得2216a a a =，222111125a a d d a a d++=+，即13d a =﹔③由535S =，得()15355352a a a +==，即3127a a d =+=；选择①②、①③、②③条件组合，均得13a =、3d =，即32n a n =-﹔（2）由（I ）得3221n n n n a b -=++，则231111[147(32)]()2222n n T n =++++-+++++11(1)(132)221212n n n -+-=+-232122n n n -+=-， 即232122n nn n T -+=- 18、 解：（1）2sin cos sin 2sin b C A a A c B +=，由正弦定理得：22cos 2bc A a cb +=，由余弦定理得：2222222b c a bc a bc bc +-⋅+=；化简得：222b c bc +=,所以()2b c -=即b c =， 故ABC 为等腰三角形．（2）如图，由已知得2BD =，1DC =，2,ADB ACD ACD DAC ∠=∠=∠+∠ACD DAC ∴∠=∠， 1AD CD ∴==，又cos cos ADB ADC ∠=-∠，22222222AD BD AB AD CD AC AD BD AD CD +-+-∴=-⋅⋅， 即2222221211221211c b +-+-=-⨯⨯⨯⨯，得2229b c +=， 由（1）可知b c =，得b =解法二：取BC 的中点E ，连接AE ．由（1）知,AB AC AE BC =∴⊥， 由已知得31,1,22EC DC ED ===， 2,ADB ACD ACD DAC ∠=∠=∠+∠ACD DAC ∴∠=∠，2AE ∴===，b AC ∴====．19、解：（1）如图，连接AM 、MC ，因为AB AD =，M 是BD 的中点，所以AM BD ⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，AM ⊂平面ABD ， 所以AM ⊥平面BCD ，MC ⊂平面BCD ，所以AM MC ⊥．因为ABD △为边长为2的正三角形，所以AM = 又2AC =，所以由勾股定理可得1MC ==，又1MC MD MB ===，MCB MBC ∴∠=∠，MCD MDC ∠=∠，180MBC MDC BCD ∠+∠+∠=，则2180BCD ∠=，90BCD ∴∠=，所以BCD 为直角三角形，且BC CD ⊥，又M 、N 分别是BD 、CD 的中点，所以//MN BC ，所以MN CD ⊥；（2）如图，连接AN 、PN ，因为三棱锥C APD -与三棱锥P ACD -为同一个三棱锥，且ACD △的面积为定值， 所以当三棱锥P ACD -的体积最大时，则平面PCD ⊥平面ACD ，AC AD =，则PC PD =，N 为CD 的中点，则PN CD ⊥，平面PCD ⊥平面ACD ，平面PCD平面ACD CD =，PN ⊂平面PCD ，PN ∴⊥平面ACD ，此时点P 到平面ACD的距离为2PN AN ===，在ACD △中，因为2AC AD ==，1CD =，所以11122ACD S CD AN =⋅=⨯=△， 所以P ACD V -的最大值为115338ACD S PN ⋅==△， 所以三棱锥C APD -的体积的最大值为58．20、解：（1）根据表格可得癌细胞个数，成等比数列增长，首项为1，公比为2，其通项为12t t a -=，要使小白鼠在实验中不死亡，可建立不等式18210t -≤.∴82log 10127.58t ≤+≈，即第一次最迟应在第27天注射该种药物.（2）设第n 次注射药物后小白鼠体内的这种癌细胞个数为na ，则()912198%a =-，且()1012198%n na a +=-.∴()1012198%nn n a -=-∴()3103132198%a ⨯-=-，即第3次注射后小白鼠体内的这种癌细胞个数为3232100.∴到第38天小白鼠体内这种癌细胞个数为32878322 1.11010100⨯≈⨯<，∴第38天小白鼠仍然存活.21、解：设O 是AD 中点，PAD ∆为正三角形，则PO AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，PO ⊥面ABCD ，又∵2AD AE ==，60DAB ∠=︒，所以ADE 为正三角形，OE AD ⊥， 建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，则((),PE ()(),1,0,0C D --，于是(2,3,3),(0,3,PC PE=--=，DP =，(1)设平面PEC 的法向量为1(,,)n x y z =，由120,0PC n PE n ⋅=⋅=得一个法向量为1(0,1,1)n =，平面EDC 的一个法向量为2(0,0,1)n =，设二面角PEC D --的平面角为θ，则12|cos |cos ,n n θ=<>== 由图知为θ锐角，所以，二面角P EC D --的余弦值为.(2) 设(01)PM PC λλ=，则(2,)PM λ=-，(12,3,33),(0,3,DM DP PM PE λλλ=+=--=，所以cos ,8||6DM PE DM PE DM PE ⋅<>===‖解得13λ=或23，所以存在点M 为线段PC 的三等分点.22、解：（1）设()2221114ln 314ln 1x x a a x x x x x ϕ+⎛⎫⎛⎫=++----=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 其定义域为()0,∞+，()()2241114x xx x x ϕ-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭'．当01x <<时，()0x ϕ'<；当1x >时，()0x ϕ'>．故()x ϕ在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数，所以1x =是()x ϕ的极小值点，也是()x ϕ的最小值点，即()()()min10x x ϕϕϕ≥==，故()211f x ax ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭成立．（2）函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()()3232211422x x x x x f x x +-=--='，当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>；所以()f x 在()0,1上是减函数，在()1,+∞上是增函数，所以1x =是()f x 的极小值点，也是()f x 的最小值点，即()()min 1f x f a==．（ⅰ）若0a =，()()()()22131213x x x x x x x f g -++=-=--．当01x <<时，()()f xg x >；当1x =时，()()f xg x =；当1x >时，()()f xg x <，所以()()(),01,,1,f x x h x g x x ⎧<<⎪=⎨≥⎪⎩此时，()h x 只有一个零点1x =；（ⅱ）若0a >，()()()()2131x x f x g x ax -+-=-+， 当01x <≤时，()()f xg x >，则()()0h x f x a =≥>；当1x >时，()0f x a >>，()0g x >，则()0h x >．此时()h x 没有零点；（ⅲ）若0a <，当01x <<时，根据（1）知，()211f x ax ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭．而01<<，所以)2110f a >-+=，又()()min 10f x f a ==<，所以()f x 在()0,1上只有一个零点0x，从而一定存在()0,1c x ∈，使得()()f c g c =，即22130c a c ++-=，即2213c a c +-=． 当x c >时，()()222212121320x x c x c c x a x x c g x f cx c x x +++-+⎛⎫=--+=-+=+> ⎪⎝⎭-，所以()()g x f x >，从而()()(),0,,f x x c h x g x x c ⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩从而()h x 在()0,c 上有一个零点0x ，在(),c +∞上有一个零点1．此时，当0a <时，()h x 有两个零点．综上，当0a =时，()h x 有一个零点；当0a >时，()h x 没有零点；当0a <时，()h x 有两个零点．。