此
卷
只
装
订
不
密
封 座位号
班级
姓名
准考证号
考场号
【原创】2021 届高三上学期期中试卷 数学试卷
注意事项： 1． 答 题 前 ， 先 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 填 写 在 试 题 卷 和 答 题 卡 上 ， 并 将 准 考 证 号 条 形
码粘贴在答题卡上的指定位置。 2． 选 择 题 的 作 答 ： 每 小 题 选 出 答 案 后 ， 用 2B 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂
9．已知
的展开式中各项系数之和为 ，第二项的二项式系数为 ，则（ ）
A．
B．
C．展开式中存在常数项 D．展开式中含 项的系数为 【答案】ABD
【解析】令 ，得
的展开式中各项系数之和为
，所以
，
选项 A 正确；
的展开式中第二项的二项式系数为
，所以
，
的展开式的通项公式为
，
，选项 B 正确；
令
，则
，所以展开式中不存在常数项，选项 C 错误；
的外接球表面积为 （即 ）与 是相交直线，故该说法错误；
B 项，由已知可得
，
又平面
平面
，所以
平面
，
在矩形
中，
的面积
，
又
，所以三棱锥
所以该说法正确；
的体积
C 项，由
平面
，得
，
又
，所以
平面
，所以
D 项，由题意可得四边形
为矩形，连接 ，
， ，所以该说法正确；
则矩形
外接圆的圆心为 的中点 ，且
，
过作
与点 ，连接 ， ，
A． B． C．
D．
【答案】A
【解析】
，
，
因为
，所以
．
3．为了评估某家快递公司的服务质量，某评估小组进行了客户满意度调查，从该公司参与调查的客
户中随机抽取 名客户的评分，评分均在区间
上，分组为
，
，
，
，
，其频率分布直方图如图所示．规定评分在 分以下表示对该公司的服务质量
不满意，则这 名客户中对该公司的服务质量不满意的客户的人数为（ ）
令
，则
，所以展开式中含 项的系数为
，选项 D 正确．
10．已知函数 导函数，函数
的图象的一条对称轴为直线 ，则下列说法正确的是（ ）
， 为函数
的
A．直线
是
图象的一条对称轴 B．
的最小正周期为
C．
是
【答案】BD
图象的一个对称中心 D．
的最大值为
【解析】因为
的图象的一条对称轴为直线
，
所以
，
，所以
，
，
又
，所以
，
由于
，所以
恒成立，故 A 不具有性质 ；
对于 B，函数
的定义域为 ，取
，
，则
，
所以
，所以
成立，故 B 具有性质 ；
对于 C，函数
的定义域为
，当
，
时，
，
由于
，所以
，易知
在
上单调递增，
所以 对于 D，函数
恒成立，故 C 不具有性质 ；
的定义域为 ，易知
为奇函数，
取
，则
，所以
，
，
所以
成立，故 D 具有性质 ．
，所以
，所以
，
所以 ，
，且 B、D 正确．
，所以
的最大值为 ，最小正周期为 ，故 A、C 错误，
11．如图，直接三棱柱
，
为等腰直角三角形，
，且
，
， 分别是 ， 的中点， ， 分别是 ， 上的两个动点，则（ ）
A． 与 一定是异面直线
B．三棱锥
的体积为定值
C．直线 与 所成角为 D．若 为 的中点，则四棱锥 【答案】BCD 【解析】A 项，当 ， 重合时，
第Ⅰ卷
一 、单项 选择 题：本题 共 8 小题 ，每小 题 5 分 ，共 40 分．在每 小题 给出 的四 个选 项中 ，只 有一项是符合题目要求的．
1．若复数
为纯虚数，则实数 的值为（ ）
A． B． C． D． 【答案】D
【解析】由
为纯虚数，
可得
，解得
．
2．已知集合
，
取值组成的集合为（ ）
，若
，则 的可能
A． B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意知，
，
当
时，
，函数
在 上单调递增，没有两个不同的零点；
当
时，
，得
，
，
，函数
在
上单调递增；
，
，函数
在
上单调递减，
故
在
处取得最小值，
所以
，得
，
所以 的取值范围为
．
二 、多项 选择 题：本题 共 4 小题 ，每小 题 5 分 ，共 20 分．在每 小题 给出 的选 项中 ，有多 项 符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分．
则
，
，
，故
，
所以 就是四棱锥 故外接球的表面积
的外接球的球心，所以外接球半径
，
，故该说法正确．
12．若 存在两 个不相 等的实 数 ， ，使 ， ，
均在函数
的定义域内，且满足
，则称函数 具有性质 ，下列函数具有性质 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】对于 A，因为函数
的定义域为 ，
，
所以
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
A． B． C． D． 【答案】A
【解析】由频率分布直方图可知，评分在区间
上的频率为
，
所以评分在区间
上的客户有
（人），
即对该公司的服务质量不满意的客户有 人．
4．已知定义在 上的奇函数
在
上单调递减，且
，
，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
【答案】A
【解析】因为定义在单调递减且
所以
，
又
，所以
，
而 5．已知四边形
，所以
，所以
．
中， ， 分别为 ， 的中点，
，则
（）
，若 ，
，
， ，若
A． B． C． D． 【答案】A
【解析】依题意，可知四边形
为直角梯形，
，
，
且
，
，
所以
．
6．已知在正方体
中， ， 分别为 ， 上的点，且满足
，
，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A．
B． C． D．
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3． 非 选 择 题 的 作 答 ： 用 签 字 笔 直 接 答 在 答 题 卡 上 对 应 的 答 题 区 域 内 。 写 在 试 题 卷 、 草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4． 考 试 结 束 后 ， 请 将 本 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交 。
【答案】A
【解析】取线段 上一点 ，使
，连接 ， ，如图所示，
因为 所以 又
，
，所以
，
，
，
，所以易知
为异面直线 与 所成的角．
设该正方体的棱长为 ，则
所以在
中，
，
，
，
所以
．
7．已知双曲线
的渐近线分别为 ， ，点 是 轴上与坐标原点 不重合
的一点，以 为直径的圆交直线 于点 ， ，交直线 于点 ， ，若 该双曲线的离心率是（ ）
，则
A． 或 【答案】C
B． C．
或
D．
【解析】由题意，不妨设
，
，
设
，则
，
设
，由
，得
，
由对称性知，
，且线段 被 平分．
如图，设 与 交于点 ，则
由于 为直径，所以
，
则
，
，连接 ， ，
由 因为
，得
，
，
，所以
或
，即
或
．
又
，所以
或
．
当
时，
，则
当
时，
，则
，离心率
；
，离心率
．
8．若函数
恰有两个不同的零点，则实数 的取值范围为（ ）