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高三理科数学上学期期中考试试卷及答案

河南省实验中学高三年级—上期期中考试 数学(理)(时间:120分钟,满分:150分) 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本卷共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请将所选答案填在答题卷上.1.若复数()1a ia R i +∈+是纯虚数,则实数a 的值为A .1-B . 1C .2-D .22.设集合S = {0 , 1 , 2 , 3 } , T = { x | | x –3 | ≤2},则S ∩T = A .{0 , 1, 2 , 3 } B .{1 , 2 , 3 } C .{0 ,1 }D .{1}3.在等比数列{an}中,若321a a a = 2 ,432a a a = 16,则公比q =A .21B .2C .22D .84.定义集合M 与N 的新运算:M+N=M x x ∈|{或N x ∈且}N M x ⋂∉,则(M+N)+N 等于 A .MB .NC .N M ⋂D .N M ⋃5.若()x f 是R上的增函数,且()(),22,41=-=-f f 设P=(){}31|<++t x f x ,Q=(){}4|-<x f x .若“P x ∈”是“Q x ∈”的充分不必要条件,则实数t的取 值范围是A.t≤-1 B.t>-1 C.t≥3 D.t>36.设函数()20)f x x =≥,则其反函数1()f x -的图象是7.已知函数)(x f 满足)()(x f x f -=π,且当)2,2(ππ-∈x 时,x x x f +=sin )(,设)3(),2(),1(f c f b f a ===,则A.c b a <<B.a c b <<C. a b c <<D.b a c << 8.随机变量ξ服从标准正态分布)1,0(N ,025.0)96.1(=-Φ,则=<)96.1|(|ξPC.A.B.D.A .025.0B .050.0C .950.0D .975.09.若一系列函数的解析式相同,值域相同但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么函数解析式为221y x =+,值域为{3,19}的“孪生函数”共有 A .15个 B .12个 C .9个 D .8个10.函数=y sin -x cos x 与函数=y sin +x cos x 的图象关于A.x 轴对称 B.y 轴对称 C.直线2π=x 对称 D.直线4π=x 对称11.方程θθcos 2sin =在[0,)2π上的根的个数为A .0B .1C .2D .412.已知)()(x 、g x f 都是定义在R 上的函数, g(x)≠0,)()()()(''x g x f x g x f <, )()(x g a x f x=,25)1()1()1()1(=--+g f g f ,在有穷数列()()f n g n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭( n=1,2,…,10)中,任意取前k 项相加,则前k 项和大于1615的概率是A .51B .52C .54D .53第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.13.设⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--=)0()0(11)(2x •••••x a x ••xxx f ,要使函数)(x f 在),(+∞-∞内连续,则a 的值为14.已知l 是曲线x x y +=331的切线中倾斜角最小的切线,则l 的方程为 .15.已知命题P :关于x 的不等式ax x >-+-20082006恒成立;命题Q :关于x 的函数()ax y a -=2log 在[0,1]上是减函数.若P或Q为真命题,P且Q为假命题,则实数a 取值范围是 .16.给出定义:若1122m x m -<≤+(其中m 为整数),则m 叫做离实数x 最近的整数,记作{}x ,即 {}x m =.在此基础上给出下列关于函数|}{|)(x x x f -=的四个命题:①函数)(x f y =的定义域是R ,值域是[0,21];②函数)(x f y =的图像关于直线2k x =(k ∈Z )对称; ③函数)(x f y =是周期函数,最小正周期是1;④ 函数()y f x =在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数;则其中真命题是__ .三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)函数)0(21cos )cos sin 3()(>-+=ωωωωx x x x f 的最小正周期为π4.(Ⅰ)求)(x f 的单调递增区间;(Ⅱ)在ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别是c b a ,,,且满足C b B c a cos cos )2(=-,求角B 的值,并求函数)(A f 的取值范围.18.(本小题满分12分) 设数列}{n a 的前n 项和为nS ,已知11,2(1)(1,2,3,).n n a S na n n n ==--=(Ⅰ)求证:数列}{n a 为等差数列,并分别写出na 和nS 关于n 的表达式;(Ⅱ)求12231111lim n n n a a a a a a →∞-⎛⎫+++⎪⎝⎭.19.(本小题满分12分)已知袋中装有若干个均匀的红球和白球,从中摸出一个红球的概率是31.现从中有放回地摸球,每次摸出一个,有3次摸到红球即停止. (Ⅰ)求恰好摸5次停止的概率;(Ⅱ)记5次之内摸到红球的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望. 20.(本小题满分12分)设R a ∈,函数ea ax e x f x)(1(2)(2++=-为自然对数的底数).(Ⅰ)判断)(x f 的单调性;(Ⅱ)若]2,1[1)(2∈>x e x f 在上恒成立,求a 的取值范围.21.(本小题满分12分)已知各项均为正数的数列}{n a ,)2(1>=a a a ,)1(221-=+n nn a a a 其中*n ∈N .(I )证明 :2>n a ;(Ⅱ)设2-=n n n a a b ,①证明 :21nn b b =+;②若数列}{n c 满足nn b c lg =,求数列}{n c 的前n 项和nS .22 .(本小题满分12分)设函数x ax xx f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数.(Ⅰ)求正实数a 的取值范围;(Ⅱ)设1,0a b >>,求证:.ln 1b ba b b a b a +<+<+参考答案 一.选择题ABBAD CDCCC CD 二.填空题13. 2114.y=x 15. 1≤a 16. ①②③三.解答题17. 解:(Ⅰ))62sin()0(21cos )cos sin 3()(πωωωωω+=>-+=x x x x x f π4=T ,41=∴ω )621sin()(π+=∴x x f)](324,344[Z k k k ∈+-∴ππππ单调增区间为 5分(Ⅱ)C b B c a cos cos )2(=- , C B B C B A cos sin cos sin cos sin 2=-A CB B A sin )sin(cos sin 2=+=321cos π=∴=∴B B)621sin()(π+=A A f2626πππ<+<∴A )1,21()(∈∴A f 10分18. 解:(Ⅰ)当n ≥2时,)1(4)1(11----=-=--n a n na S S a n n n n n ,得14(2,3,4,)n n a a n --==.∴数列}{n a 是以11a =为首项,4为公差的等差数列.∴.34-=n a n211()22n n S a a n n n=+=-. 6分(Ⅱ)lim n →∞12231111n n a a a a a a -⎛⎫+++⎪⎝⎭=()()1111lim 155********n n n →∞⎛⎫++++ ⎪ ⎪⨯⨯⨯--⎝⎭=111111111lim ()()()()415599134743n n n →∞⎛⎫-+-+-++- ⎪--⎝⎭=11lim 1443n n →∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭=41. 12分 19. 解:(Ⅰ)由题意知前4次中有两次摸到了红球,第5次摸到的也是红球,所以概率为:8183132312224=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯C4分(Ⅱ)随机变量ξ的聚会为0 , 1 , 2 , 3 .其中,当ξ= 3时,又分三种情况,则()24332311055=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯==C P ξ()24380311311415=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯==C P ξ320π<<A()243803113123225=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛*==C P ξ ()8117313113131311313113132242230333=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==C C C P ξ随机变量ξ的分布列是10分ξ的数学期望为:E ξ=24332× 0 + 24380× 1 +24380× 2 + 8117× 3 =8113112分20.解:(1)由已知)2(21)1(21)(2ax e a ax e x f x x ⋅+++-='-- ),12(212--+-=-a ax ax e x2分令.12)(2--+-=a ax ax x g ①当)(,0)(,01)(,0x f x f x g a ∴<'∴<-==时在R 上为减函数.②当,04)(440)(,022<-=+-=∆=>a a a a x g a 的判别地 )(0)(,0)(x f x f x g ∴<'<∴即在R 上为减函数. 4分③当0<a 时,由,0122>--+-a ax ax 得,1111a x ax -+>--<或由,0122<--+-a ax ax 得,1111a x a-+<<--),(),,()(+∞---+-∞∴a aa a a a x f 在上为增函数;),()(a aa a a a x f ---+在上为减函数 6分(2)①当]2,1[)(,0在时x f a ≥上为减函数..511215.215)2()(222min >>++==∴a e e a e a f x f 得由 10分 ②当2221215)2(,0e e a f a <+=<时21)(e x f >∴在[1,2]上不恒成立,∴a 的取值范围是).,51(+∞ 12分21.解:(I )运用数学归纳法证明如下:①当1=n 时,由条件知21>=a a ,故命题成立;②假设当*()n k k =∈N 时,有 2>k a 成立 那么当1+=k n 时,0)1(2)2(2)1(22221>--=--=-+k k k k k a a a a a 故命题成立综上所述,命题2>n a 对于任意的正整数n 都成立. 4分(II )①22222111442)1(2)1(22nn n n n n n nn n n b a a a a a a a a a b =+-=---=-=+++ 8分②n nn n c b b c 2lg lg 211===++ 且02lg1≠-=a ac∴数列}{n c 是以2lg1-=a ac 为首项,以2为公比的等比数列.2lg)12(--=∴a aS n n . 12分22. 解:(Ⅰ)01)(2'≥-=ax ax x f 对),1[+∞∈x 恒成立,x a 1≥∴对),1[+∞∈x 恒成立.又11≤x , 1≥∴a 为所求. 4分(Ⅱ)取b b a x +=,1,0,1>+∴>>b ba b a ,一方面,由(Ⅰ)知x ax xx f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数,0)1()(=>+∴f b b a f , 0ln 1>+++⋅+-∴b b a b b a a b ba .即b a b b a +>+1ln. 8分另一方面,设函数)1(ln )(>-=x x x x G ,)1(0111)('>>-=-=x x x x x G ,∴)(x G 在),1(+∞上是增函数,又01)1(>=G .∴当1>x 时,0)1()(>>G x G ,∴x x ln >, 即b b a bb a +>+ln. 综上所述,1ln a b a ba b b b ++<<+. 12分。

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