λ=1/6，ζ=0.1，作出βn和φn的频谱图:
n
n
1 0.5 0.5 0 0
3 5 7 9 11
2, 3, 4, 5, 6
n
3 5
7 9 11
n
-0.5
n=1,
2n (2n 1) n ， n arctan ， n 2 2 2 2 1 n n (2n 1) (1 n ) (2n ) 1
n
F e
n

int

F0 i iF i 2 F0 / cos nt 0 0 (cos n 1) , n n n
(n 1,3,)
F (t )
n

F e
n

int
i 2F0 ( )(cosnt i sin nt ) n n 1, 3,
第三章 受迫振动
3.5 简谐力与阻尼力的功 3.6 等效粘性阻尼
3.7 系统对周期激励的响应·傅里叶级数
3.5 简谐力与阻尼力的功
有阻尼的系统在振动时，机械能不断耗散，而振动逐渐衰减. 强迫振动时，激励对振动系统做功，不断输入能量，当输入 与耗散相等时，振动不衰减，振幅保持常值，即稳态振动. (1) 简谐激励力在一个周期内所做的功。 设简谐激励力 F F0 sin t 作用在m上， 运动方程的解为： x X sin(t ) 则在一个周期内激励所做的功：
X
等效黏性阻尼系数与振幅和频率成正比。
(3) 结构阻尼 材料本身的内摩擦而引起的阻力。 对粘弹性材料，加载卸载过程中，应力应变 曲线会形成滞后回线，因此要耗散能量。 实验指出内摩擦引起的阻尼与速度无关，
δ
加载
0
卸载
ε
对大多数金属材料，在振动一周内耗散能量与振幅平方成正比
E X 2
为常数
（3.7.6）
cx kx Fneint的解 xn Anei (nt n )为方程m x
则：
An 1
2 2 (1 2 ) ( 2 ) n n

Fn F n n , (n 1 ， 2， ）（3.7.7） k k
n
2n （3.7.8） ， n arctan ， (n 1 ， 2， ） 2 2 2 2 1 n (1 n ) (2n ) 1
1 Fn T
T /2 int 0
/ int int F ( t ) e dt [ ( F ) e dt F e dt ] 0 0 T / 2 / 0 2 / F0 / int int F0 [e e ]dt (i sin nt )dt 0 0 2

解为：

4F x An sin[(2n 1)t n ] 0 k n 1

n 1

n
sin[(2n 1)t n ] （b）
其中
2n (2n 1) n ， n arctan ， n （c） 2 2 2 2 1 (2n 1) (1 n ) (2n ) n n 1

4 F0 [sin(2n 1)t ] n 1 (2n 1)
4 F0 1 1 [sin t sin 3t sin( 2n 1)t ] （a） 3 2n 1
动力学方程：
cx kx F (t ) m x 4 F0 sin(2n 1)t n 1 (2n 1)
(2) 阻尼力在一个周期内耗散的能量，即一个周期内所做的功.
同样系统作简谐振动，有 对粘性阻尼力 F cx
X cos(t ) x X sin(t ) x F cX cos(t )
阻尼力在一个周期内所做的功：
Ec Fdx
2 / 0
2 2 2
（3.6-10）
事实上，对于简谐激励作用的振动系统，通常都假定振动
系统的稳态响应也是简谐振动。 但对于有非粘性阻尼的系统，这个假定不再正确。
而在实际问题中，较小的阻尼不致过分影响强迫振动的波 形，上述计算方法可以得出有用的结果。
3.7 系统对周期激励的响应 ·傅里叶级数
设质量-弹簧系统受到任意周期力F(t)的激励，激励力的 频率为ω。利用傅里叶级数可将任意周期激励力分解为有 限个或可列无限个谐波分量，则任意周期的激励分解为有 限个或可列无限个谐波分量的简谐激励，系统的响应为对 各个谐波分量响应的叠加。这种分析方法称为谐波分析。 设周期力F(t)的频率为ω，周期为T=2π/ω。将F(t)展开为 傅里叶级数，以复数形式表示为：
括号内第一项是常量，第二项是频率2ω 的正弦波。
例3.5-2 设 F 10sin t , x 2 sin( t 30 )(cm),

求开始6s内与开始1/2s内所做的功.
解：激励力与响应的频率均为 , 周期T 2 / 2s,
开始6s内有三个周期，开始1/2s内只有1/4周期，所以
n n
n
其中，βn和φn分别为第n次谐波激励对应的振幅放大因子和 相位差。λn为第n次谐波的无量纲频率。
以各阶频率为横坐标，作出βn和φn的离散图形，称为频谱图。 可用于分析周期激励力的响应状况。
因此，谐波分析也称为频谱分析。 谐波分析方法也适用于分析任意周期惯性力激励的受迫振 动。
例3.6.1 设质量-弹簧系统受到如图2.10所示的周期方波激励：
F0 F (t ) F0 T 0 t 2 T t T 2
F (t ) F0 O -F0 图2.10 方波激励力 T/2 T
t
试求此系统的响应，令λ=1/6， ζ=0.1，作出频谱图。 解：将激励展开为傅里叶级数： F (t )
每振动一周耗散能量为：
E 4
T /4 0 3
dt 4 3 X 3 cos3 tdt dt 40 x Fx 0
3
3 T /4
T /4
T /4
8 2 3 X [cos 3 t 3 cos t ] dt 0 3 得到等效粘性阻尼系数： (8 / 3) 2 X 3 8 X （3.6-3） ceq 2 3 X
k O0 O r
θ
AlφB源自xcxcos 1 2 sin 2 1
cost t , 上式求导：
sin x B x r sin t l r sin t r sin tcost x r r sin t x sin 2t 2 B r 2 cost r 2 cos2t r 2 (cost cos2t ) x x x
F (t )
n int F e n
其中：
Fn
1 T

T /2
T / 2
F (t )e int dt
(n 0， 1， 2， ）
实数形式的傅立叶级数展开：
a0 F (t ) (an cos nt bn sin nt ) （3.7-2） 2 n1 2 2 a0 记： c n a n bn cn sin(nt n ) 2 n1 a

为任一时刻
这样动力学方程为：
cx kx m x
int F e n
n
（3.7.5）
其中的常值分量F0仅影响系统的静平衡位置，只要将坐 标原点改在静平衡位置，即可将该项消去。 利用线性常微分方程解的可叠加性质，不考虑解的暂态过 程，该系统的稳态响应为：
x
n i ( nt n ) A e n
（3.6-8）
得到等效粘性阻尼系数：
X 2 ceq 2 X
等效黏性阻尼系数与频率成反比。
有了等效粘性阻尼系数，非粘性阻尼强迫振动的方程可写为：
ceq x kx F (t ) m x
（3.6-9）
其特解的振幅为：
X F0 (k m ) (ceq )
E0~6 3 XF0 sin 3 2 10sin 30 30 ( N cm)
E
1 0~ 2

/ 2
0
dt XF0 Fx
/ 2
0
sin t cos( t )dt
/ 2 1 XF0 [sin( 2t ) sin ]dt 0 2 1 1 / 2 XF0 [ sin cos( 2t ) ] 0 2 2 2 1 XF0 [ sin cos ] 16.51( N cm) 2 2
例3.6.2 发电机的振动。
曲柄、连杆质量不计，发电机总 质量m，活塞质量为m1，曲柄转 速ω。设r << l，只保留α=r/l的一 次项，求发电机的响应。 解：活塞的位置坐标xB：
xB x r cos l cos
r sin l sin sin sin
若激励力做功与粘性阻尼力耗散功相等，有 F0 sin XF0 sin c X 2 X c
发生共振时， n , / 2, 可得，
F0 F0 sin F0 X c c cn
例3.5-1 已知 F F0 sin(t ), x X sin t , 求F的功率P. 解： P F dx XF0 sin(t ) cost dt 1 XF0 [sin sin( 2t )] 2
非粘性阻尼在一个周期内耗散的能量为E，可表示为
E ceqX 2
E X 2
得非粘性阻尼的等效粘性阻尼：c eq
（3.6-1）
(1) 干摩擦阻尼 干摩擦力大小Fd与正压力成正比，与运动速度反向：
Fd FN