F0 cos X (k m ),
2
X
F0
F0 sin cX
(k m 2 ) 2 (c ) 2 c tan k m 2
x2 X sin(t )
X
F0 (k m 2 ) 2 (c ) 2
（3.1.2） c tan k m 2
x X 0 sin(t )
F0 m X0 F0 / 3k 3F0 2 4c / mn 4cn 4c k
3.2 复频率响应
复数形式的求解有时更方便
F (t ) F0e
it
k
F(t)
x
c
F0 (cost i sin t )
F为复数形式 F0
外力幅值 外力的激励频率
方程的解（系统的响应）为 0 x F0 x x0 cosnt sin nt (sin t sin nt ) 2 n k m n
方程的全解：
F0 x x0 cosnt sin nt (sin t sin nt ) 2 n k m n 0 x
结论：共振， 振幅无穷大.
振幅无极值
但共振对于来自阻尼的影响很敏感，在 λ =1 附近的区域内， 增加阻尼使振幅明显下降, 阻尼较强时振幅变化平缓。
• 稳态响应特性
X 1 ( ) X0 (1 2 ) 2 (2 ) 2
5 4 3 2 1 0
( )

0
0 .1
共振峰
0.25 0.375 0 .5 1
kx cx m F(t)
动力学方程（非齐次微分方程）：
F0eit cx kx m x cx kx F0eit m x
（2.1.2）
激励为复变量，其实部和虚部分别表示对系统作用的是 余弦激励和正弦激励。 响应 x 也为复变量，其实部和虚部分别表示系统对余弦 激励和正弦激励的响应。
稳态响 X [cos(t ) i sin(t )]
（3.2-3）
其中X为稳态响应的复振幅，φ为相位差。 代入方程，得到： X (m 2 ic k )ei (t ) F0eit F0 （3.2-5） Xe i 2 k m ic 显见x(t)与F(t)/k成正比，比例系数为：
暂态振动包括两部分： ①初始条件响应和自由伴随振动 两部分都是衰减的自由振动
x1 x2
②稳态振动
t
t
x
两种振动叠加的结果如图。
随着时间的推移，暂态响应 逐渐消失，而转化为稳态响 应。
t
瞬态过程
稳态过程
例3.1-2 图示振动系统，刚性杆不计重量，在水平位置平衡，
端部受激励 F F0 sin t，试列出振动微分方程， 并求当ω =ω n时质点的振幅。 解：设钢杆摆角为θ ，由动力学得：
max 并 （4）对于有阻尼系统， 不出现在λ =1处，而且稍偏左
d 0 d

0 1 2 3
1 2
2
1 2 2 2 3 / 2 2 2 2 2 [(1 ) (2 ) ] [4 (1 ) 8 ] 0 1 2 0 2
求系统响应。
F0 sin t 解：方程的通解为 x C1 cos n t C2 sin nt 2 k m 将初始条件代上式： F0 (0) C2n 0 x(0) C1 x0 , x x 2 k m 得： 0 F0 ( / n ) x C1 x0 , C2 n k m 2
1 2 3
（2）当 1 ( n )

（3）当 响应与激振力反相
相频特性曲线
1
n
共振时的相位差为 2 ，与阻尼无关
有阻尼单自由度系统几个图形比较 假设系统固有频率： n 1 外部作用力规律：
F (t ) F0 cost
从左到右：
0.4, 1.01, 1.6
c k n 2 km m
分子分母同除以k，并利用
X F0 / k (1 ) (2 )
2 2 2

频率比 n
2 tan 1 2
（3.1.7）
从特解看出 （1）线性系统对简谐激励的稳态响应是简谐振动，振动频率 等同于激振频率、而相位滞后激振力。 （2）稳态响应的振幅及相位只取决于系统本身的物理性质（ m, k, c）和激励力的大小和频率，而与初始条件无关 .
引入：
X0
F0 k X X0
常值力F0作用下的静变形
放大因子（幅频特性）
（3.1.10）

0
0 .1
得到：
X 1 ( ) X0 (1 2 ) 2 (2 ) 2
( )
5
随λ 的增大，β 先由小变大， 后从大变小.
幅频特性曲线
（ 1 ）当 1 ( n )
cx kx F0 sin t x m ( 0) x 0 x ( 0) x 0 , x
利用前述相同的方法，有：
x(t ) e
初始条件响应 d X 0 e t [sin cosd t n ( sin cos ) sin d t ] X 0 sin(t ) d
第三章 受迫振动
• 在外部持续激励作用下所产生的振动 • 从外界不断获得能量补偿阻尼消耗的能量， 使系统得以维持振动。 • 研究的次序从简到繁： 简谐激励、周期激励、非周期激励
本章内容： 3.1 对简谐激励的响应 3.2 复频率响应 3.3 隔振 3.4 振动测量仪器 3.5 简谐力与阻尼力的功 3.6 等效粘性阻尼 3.7 系统对周期激励的响应·傅里叶级数 3.8 系统对任意激励的响应·卷积积分
3.9 系统对任意激励的响应·傅里叶积分
3.10 用拉普拉斯变换法求系统响应· 传递函数 3.11 复频率响应与脉冲响应之间的关系
3.1 对简谐激励的响应 立动力学方程：
cx kx F (t ) F0 sin t （3.1.1） m x
F0
k
F(t)
x
c
外力幅值
外力的激励频率
0.75 1.25
O
F0t 2 m
t
T
共振时振幅增大过程
的区间为共振区，
在共振区内振动会很强烈，会导致机械变形过大，甚至破坏。
例3.1-1 无阻尼质量-弹簧系统，方程和初始条件为：
kx F0 sin t m x (0) x 0 t 0 : x(0) x0 , x
非齐次微分方程 通解
kx cx
m
F(t)
＝
齐次微分方程 通解 阻尼自由振动
＋
非齐次微分方程 特解 持续等幅振动 稳态振动 本节内容
逐渐衰减
瞬态振动
先求稳态响应即方程的特解。它也是简谐振动 由方程非齐次项的形式判断，特解也是简谐函数，设为：
x2 X sin(t )
（3.1.2）
其中X为稳态响应的振幅， φ为相位差，是待定常数。
（2）当 1 ( n )
激振频率远大于系统固有频率


2 3
lim ( ) 0
结论：响应的振幅可能很小.
在λ 远离1时，
对应于不同 值,曲线较为密集，说明阻尼的影响不显著 结论：在λ远离1时，系统即使按无阻尼情况考虑也是可以的
• 稳态响应特性
X 1 ( ) X0 (1 2 ) 2 (2 ) 2
( )
5 4 3 2 1 0 0 1

0
0 .1
0.25 0.375 0 .5 1
（3）当 1
n
对应于较小 值， ( s) 迅速增大 1 X0 F0 若 1 , X . 2 2 cn
当 0

2 3
( )
当
1/ 2
1
代入方程，得到：
X (k m 2 ) sin(t ) cX cos(t ) F0 sin t
F0 sin(t ) F0 sin(t ) cos F0 cos(t ) sin
比较方程等号两边同类项系数，得到：
cx kx me 2 sin t Im(me 2eit ) M x cx kx me 2eit的解，其虚部就是本题 的答案。 求 M x F0 me 2 1 i (t ) 设方程的解为 x Xe ，则： X k (1 2 ) 2 (2 ) 2 2 k arctan 2 其中 , n 1 M
n
n
n
无阻尼时，若λ =1 ，强迫振动动力学方程为：
kx F0 sin t m x
特解为： x2 (t )
F0t F0t cos t sin(t ) （3.1.18） 2m 2m 2
x
无阻尼系统共振时，振幅随时间无限增大； 响应初相位滞后于激励π/2. 共振现象是工程中需要研究的 重要课题，工程中通常取
初始条件响应 强迫响应 自由伴随振动 特点：以系统固有 频率为振动频率
如果是零初始条件
(0) 0 t 0 : x(0) 0, x
F0 x (sin t sin nt ) 2 k m n
强迫响应 自由伴随振动
即使在零初始条件下，也有自由振动与受迫振动相伴发生
讨论有阻尼系统对简谐激励的响应(过渡阶段)

1 （ 1 ） （ 2）
2 2 2

（3.2-7）
H(ω)又称为幅频特性。 为求出相位差，由（3.2-6）式得：
Xe
i
F0 1 X (cos i sin ) k 1 2 i 2