3、下列说法不正确的是（ B ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测二. 填空题(3分×5=15分)1、2、设是上有理点全体，则()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=∅E []0,1=,=,=.'E []0,1oE ∅E []0,13、设是中点集，如果对任一点集都有，则称E n R T ***()()m T m T E m T CE =⋂+⋂是可测的E L 4、可测的充要条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.)(x f 5、设为上的有限函数，如果对于的一切分划，使()f x [],a b [],a b 成一有界数集,则称为 上的有界变差函数。

11|()()|n i i i f x f x -=⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∑()f x [],a b 1、设，若E 是稠密集，则是无处稠密集。

错误1E R ⊂CE 2、若，则一定是可数集.错误例如：设是集，则，但c 0=mE E E Cantor 0mE =E =， 故其为不可数集3、若是可测函数，则必是可测函数。

错误|()|f x ()f x 二、2. 下列说法不正确的是(C )(A) 的任一领域内都有中无穷多个点，则是的聚点0P E 0P E (B) 的任一领域内至少有一个中异于的点，则是的聚点 0P E 0P 0P E (C) 存在中点列，使，则是的聚点E {}n P 0n P P →0P E (D) 内点必是聚点3. 下列断言(B )是正确的。

（A ）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集； (C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对；4. 下列断言中( C )是错误的。

（A ）零测集是可测集； （B ）可数个零测集的并是零测集；（C ）任意个零测集的并是零测集；（D ）零测集的任意子集是可测集；1、设，则_________。

11[,2],1,2,n A n n n=-= =∞→n n A lim 2、设为Cantor 集，则 ，_____，=________。

P =P mP =oP 3、设是一列可测集，则{}i S 11______i ii i m S mS ∞∞==⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭∑4、鲁津定理：______________________________________________________5、设为上的有限函数，如果_________则称为上的绝对连续函数。

()F x [],a b ()F x [],a b 答案： 2，c ；0 ； 3， 4，设是上有限的可测函数，则()0,2∅≤()f x E ..a e 对任意，存在闭子集，使得在上是连续函数，且。

0δ>E E δ⊂()f x E δ(\)m E E δδ<5，对任意，使对中互不相交的任意有限个开区间0,0εδ>∃>[],a b 只要，就有(),,1,2,,,i i a b i n = ()1n i i i b a δ=-<∑1|()()|ni i i F b F a ε=-<∑1、由于，故不存在使之间对应的映射。

错误[](){}0,10,10,1-=()[]0,101和，11-2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。

正确3、收敛的函数列必依测度收敛。

错误..a e4、连续函数一定是有界变差函数。

错误2.(6分) 设使，则E 是可测集。

0,,G E ε>∃⊃开集*()m G E ε-<证明：对任何正整数，由条件存在开集使 令，则n ,n G E ⊃*1()n m G E n -<1n n G G ∞== 是可测集，又因对一切正整数成立，因而，G *()m G E -*1()n m G E n≤-<n *()0m G E -=即是一零测度集，所以也可测. 由知，可测。

M G E =-()E G G E =--E 4.（8分）设函数列 在有界集上“基本上”一致收敛于，证()n f x (1,2,)n = E ()f x 明：收敛于。

()..n f x a e ()f x 证明：因为在上“基本上”一致收敛于，所以对于任意的，存在可()n f x E ()f x k Z +∈测集，在上一致收敛于，且 令，则k E E ⊂()n f x k E ()f x 1(\)k m E E k <*1k k E E ∞== 在上处处收敛到，，k=1,2()n f x *E ()f x *11(\)(\)(\)k k k m E E m E E m E E k ∞==≤<所以…*(\)m E E 0=1、设集合，则N M ⊂()M M N --=N2、设为Cantor 集，则 ，0，=。

P =P c mP =oP ∅3、设是中点集，如果对任一点集都有，则称E n R T ***()()m T m T E m T CE =⋂+⋂是可测的E L 4、叶果洛夫定理：设是上一列收敛于一个有限的函数 的可}{,)(n f E m ∞<E ..e a ..e a f 测函数，则对任意存在子集，使在上一致收敛且。

,0>δE E ⊂δ}{n f δE δδ<)\(E E m 5、设在上可测，则在上可积的充要条件是||在上可积.)(x f E )(x f E )(x f E 1、任意多个开集之交集仍为开集。

不成立反例：设G n =( ),n=1,2, , 每个nn11,11+---G n 为开集 但 不是开集.∞=-=1]1,1[n n G 2、若，则一定是可数集。

不成立；设是集，则， 但c 0=mE E E Cantor 0mE =E =， 故其为不可数集。

3、收敛的函数列必依测度收敛。

不成立..a e4、连续函数一定是有界变差函数。

不成立1、（6分）试证(0,1)~[0,1]证明：记中有理数全体,令(0,1)12{,,}Q r r =显然所以()x ϕ=122(0)(1)(),1,2(),[01]n n r r r r n x x x ϕϕϕϕ+=⎧⎪=⎪⎨==⎪⎪=⎩ 为，中无理数，[01]0111ϕ-是，到（，）上的映射(0,1)~[0,1]2、设是上的实值连续函数则对任意常数 c ， 是一开集.()f x ),(+∞-∞})(|{c x f x E >=证明: 因f （x ）连续，故. .)(,00c x f E x >∈∀即c x f x x >⋃∈∀>∃）时，有(),(,00δδ即.所以是E 的内点.由的任意性,E 的每一个点都是内点,从而E 为开集.E x ⊂⋃)(00x 0x 1、设是上的实值连续函数，则对于任意常数是闭集。

()f x (),-∞+∞,{|()}a E x f x a =≥证明： ;;,{},lim n n n x E E x x x →∞'∀∈=则存在中的互异点列使,()n n x E f x a ∈∴≥ ;;()()lim ()n n f x x f x f x a →∞∴=≥ 在点连续，x E ∴∈E ∴是闭集.3、（6分）设是可测集的非负可积函数，是的可测函数，且()f x E ()g x E ，则也是上的可积函数。

|()|()g x f x ≤()g x E 证明：，|()|()g x f x ≤ 是可测集()(),()()g x f x g x f x +-∴≤≤[]()()()nnnn E E Eg x dx f x dx f x dx +⎡⎤∴≤≤⎣⎦⎰⎰⎰ ()f x 的非负可积函数 是上的可积函数. 同E ∴limn →∞()()nnE Eg x dx f x dx +⎡⎤≤⎣⎦⎰⎰<+∞∴()g x +E 理，也是上的可积函数.是上的可积函数。

()g x -E ∴()g x E 1．设P 为Cantor 集，则 （C ）（A ） 0 (B) (C) (D) =P 1=mP P P ='P P =5.设为上的有界变差函数,则下面不成立的是( D ))(x f ],[b a (A)在上可积 (B)在上可积)(x f ],[b a L )(x f ],[b a R (C)在上可积 (D)在上绝对连续)('x f ],[b a L )(x f ],[b a 2、设,若则是闭集若，则是开集；若则是完备集.E R ⊂,E E ⊂'E 0E E ⊂E 'E E =E 5、设为上的有限函数，如果对于的一切划分，使()f x [],a b [],a b 成一有界数集，则称为上的有界变差函数。

11|()()|n i i i f x f x -=⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∑()f x [],a b 1、A 为可数集，B 为至多可数集，则A B 是可数集；成立⋃2、若，则；不成立；为中的全体有理点集，则有，而0=mE 0=E m E ]1,0[0=mE 1=E m 3、若是可测函数，则必是可测函数；不成立. 设是上的不可测集，|()|f x ()f x E [],a b 则是上的可测函数，但不是上的…[],;(),,;x x E f x x x a b E ∈⎧⎪=⎨-∈-⎪⎩|()|f x [],a b ()f x [],a b 4．设在可测集上可积分，若，则;不成立. 见下页()f x E ,()0x E f x ∀∈>()0Ef x >⎰。