努力的你，未来可期！2019届广东省华南师范大学附属中学 高三上学期第二次月考数学（理）试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题1．已知集合A ={x |x 2−2x >0},B ={x |−2<x <3}，则 A ． A ∩B = ∅ B ． A ∪B =R C ． B ⊆A D ． A ⊆B 2．记复数z 的共轭复数为z ，已知复数z 满足(2−i )z =5，则|z|= A ． √3 B ． √5 C ． √7 D ． 5 3．下列函数中，既是偶函数又有零点的是A ． y =x 12B ． y =tan xC ． y =e x +e −xD ． y =ln |x | 4．设:12,:21xp x q <，则p 是q 成立的 A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件 D ． 既不充分也不必要条件 5．函数f (x )=sinxcosx x 2+1的部分图象可能是A ．B ．C ．D ．6．在等差数列{a n }中， a 3+a 5=12−a 7，则a 1+a 9= A ． 8 B ． 12 C ． 16 D ． 207．已知π2<β<α<34π，cos(α−β)=1213，sin(α+β)=−35，则sin2α= A ． 5665 B ． −5665 C ． 6556 D ． −65568．已知函数y =Asin (π2x +φ)(A >0)在一个周期内的图像如图所示，其中P,Q 分别是这段图像的最高点和最低点，M,N 是图像与x 轴的交点，且∠PMQ =900，则A 的值为A ． 2B ． 1C ． √3D ． √29．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD =120∘，AB =AD =1. 若点E 为边CD 上的动点，则AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ·BE⃑⃑⃑⃑⃑ 的最小值为A ． 2516 B ． 32 C ． 2116 D ． 310．设{a n }是各项为正数的等比数列，q 是其公比，K n 是其前n 项的积，且K 5<K 6，K 6=K 7>K 8，则下列结论错误．．的是 A ． 0<q <1 B ． a 7=1 C ． K 9>K 5 D ． K 6与K 7均为K n 的最大值11．正ΔABC 边长为2，点P 是ΔABC 所在平面内一点，且满足BP =√32，若AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB⃑⃑⃑⃑⃑ +μAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则λ+μ的最小值是A ． 12 B ．√52C ． 2D ．2√3312．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x ∈R)的导函数，当x >0时，lnx ⋅f′(x)<−1xf(x)，则使得(x 2−4)f(x)>0成立的x 的取值范围是A ． (−2,0)∪(0,2)B ． (−∞,−2)∪(2,+∞)C ． (−2,0)∪(2,+∞)D ． (−∞,−2)∪(0,2)二、填空题13．已知向量a ⃗=(1,2),b ⃑⃗=(m,−1)，若a ⃗//(a ⃗+b ⃑⃗)，则a ⃗⋅b⃑⃗=__________． 14．已知1sin cos 5θθ+=， ,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan θ=__________． 此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号15．由曲线y =1x ，y 2=x 与直线x =2，y =0所围成图形的面积为________．16．在ΔABC 中，D 为BC 的中点，AC =2√3,AD =√7,CD =1，点P 与点B 在直线AC 的异侧，且PB =BC ，则平面四边形ADCP 的面积的最大值为_______.三、解答题17．已知等差数列{a n }的前n (n ∈N ∗)项和为S n ，数列{b n }是等比数列，a 1=3，b 1=1，b 2+S 2=10，a 5−2b 2=a 3．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）若c n =2S n，设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n ．18．某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前7天参加抽奖活动的人数进行统计，y 表示第x 天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：（1）经过进一步统计分析，发现y 与x 具有线性相关关系．请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂；（2）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券．已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为16，获得“二等奖”的概率为13．现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额X 的分布列及数学期望．参考公式：b ̂=∑x i y i ni=1−nxy∑x i 2n i=1−nx2，a ̂=y ̅−b ̂x̅，∑7i=1x i y i =364，∑7i=1x i 2=140．19．如图，在梯形ABCD 中，AB//CD ，AD =DC =CB =2，∠ABC =60°，平面ACEF ⊥平面ABCD ，四边形ACEF 是菱形，∠CAF =60°．（1）求证：BF ⊥AE ；（2）求二面角B −EF −D 的平面角的正切值． 20．已知椭圆E:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，且点P (1，32)在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点M(1，1)任作一条直线l ，l 与椭圆E 交于不同于P 点的A ，B 两点，l 与直线m:3x +4y −12=0交于C 点，记直线PA 、PB 、PC 的斜率分别为k 1、k 2、k 3．试探究k 1+k 2与k 3的关系，并证明你的结论．21．已知函数f (x )=lnx +ax −x +1−a (a ∈R ).(1)求函数f (x )的单调区间； (2)若存在x >1，使f (x )+x <1−x x成立，求整数a 的最小值.22．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为2ρsin (θ+π6)−3=0，曲线C 的参数方程是{x =2cosφy =2sinφ（φ为参数）．（1）求直线l 和曲线C 的普通方程；（2）直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA |+|PB |． 23．已知函数f (x )=|x +m |+|2x −1|． （1）当m =−1时，求不等式f (x )≤2的解集；（2）若f (x )≤|2x +1|在x ∈[1，2]上恒成立，求m 的取值范围．2019届广东省华南师范大学附属中学高三上学期第二次月考数学（理）试题数学答案参考答案1．B【解析】【分析】首先求得集合A，然后逐一考查所给选项是否正确即可.【详解】求解一元二次不等式x2−2x>0可得A={x|x>2或x<0}，据此可知A∩B={x|−2<x<0或2<x<3}≠∅，选项A错误；A∪B=R，选项B正确；集合AB之间不具有包含关系，选项CD错误；本题选择B选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的包含关系，交集、并集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．B【解析】【分析】利用复数的除法运算得到复数z，进而得到结果.【详解】因为(2−i)z=5，所以z=52−i=2+i，z=2−i，所以|z|=|z|=√5.故选：B【点睛】复数的运算，难点是乘除法法则，设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR)，则z1z2=(a+bi)(c+di)=ac−bd+(ad+bc)i，z1 z2=a+bic+di=(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=(ac+bd)+(bc−ad)ic+d.3．D【解析】【分析】本题可通过偶函数性质与函数是否有零点来得出答案。

【详解】A项不是偶函数；B项不是偶函数；C项没有零点；故选D。

【点睛】偶函数需要满足f(x)=f(−x)并且定义域关于y轴对称。

零点就是函数与x轴有交点。

4．A【解析】试题分析：由指数函数的性质可知，当必有，所以的充分条件，而当时，可得，此时不一定有，所以的不必要条件，综上所述，的充分而不必要条件，所以正确选项为A.考点：充分条件与必要条件.【方法点睛】判断p是不是q的充分（必要或者充要）条件，遵循充分必要条件的定义，当p 成立时，q也成立，就说p是q的充分条件，否则称为不充分条件；而当q成立时，p也成立则p 是q的必要条件，否则称为不必要条件；当p能证明q的同时q也能证明p，则p是q的充分条件．5．B【解析】分析：先求函数的奇偶性，排除A,C,再排除D.详解：由题得f(−x)=sin(−x)cos(−x)x2+1=−sinxcosxx2+1=−f(x)，所以函数f(x)是奇函数，所以排除A,C.当x=0.0001时，f(x)>0，所以排除D,故答案为：B.点睛：(1)本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的奇偶性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于类似这种根据解析式找函数的图像，一般先找差异，再验证.6．A【解析】由题意，数列{a n}为等差数列，结合等差数列通项公式的性质得，a3+a5+a7=3a5=12，则a5=4，所以a1+a9=2a5=8.故选A.7．B【解析】【分析】本题可以先通过题意计算出sin(α−β)以及cos(α+β)的值，再通过sin2α=sin(α−β+α+β)解得sin2α的值。

【详解】因为π2<β<α<34π，cos (α−β)=1213，sin (α+β)=−35，所以sin (α−β)=513，cos (α+β)=−45，sin (α−β+α+β)=sin (α−β)cos (α+β)+cos (α−β)sin (α+β)=513×(−45)+1213×(−35)=−5665， 故选B 。