东北师大附中 重庆一中 2019届高三联合模拟考试吉大附中 长春十一高中 理科数学试题吉林一中 松原实验高中本试卷共23题，共150分，共6页。
时间120分钟。
注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|3}A x x =∈Z ≤，{|ln 1}B x x =<，集合A 与B 关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所表示的集合为 A ．{|0}x x e << B ．{123}，， C ．{012}，，D ．{12}，2．i 为虚数单位，复数1i 2+=z 在复平面内对应的点的坐标为 A ．)11(，- B ．)11(， C ．)11(-， D ．)11(--，3．等比数列{}n a 各项均为正数，若11a =，2128n n n a a a +++=，则{}n a 的前6项和为 A ．1365B ．63C ．3263 D ．102413654．如图，点A 为单位圆上一点，3π=∠xOA ，点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点)5453(，-B ， 则=αcos A ．10334- B ．10334+-C ．10334- D ．10334+-5．已知双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为A ．2B ．3C ．5D ．526．已知1536a =，433b =，259c =，则A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．b a c << 7．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人， 他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法， 至今仍是比较先进的算法．如右图所示的程序框图给出了利用 秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n ，x 的值分别 为5，2，则输出v 的值为 A ．64 B ．68 C ．72D ．1338．如图所示是某三棱锥的三视图，其中网格纸中每个小正方形的边 长为1，则该三棱锥的外接球的体积为 A ．4π B ．163π C ．16πD ．323π 9．为了丰富教职工的文化生活，某学校从高一年级、高二年级、高三年级、行政部门各挑选出4位教师组成合唱团，现要从这16人中选出3人领唱，要求这3人不能都是同一个部门的，且在行政部门至少选1人，则不同的选取方法的种数为 A ．336B ．340C ．352D ．47210．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱11B C 的中点，点F 是线段1CD 上的一个动点．有以下三个命题：①异面直线1AC 与1B F 所成的角是定值； ②三棱锥1B A EF -的体积是定值； ③直线1A F 与平面11B CD 所成的角是定值． 其中真命题的个数是 A ．3B ．2C ．1D ．011．2018年，国际权威机构IDC 发布的全球手机销售报告显示：华为突破2亿台出货量超越苹果的出货量，首次成为全球第二，华为无愧于中国最强的高科技企业。
华为业务CEO 余承东明确表示，华为的目标，就是在2021年前，成为全球最大的手机厂商．为了解华为手机和苹果手机使用的情况是否和消费者的性别有关，对100名华为手机使用者和苹果手机使用者进行统计，统计结果如下表：根据表格判断是否有95%的把握认为使用哪种品牌手机与性别有关系，则下列结论正确的是 A ．没有95%把握认为使用哪款手机与性别有关 B ．有95%把握认为使用哪款手机与性别有关 C ．有95%把握认为使用哪款手机与性别无关 D ．以上都不对 附：12．已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，过点(02)-，作斜率为(0)k k >的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，直线AF BF ，分别交抛物线C 与M ，N 两点，若10AF BFMF NF+=，则k = A ．1 B ．26C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设x ，y 满足条件210x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≥0≥≥，则y x 32+的最小值为 ．14．由曲线3x y =(0)x ≥与它在1=x 处切线以及x 轴所围成的图形的面积为 ．15．已知正方形ABCD 的边长为4，M 是AD 的中点，动点N 在正方形ABCD 的内部或其边界移动，并且满足0MN AN ⋅=，则NB NC ⋅的取值范围是 ．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1n S -是n a 和n S 的等比中项，设(1)(21)n n n b n a =-⋅+，则数列{}n b 的前60项和为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生 都必须作答。
22、23为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为)cos (63C a c b b -+． （1）求A ；（2）若13b c ==，，求)62cos(π-C 的值．18．（12分）-2018年12月18日上午10时，在人民大会堂举行了庆祝改革开放40周年大会．40年众 志成城，40年砥砺奋进，40年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗． 会后，央视媒体平台，收到了来自全国各地的纪念改革开放40年变化的老照片，并从众多照 片中抽取了100张照片参加“改革开放40年图片展”，其作者年龄集中在[2585]，之间，根据 统计结果，做出频率分布直方图如下：（1）求这100位作者年龄的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值 作代表）；（2）由频率分布直方图可以认为，作者年龄X 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样 本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ．（i ）利用该正态分布，求(6073.4)P X <<；（ii ）央视媒体平台从年龄在[4555]，和[6575]，的作者中，按照分层抽样的方法，抽出了 7人参加“纪念改革开放40年图片展”表彰大会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间[4555]，的人数是Y ，求变量Y 的分布列和数学期望． 附：4.13180≈，若2~(,)X N μσ，则()0.683P X μσμσ-<<+=，(22)0.954P X μσμσ-<<+=0.0050.020 25 35 45 55 65 75 85频率/组距年龄0.015 0.025 0.030 0.0350.010 ))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=19．（12分）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，111112AA A B AB ===，60ABC ∠=，1AA ⊥平面ABCD ．（1）若点M 是AD 的中点，求证：1C M //平面11AA B B ；（2）棱BC 上是否存在一点E ，使得二面角1E AD D --的余弦值为13？若存在，求线段CE的长；若不存在，请说明理由． 20．（12分）已知平面直角坐标系内的动点P 到直线1:2l x =的距离与到点(10)F ，的距离比为2．（1）求动点P 所在曲线E 的方程；（2）设点Q 为曲线E 与y 轴正半轴的交点，过坐标原点O 作直线l ，与曲线E 相交于异于 点Q 的不同两点M N 、，点C 满足2OC OQ =，直线MQ 和NQ 分别与以C 为圆心，CQ 为半径 的圆相交于点A 和点B ，求△QAC 与△QBC 的面积之比λ的取值范围．21．（12分）已知函数x a a x x ax x f )(21ln )(22+-+=． （1）若1-=a ，证明：0)(>x f ；（2）若)(x f 只有一个极值点，求a 的取值范围．（二）选考题：请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩(ϕ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()14πρθ-=．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）射线()2OM πθααπ=<<：与曲线1C 交于点M ，射线4ON πθα=-：与曲线2C 交于点N ，求2211OMON+的取值范围．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数3()22(0)f x x a x a a=-++<． （1）若()(0)g a f =，解不等式()5g a ≥； （2）求证：()23f x ≥．东北师大附中 重庆一中 2019届高三联合模拟考试吉大附中 长春十一高中 理科数学吉林一中 松原实验高中参考答案及评分标准评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。
一、选择题： 1．D 2．C3．B 4．A 5． C6．C 7．B 8．D 9．A 10．B 11．A12．D二、填空题 13．214．12115．[1421716]-，16．6061-三、解答题 17．解（1）由题设得)cos (63sin 21C a c b b C ab -+=…1分 即C a c b C a cos sin 3-+=…2分 由正弦定理得C A C B C A cos sin sin sin sin sin 3-+=， …3分 因为C A B --=π所以C A C A C sin cos sin sin sin 3+=…4分 由于0sin ≠C 所以21)6sin(=-πA…5分 又∵π<<A 0，故3π=A…6分（2）在△ABC 中，由余弦定理及13b c ==，，3π=A有2222cos 7a b c bc A =+-=，故7a =．…7分 由)cos (63sin 21C a c b b A bc -+=，得721cos -=C…8分所以7233sin =C ，因此1433cos sin 22sin -==C C C…10分213cos 22cos 114C C =-=-…11分 所以13333143cos(2)cos 2cos sin 2sin 6661421427C C C πππ-=+=-⨯-⨯=- …12分18．解：（1）这100位作者年龄的样本平均数x 和样本方差2s 分别为300.05400.1500.15600.35700.2800.1560x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= …2分222222(30)0.05(20)0.1(10)0.1500.35100.2200.15180s =-⨯+-⨯+-⨯⨯+⨯+⨯+⨯= …4分（2）（i ）由（1）知，)18060(~，N X ，从而1(6073.4)(6013.46013.4)0.34152P X P X <<=-<<+=； …7分（ii ）根据分层抽样的原理，可知这7人中年龄在[4555]，内有3人，在[6575]，内有4人， 故Y 可能的取值为0，1，2，3354)0(373403===C C C Y P ，3518)1(372413===C C C Y P ， 3512)2(371423===C C C Y P 351)3(370433===C C C Y P 所以Y 的分布列为Y1 2 3 P354 3518 3512 351 …11分所以Y 的数学期望为4181219()0123353535357E Y =⨯+⨯+⨯+⨯= …12分 19．解：（1）证明：连接1B A 由已知得，11////B C BC AD ，且1112B C AM BC == 所以四边形11AB C M 是平行四边形，即11//C M B A…2分又1C M ⊄平面11AA B B ，1B A ⊂平面11AA B B ， 所以1C M //平面11AA B B …4分（2）取BC 中点Q ，连接AQ 因为ABCD 是菱形，且60ABC ∠=，所以ABC ∆是正三角形， 所以AQ BC ⊥即AQ AD ⊥，由于1AA ⊥平面ABCD …6分所以，分别以AQ ,AD ,1AA 为x 轴,y 轴,z 轴，建立空间直角坐标系,如图(000)A ，，，1(001)A ，，，1(011)D ，，，(3,0,0)Q假设点E 存在，设点E 的坐标为(30)λ，，，11λ-≤≤ (30)AE λ=，，，1(011)AD =，，…7分设平面1AD E 的法向量()n x y z =，，则100n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即300x y y z λ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，可取(,3,3)n λ=-…9分平面1ADD 的法向量为(300)AQ =，，…10分 所以，23||1cos ,336AQ n λλ<>==+，解得：32λ=±…11分又由于二面角1E AD D --大小为锐角，由图可知，点E 在线段QC 上，所以λ，即1CE = …12分 20．解：（1）设动点P 的坐标为()x y ，，由题意可得整理，得：2222x y +=，即2212x y +=为所求曲线E 的方程 …4分（2）（解法一）由已知得：(0,1)Q ，(0,2)C ，1CQ =，即圆C 方程为22(2)1x y +-= 由题意可得直线MQ ，NQ 的斜率存在且不为0 …5分设直线MQ 的方程为11y k x =+，与22(2)1x y +-=联立得：2211(1)20k x k x +-=所以，12121A k x k =+同理，设直线NQ 的方程为21y k x =+，与22(2)1x y +-=联立得：2222(1)20k x k x +-=所以22221B k x k =+ …7分因此2122211(1)21(1)2A QAC A QBCB BQC x S x k k S x k k QC x λ∆∆+====+ …8分 由于直线l 过坐标原点，所以点M 与点N 关于坐标原点对称设00(,)M x y ，00(,)N x y --，所以，2000122000111y y y k k x x x -+-=⋅=- 又00(,)M x y 在曲线E 上，所以220012x y +=，即1212k k =- …10分故221212222111(1)4113(4)(1)2221k k k k k k k λ++===-+++， 由于210k >，所以，122λ<<…12分（解法二）由已知得：(0,1)Q ，(0,2)C ，1CQ =，即圆C 方程为22(2)1x y +-= 由题意可得直线MQ ，NQ 的斜率存在且不为0…5分设直线MQ 的方程为11y k x =+，则点C 到MQ的距离为1d所以AQ ===于是，112QACS AQ d ∆=⋅=1211k k +设直线NQ 的方程为21y k x =+，同理可得： QBC S ∆=2221k k +所以212221(1)(1)QAC QBC S k k S k k λ∆∆+==+ …8分由于直线l 过坐标原点，所以点M 与点N 关于坐标原点对称设00(,)M x y ，00(,)N x y --，所以，2000122000111y y y k k x x x -+-=⋅=- 又00(,)M x y 在曲线E 上，所以220012x y +=，即1212k k =-…10分故221212222111(1)4113(4)(1)2221k k k k k k k λ++===-+++， 由于210k >，所以，122λ<< …12分21．解：（1）当1-=a 时，0)(>x f 等价于021ln 2>+-x x x ，即0ln 2>-x x ； …1分 设函数x x x g ln 2)(-=，则xx x x g 221)(-=-='，…2分当)20(，∈x 时，0)(<'x g ；当)2(∞+∈，x 时，0)(>'x g ． 所以)(x g 在)20(，上单调递减，在)2(∞+，单调递增． 故2ln 22)2(-=g 为)(x g 的最小值，…3分 而02ln 22>-，故0)(>x g ，即0)(>x f ． …4分（2）2ln )(a x x a x f -+='，设函数=)(x h 2ln a x x a -+，则)0(1)(>+=+='x xa x x a x h ； （i ）当0>a 时，0)(>'x h ，)(x h 在)0(∞+，上单调递增， 又0)(e >a h ，取b 满足10<<b 且2a b <，则0)(<b h ， 故)(x h 在)0(∞+，上有唯一一个零点1x ，且当)0(1x x ，∈时，0)(<x h ，)(1∞+∈，x x 时，0)(>x h ，由于)()(x h x f ='，所以1x x =是)(x f 的唯一极值点；…6分 （ii ）当0=a 时，)0(21)(2>=x x x f 在)0(∞+，上单调递增，无极值点；…7分（iii ）当0<a 时，若)0(a x -∈，时，0)(<'x h ；若)(∞+-∈，a x 时，0)(>'x h ． 所以)(x h 在)0(a -，上单调递减，在)(∞+-，a 单调递增． 故]1)[ln()(a a a a h ---=-为)(x h 的最小值， ①若1-=a 时，由于0)(=-a h ，故)(x h 只有一个零点，所以a x -≠时0)(>'x f ， 因此)(x f 在)0(∞+，上单调递增，故)(x f 不存在极值； ②若)01(，-∈a 时，由于01)ln(<---a a ，即0)(>-a h ，所以0)(>'x f ， 因此)(x f 在)0(∞+，上单调递增，故)(x f 不存在极值；③若)1(--∞∈，a 时， 01)ln(>---a a ，即0)(<-a h ． 又0)(e >a h ，且a a -<<<1e 0，而由（1）知x x ln 2>，所以x x ln >， 取c>，则0)(2>-+>a c c a c h 故)(x h 在)0(a -，有唯一一个零点2x ，在)(∞+-，a 有唯一一个零点3x ；且当)0(2x x ，∈时0)(<x h ，当)(32x x x ，∈时，0)(>x h ，当)(3∞+∈，x x 时，0)(<x h 由于)()(x h x f ='，故)(x f 在2x x =处取得极小值，在3x x =处取得极大值， 即)(x f 在)0(∞+，上有两个极值点．…11分 综上，)(x f 只有一个极值点时， a 的取值范围是)0(∞+，…12分22．解：（1）由曲线1C的参数方程x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩(ϕ为参数)得：2222cos sin 1ϕϕ+=+=，即曲线1C 的普通方程为22123x y += …1分又cos ,sin x y ρθρθ==， …2分曲线1C 的极坐标方程为22223cos 2sin 6ρθρθ+=，即222cos 26ρθρ+= …3分 曲线2C的极坐标方程可化为sin cos ρθρθ-= 故曲线2C的直角方程为0x y -…5分（2）由已知，设点M 和点N 的极坐标分别为1(,)ρα，2(,)4πρα-，其中2παπ<<…6分则22126cos 2OM ρα==+，2222211cos sin ()2ON ρπαα===- …7分 于是2222211cos 27cos 2cos 66OM ON ααα+++=+= …8分 由2παπ<<，得1cos 0α-<< 故2211OMON+的取值范围是13()32， …10分23．解：（1）因为0a <，所以33()(0)225g a f a a a a==-+=--≥， …1分 即3,2a -≤或10a -≤<…3分 故不等式()5g a ≥的解集为3,102a a a ⎧⎫--<⎨⎬⎩⎭≤或≤…4分（2）由已知得：332,2333()222,223332,2x a x a a f x x a x x a a x a a ax a x a a ⎧-+-≤⎪⎪⎪=-++=---<≤-⎨⎪⎪-+>-⎪⎩…6分所以()f x 在32a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，-上递减，在3,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭递增…7分即min 33()()222f x f a a a =-=--=≥所以()f x ≥ …10分。